Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Îïðåäåëèì åùå âðàùàþùèé ìîìåíò

f

, êîòîðûé èñïûòûâàåò ïëîñêèé êîíòóð

ñ òîêîì

i

âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïóñòü

B

— ìàãíèòíàÿ èíäóê-

öèÿ âíåøíåãî ïîëÿ,

s

— ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì òîêà, è

a

— óãîë,

ñîñòàâëÿåìûé ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëüþ

N

ê ýòîé ïîâåðõíîñòè ñ âåêòîðîì

B

è îòñ÷èòûâàåìûé îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà

B

(ðèñ. 2.8). Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâ-

ëåíèå íîðìàëè ñâÿæåì ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà

i

ïðàâèëîì ïðàâîãî

âèíòà.

Ñîãëàñíî âûøåïðèâåäåííûì âûðàæåíèÿì

f

i

g

M

i

= æ

è

çç

ö
ø

÷÷

=

1

1

2

¶

¶

Y

const

è

f

i

g

M

i

= æ

è

çç

ö
ø

÷÷

=

2

2

1

¶

¶

Y

const

,

èñêîìûé âðàùàþùèé ìîìåíò ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðîèçâåäåíèå òîêà

i

â êîí-

òóðå íà ïðîèçâîäíóþ

¶Y/

¶a

îò âíåøíåãî ïîòîêîñöåïëåíèÿ ïî óãëó

a

. Èìååì

Y

a

=

Bs

cos è

f

i

isB

mB

=

= -

= -

¶

¶a

Y

a

a

sin

sin ,

ãäå

m

=

is

åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò çàìêíóòîãî òîêà.

 âåêòîðíîé ôîðìå ïîñëåäíåå âûðàæåíèå èìååò âèä (ðèñ. 2.8)

f

mB

= [

]

.

Ìû ïðèõîäèì ê çàìå÷àòåëüíîìó âûâîäó, ÷òî âðàùàþ-

ùèé ìîìåíò íå çàâèñèò îòäåëüíî îò

i

è

s

, à îïðåäåëÿåòñÿ

ìàãíèòíûì ìîìåíòîì

m.

Ñêàçàííîå ïîëíîñòüþ îòíîñèòñÿ ê ëþáûì ýëåìåíòàð-

íûì òîêàì, òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòàðíûì íàçûâà-

åì çàìêíóòûé òîê, ïðîòåêàþùèé ïî ñòîëü ìàëîìó êîíòóðó,

÷òî â ïðåäåëàõ ýòîãî êîíòóðà âíåøíåå ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü

îäíîðîäíûì

.

 çàêëþ÷åíèå îïðåäåëèì ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèëó, äåé-

ñòâóþùóþ íà ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê ïðîâîäíèêà ñ òî-

êîì

i

, èìåþùèé äëèíó

l

, ðàñïîëîæåííûé âî âíåøíåì îäíî-

ðîäíîì ïîëå íîðìàëüíî ê âåêòîðó ìàãíèòíîé èíäóêöèè

B

(ðèñ. 2.9). Îòðåçîê

ñîñòàâëÿåò ÷àñòü çàìêíóòîãî êîíòóðà òîêà. Íà ðèñ. 2.9 äðóãàÿ ÷àñòü êîíòóðà

ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàñïîëîæåííîé ñïðàâà. Ïðè òàêîì ðàñïîëîæåíèè íàïðàâëåíèå

ëèíèé èíäóêöèè âíåøíåãî ïîòîêà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâ-

ëåíèåì ëèíèé èíäóêöèè ïîòîêà ñàìîèíäóêöèè êîí-

òóðà (

M >

0), ïîýòîìó ñèëà äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà

âëåâî, òàê êàê ïðè äâèæåíèè îòðåçêà â ýòîì íàïðàâëå-

íèè îáùèé ïîòîê óâåëè÷èâàåòñÿ èç-çà ðîñòà âíåøíå-

ãî ïîòîêà (ïîòîêà âçàèìíîé èíäóêöèè).

Åñëè òåïåðü ñ÷èòàòü, ÷òî äðóãàÿ ÷àñòü êîíòóðà íà-

õîäèòñÿ ñëåâà îòðåçêà, òî â ýòîì ñëó÷àå ëèíèè èíäóê-

öèè ïîòîêà âçàèìíîé èíäóêöèè (âíåøíåãî ïîòîêà)

áóäóò íàïðàâëåíû ïðîòèâ ëèíèé èíäóêöèè ïîòîêà ñà-

ìîèíäóêöèè êîíòóðà (

M

< 0). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà

äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà, êàê è ïðåæäå, âëåâî, òàê êàê

Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé

93

Ðèñ. 2.9

Ðèñ. 2.8

ïðè äâèæåíèè îòðåçêà â òàêîì íàïðàâëåíèè óìåíüøàåòñÿ íàïðàâëåííûé ïðîòèâ

ïîòîêà ñàìîèíäóêöèè ïîòîê âçàèìíîé èíäóêöèè (âíåøíèé ïîòîê) è óâåëè÷èâà-

åòñÿ ñóììàðíûé ïîòîê.

Íàïðàâëåíèå ñèëû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî è ïðè ïîìîùè âûðàæåíèÿ

f

=

q

[

vB

].

Íàïðàâëåíèå

v

ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà; ïîýòîìó, åñëè, ñîãëàñíî ïðàâèëó

ïðàâîãî âèíòà, âðàùàòü âèíò ïî íàïðàâëåíèþ îò âåêòîðà ñêîðîñòè ê âåêòîðó èí-

äóêöèè, ïîëó÷èì íàïðàâëåíèå ñèëû

f

, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 2.9.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòðåçîê ïðîâîäíèêà ïåðåìåñòèòñÿ ïîä äåéñòâèåì ýëåê-

òðîìàãíèòíîé ñèëû íà ðàññòîÿíèå

dx

(ñì. ðèñ. 2.9). Âíåøíåå ïîòîêîñöåïëåíèå

ñ êîíòóðîì òîêà ïðè ýòîì ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå

d

d

Bl dx

Y = F =

.

Ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì

f

i

g

M

i

= æ

è

çç

ö
ø

÷÷

=

1

1

2

¶

¶

Y

const

è

f

i

g

M

i

= æ

è

çç

ö
ø

÷÷

=

2

2

1

¶

¶

Y

const

,

èñêîìàÿ ñèëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ïðîèçâåäåíèå òîêà

i

â îòðåçêå ïðî-

âîäíèêà íà ïðîèçâîäíóþ

d

Y

/

dx

îò âíåøíåãî ïîòîêîñöåïëåíèÿ ïî êîîðäèíàòå.

Ïîëó÷àåì

f

i

i

=

=

=

d

dx

Bldx

dx

Bli.

Y

Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñðàâíåíèå ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ñ âûðàæåíèåì äëÿ

ÝÄÑ, èíäóöèðóåìîé â äâèæóùåìñÿ ïðîâîäíèêå:

e

=

Blv

.

Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà

f

, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ êîîðäèíàòó

x

ïðîâîäíèêà, îïðåäåëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ñêîðîñòüþ, ò. å. òîêîì â ïðîâîäíèêå

i

=

dq/dt

. ÝÄÑ, ñòðåìÿùàÿñÿ âûçâàòü òîê â ïðîâîäíèêå, îïðåäåëÿåòñÿ ãåîìåòðè-

÷åñêîé ñêîðîñòüþ ïðîâîäíèêà

v

=

dx/dt

.

94

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 1 è 2

1.1. Ñâÿçü çàðÿäà ÷àñòèö è òåë ñ èõ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì.

Òåîðåìà Ãàóññà

ÂÎÏÐÎÑÛ

1.

(Î) Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äâà îäíîèìåííî çàðÿæåííûå è ðàñïîëîæåííûå

â ïóñòîòå òåëà îòòàëêèâàþòñÿ? Íåîáõîäèìî ëè äëÿ òàêîãî óòâåðæäåíèÿ óñëîâèå,

÷òîáû òåëà áûëè òî÷å÷íûìè?

2.

Ïîä äåéñòâèåì ñèëû ñî ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà äâè-

æåòñÿ âäîëü ëèíèè íàïðÿæåííîñòè. Êàêîé âèä èìååò ëèíèÿ íàïðÿæåííîñòè?

3.

 êàêîé èç òî÷åê (

À

èëè

Â

) íàïðÿæåííîñòü

E

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áîëüøå

(ðèñ. Â1.1)?

4.

(Î) Îáðàùàåòñÿ ëè â íóëü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êàõ

À

,

Â

,

C

ïðè óêàçàííîé íà ðèñ. Â1.2 ëèíåéíîé ïëîòíîñòè

t

1

çàðÿäîâ æèëû

1

è

t

2

îáîëî÷-

êè

2

êàáåëÿ?

5.

Ìîæíî ëè ðàññ÷èòàòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ òåîðå-

ìû Ãàóññà, åñëè çàðÿæåííûå òåëà ðàñïîëîæåíû íå â ïóñòîòå, à â:

à

) îäíîðîäíîì

äèýëåêòðèêå;

á

) êóñî÷íî-îäíîðîäíîì äèýëåêòðèêå?

6.

Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñêâîçü ëþáóþ èç çàìêíó-

òûõ ïîâåðõíîñòåé â âûáðàííîé îáëàñòè ðàâåí íóëþ. Ìîæåò ëè â ýòîé îáëàñòè

ñóùåñòâîâàòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå? Ìîãóò ëè â íåé íàõîäèòüñÿ ýëåêòðè÷åñêèå çà-

ðÿäû?

Ðèñ. Â1.1

Ðèñ. Â1.2

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

(Ð) Äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ

v

=

a

i

+

b

j

+

c

k

çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà èñïûòûâàåò

ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñèëó

f

=

m

i

+

n

j

+

p

k

. Ðàññ÷èòàéòå ñîñòàâëÿþùèå

âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïðè:

à

)

v

=

0

i

+ 5

j

–

2

k

,

f

=

1

i

;

á

)

v

=

0

i

+ 3

j

+ 1

k

,

f

=

2,5

i

;

â

)

v

=

1,5

i

– 2

j

– 0,5

k

,

f

=

–4,5

i

– 2,25

j

–

4,5

k

. Çàðÿä ÷àñòèöû

q

=

10

–10

Êë.

2.

Âåñüìà äëèííûå ïàðàëëåëüíûå òîíêèå çàðÿæåííûå ïðîâîäà ðàñïîëîæåíû â

âîçäóõå. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå è âåëè÷èíó âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè-

÷åñêîãî ïîëÿ â óêàçàííûõ íà ðèñ. Â1.3 òî÷êàõ

À

,

Â

,

Ñ

ïðè çàäàííûõ ïîëîæåíèÿõ

ïðîâîäîâ è ëèíåéíîé ïëîòíîñòè èõ çàðÿäîâ.

3.

(Ð) Ïîñòðîéòå êðèâóþ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííîñòè

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âäîëü ïðÿìîé

ab

, ñîåäèíÿþùåé

ñå÷åíèÿ äâóõ î÷åíü äëèííûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäîâ

1

è

2

(ðèñ. Â1.4). Ëèíåéíûå ïëîòíîñòè çàðÿäîâ

t

1

> 0,

t

2

=

–

t

1

.

4.

(Ð) Êàêèì äîëæåí áûòü çàêîí èçìåíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå îáúåìíîé ïëîòíîñòè

r

(

r

) ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ïðè êîòîðîì ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè

E

ýëåê-

òðè÷åñêîãî ïîëÿ ñêâîçü ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü

r

=

const:

à

) íå çàâèñèò îò

r

;

á

) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì

r

;

â

) ïðîïîðöèîíàëåí çàäàííîé ôóíêöèè

f

(

r

)

(

e =

const âñþäó)?

5.

Íàéäèòå ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñêâîçü óêàçàí-

íûå íà ðèñ. Â1.5 ïîâåðõíîñòè. Äëÿ âàðèàíòîâ

à

—

ã

e = e

0

âñþäó.

6.

(Ð) Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èçîáðàæåííûå íà ðèñ. Â1.6 ëèíèè íå ìîãóò áûòü ëè-

íèÿìè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, åñëè ñâîáîäíûå çàðÿäû â ÷àñòè

ïðîñòðàíñòâà, ãäå èçîáðàæåíû ëèíèè, îòñóòñòâóþò.
7. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ñèììåòðèè ïîëÿ, èçîáðàçèòå ñåìåéñòâî ëèíèé íàïðÿæåí-

íîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿäà, ðàñïðåäåëåííîãî ðàâíîìåðíî:

à

) íà áåñêîíå÷-

íî ïðîòÿæåííîé ïëîñêîñòè;

á

) íà ïîâåðõíîñòè áåñêîíå÷íî äëèííîãî ïðîâîäÿùå-

ãî öèëèíäðà ðàäèóñîì

R

;

â

) â îáúåìå áåñêîíå÷íî äëèííîãî öèëèíäðà ðàäèóñîì

R

;

ã

) íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåãî øàðà;

ä

) â îáúåìå ñôåðû;

å

) íà ïîâåðõíîñòè òîí-

êîãî ïðîâîäÿùåãî äèñêà ðàäèóñîì

R

;

æ

) âäîëü òîíêîãî êðóãîâîãî ïðîâîäÿùåãî

âèòêà ðàäèóñîì

R

;

ç

) â îáúåìå áåñêîíå÷íî ïðîòÿæåííîé ïëàñòèíû òîëùèíîé

h

.

96

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 1 è 2

Ðèñ. Â1.4

Ðèñ. Â1.3

ÇÀÄÀ×È

1.

(Ð) Äâå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûå áåçãðàíè÷íûå ïëàñòèíû ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîò-

íîñòüþ çàðÿäà +

s

è –

s

ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó íà ðàññòîÿíèè

d

.

Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â îáëàñòè ìåæäó ïëàñòèíàìè

è âíå èõ. Ïîñòðîéòå êðèâóþ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âäîëü ïðÿìîé, íîð-

ìàëüíîé ê ïëàñòèíàì.

2.

Ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà î÷åíü äëèííîãî ïðÿìîãî òîíêîãî

ïðîâîäà ðàâíà

t

. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êàõ âíå ïðî-

âîäà.

3.

Îïðåäåëèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êàõ ìåæäó îáêëàäêàìè:

à

) ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îáêëàäêàìè

d

, ïîâåðõíîñòíûå ïëîò-

íîñòè èõ çàðÿäîâ +

s

è –

s

;

á

) öèëèíäðè÷åñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ðàäèóñû îáêëàäîê

R

1

è

R

2

(

R

1

<

R

2

), ëèíåéíûå ïëîòíîñòè çàðÿäîâ îáêëàäîê +

t

è –

t

;

â

) ñôåðè÷åñêîãî

êîíäåíñàòîðà. Ðàäèóñû îáêëàäîê

R

1

è

R

2

(

R

1

<

R

2

), èõ çàðÿäû +

q

è –

q

. Äèýëåê-

òðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà, ïîìåùåííîãî ìåæäó îáêëàäêàìè, ïðèìèòå

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 1 è 2

97

Ðèñ. Â1.5

Ðèñ. Â1.6