- 12 y^' = Р

y^' = 1 Т

y^' = -12 Г

5) y=x⁴ y^' = П

y^' = 4x³ А

y^' = x³ С

6) y=-5x³ y^' = -15x² Н

y^' = -5x² О

y^' = 5x² Р

7) y=x-x³y^' = 1-x² Д

y^' = 1-3x² Ж

y^' = x-3x² А

Итак, получили фамилию ученого Лагранж.

«Заметки из прошлого» Жозеф Луи Лагранж. Уже в 1755 году внес огромный вклад в разные области математики и в том числе на нахождение максимумов и минимумов функции.

Фронтальная работа

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”

1. 
   Что называют функцией?
   
2. 
   Как называется переменная Х?
   
3. 
   Как называется переменная Y?
   
4. 
   Что называется областью определения функции?
   
5. 
   Что называется множеством значения функции?
   
6. 
   Какая функция называется чётной?
   
7. 
   Какая функция называется нечётной?
   
8. 
   Что можно сказать о графике чётной функции?
   
9. 
   Что можно сказать о графике нечётной функции?
   
10. 
    Какая функция называется возрастающей?
    
11. 
    Какая функция называется убывающей?
    
12. 
    Какая функция называется периодической?
    

3. 
   Изучение нового материала
   

---

Возрастание и убывание функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда

1) если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),

т.е. , ( , );

2) если производная на интервале положительна (отрицательна), т.е. , ( , ),

т

о функция на возрастает (убывает).

ПРИМЕР: Найти промежутки возрастания и убывания функции y = 4x³ – 5x² + 2.

Решение. Найдем производную функции y = 4x³ – 5x² + 2: y’ = 12x² -10x. Решая неравенство

---

, получим x(12x – 10) > 0, отсюда x > 5/6, x < 0 - промежутки возрастания. Решая неравенство , получим x(12x – 10) < 0, отсюда 0 < x < 5/6 - промежуток убывания.

Экстремумы функции

Пусть функция определена на множестве ℝ, , – внутренняя точка (т.е. существует некоторая окрестность точки , целиком лежащая во множестве ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкоймаксимумафункции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка называется точкойминимума функции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке минимума называется

---

минимумомфункции.

Т очки минимума и максимума функции называются ее точкамиэкстремума.

Замечания:

1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. По сути, они отражают одно свойство функции: они показывают, в каком отношении находятся значение функции в данной точке и значения функции в других точках. Различие в области действия этих понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера (« »), максимум и минимум – понятия локального характера (« »). Чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь понятий, в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2) В силу локального характера понятий максимума и минимума, функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов (см. рис. 1).

Для функции, дифференцируемой в точке , справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Если – точка экстремума функции и – дифференцируема в точке , то ее производная в этой точке равна нулю.

Алгоритм исследования непрерывной функции у=f(х) на монотонность и экстремумы:

1. 
   Найти производную функции;
   
2. 
   Найти стационарные и критические точки: f´(х)=0
   
3. 
   Отметить стационарные точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. Сделать вывод о монотонности функции и точках экстремума.
   

Пример: Найдите точки экстремума функции: у=3х⁴

---

-16х³+24х²-14.

Решение: 1. f '(х) = 12х³-48х²+48х;

2. f '(х) = 0, 12х³-48х²+48х = 0;

12х(х²-4х+4)=0;

12х=0 или х²-4х+4=0;

х₁=0, х₂=2.

3. f (-1) = 3·(-1)⁴-16·(-1)³+24·(-1)²-11=3+16+24-14= + 29,

f (1) = 3·1⁴-16·1³+24·1²-14=3-16+24-14=-3,

f (3) = 3·3⁴-16·3³+24·3²-14= 243-384+216-14= + 51,

Исследование функции с помощью производной.

Схема исследования функции.

1. 
   Найти область определения функции.
   
2. 
   Точки пересечения с осями координат.
   
3. 
   Проверить на четность (нечетность). Четная функция симметрична относительно оси ординат, нечетная – относительно начала координат.
   
4. 
   Производную.
   
5. 
   Стационарные точки.
   
6. 
   Промежутки возрастания и убывания.
   
7. 
   Точки экстремума и значения функции в этих точках.
   
8. 
   Результаты исследования занести в таблицу.
   

П РИМЕР. Построить график функции y = 1 + 2x² – x⁴.

1. 
   Область определения:
   
2. 
   x = 0, y = 1: A( 0, 1);
   
3. 
   y(-x) = 1 + 2(-x)² – (-x)⁴ = 1 + 2x² – x⁴ – функция четная.
   
4. 
   y’ = 4x – 4x³ = 4x(1 – x²) = 4x(1 – x)(1 + x)
   
5. 
   y’ = 4x(1 – x²) = 0; x₁ = 0, y₁ = 1; x₂ = 1, y₂ = 2; x₃ = - 1, y₃ = 2
   
6. 
   4
   x(1 – x)(1 + x) = 0
   

Возрастает при y’ > 0, т.е. x < -1, 0 < x < 1

Убывает при y’ < 0, т.е. – 1 < x < 0, x > 1

7. 
   Точки ( -1, 2) и (1, 2) точки max; (0, 1) – min.
   
8. 
   Заполняем таблицу:
   

x	x < -1	- 1	– 1 < x < 0	0	0 < x < 1	1	x > 1	2
f ‘(x)	+	0	-	0	+	0	-
f(x)		2		1		2		- 7

---

Смотрите также файлы

• Целостность и безопасность государства.rtf

• Философия синергия вопросы от теста, для просмотра ответов, перейдите по ссылке ниже вопроса это специфическое средство отражения и выражения жизни в форме художественных образов,.docx

• Правила для младших школьников Безопасная дорога.pptx

• Формулировка.docx

• Реферат по теме принципы, свободы, мероприятия по защите от чс.docx