.

	c '
n n - 1	(c )'	)'	+
( n)'
2	0	'
( 2)'	c'	1	+

Какое правило нужно использовать для нахождения производных функций?

f(x) = 6sinx; f(x) = x⁵+ 3

---

f(x) = 8x⁴ + 5cosx

; ;

_{(x) = (2-x)(2+x)}

3. 
   Историческая справка
   

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

З наменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных ф игур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

4. 
   Изучение нового материала.
   

Вопрос учителя:

Можно ли считать верным утверждение: касательная к графику – это прямая, имеющая с кривой только одну общую точку?

---

В процессе определения касательной обнаруживают прямую, представляющее собой некое предельное положение секущей, которую и называют касательной к кривой в некоторой точке.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М(а; f(a)) и пусть существует призводная f '(а). Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + m. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и m. Из ранее изученного известно, что k = f '(а).

Найдем m. Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka + m, отсюда m = f(a) – ka. Подставим значение m в уравнение

y = kx + m.

y = kx + f(a) – ka,

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Используя эту формулу, мы можем задать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x) (предлагаю составить алгоритм самим учащимся):

1. 
   Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
   
2. 
   Вычислим f(a).
   
3. 
   Найдем f '( х) и вычислим f '( а).
   
4. 
   Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
   
5. 
   Зарядка для глаз.
   
6. 
   Закрепление нового материала.
   

Решить устно № 491, 504.

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Решение: Составим уравнение касательной (по алгоритму).

1. 
   а = -1;
   
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
   
3. 
   f '(x) = 2х – 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;
   
4. 
   y = 9 – 5 · (x + 1),
   

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

2) Составить уравнение касательной, проходящей через точку пересечения графика функции f(x) = (3 – х)/(х + 1) с прямой y = 1.

Решение: Найдем абсциссу точки касания:

(3 – а)/(а + 1) = 1, а = 1.

Составим уравнение касательной по алгоритму:

1. 
   f(a) = f(1) = 1;
   
2. 
   f '(x) = -4/(х +1)²;
   
3. 
   f '(a) = f '(1) = -1;
   
4. 
   y = 1 – 1 · (х – 1),
   

y = 2 – х.

Ответ: y = 2 – х.

Решить письменно № 513(а), 514 (а), 561(а), 551(а).

7. 
   Самостоятельная работа.
   

ВАРИАНТ 1

1. 
   В чём состоит физический смысл производной?
   

А. Ускорение. Б. Скорость. В. Угловой коэффициент.

2. Точка движется по прямой по закону S(t) = 2t³ + 3t . Чему равна скорость точки в момент времени t = 1?

А. 5. Б. 12. В. 9. Г. 3.

3. Заполните пропуски:

а)( )' = 3 - 4 +

---

; б) ( - 25 - )' = ( ).

4. Разбейте на пары «функция - производная».

а) ; 1)

б) ; 2) ;

в) ; 3)

г) 7 + 4)

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f( ) через его точку с абсциссой

А. 8. Б. 4. В. – 8. Г. – 4.

ВАРИАНТ 2

1. 
   В чём состоит геометрический смысл производной?
   

А. Ускорение. Б. Скорость В. Угловой коэффициент.

2. Точка движется по прямой по закону S(t) = 2t² . Вычислите ускорение движения.

---

А. – 4. Б. – 8. В. 4. Г. 8.

3. Заполните пропуски:

а) ' ( ); б) ( )' .

4. Разбейте на пары «функция - производная».

а) 1)

б) 2)

в) ; 3)

г) 4)

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f( ) через его точку с абсциссой

А. - 7. Б. 8. В. 7. Г. 9.

Ответ:

Вариант 1 Вариант 2

1. 
   Б; 1. В;
   
2. 
   В; 2. В;
   
3. 
   а) 3. а)
   

б) б)

---

Смотрите также файлы

• Целостность и безопасность государства.rtf

• Философия синергия вопросы от теста, для просмотра ответов, перейдите по ссылке ниже вопроса это специфическое средство отражения и выражения жизни в форме художественных образов,.docx

• Правила для младших школьников Безопасная дорога.pptx

• Формулировка.docx

• Реферат по теме принципы, свободы, мероприятия по защите от чс.docx