Всякую правильную дробь , знаменатель которой разложен на множители Q(x)= (x-x₁)^k1(x-x₂)^k2…(x²+p₁x+q₁)^S1…( x²+p_mx+q_m)^Sm можно представить и при том единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей

---

26. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Простейших дробей:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Интегрирование рациональных дробей:

1. 
   Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.
   
2. 
   Разложить знаменатель правильной дроби на множители и представить её в виде суммы простейших рациональных дробей.
   
3. 
   Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
   

27. Интегрирование тригонометрических ф-й. Интегрирование иррациональных ф-й.

Универсальная тригонометрическая подстановка

R – знак рациональной функции.

Вычисление неопределённых интегралов типа dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Другие подстановки:

1. 
   Если R(sinx;cosx) нечётная относительно sinx т.е. (R(-sinx;cosx)= -R(sinx;cosx)), то cosx=t
   
2. 
   Если R(sinx;cosx) нечётная относительно cosx, ( R(sinx;-cosx)= -R(sinx;cosx)), то sinx=t
   
3. 
   Если R(sinx;cosx) чётная относительно sinx и cosx, (R(-sinx;-cosx)= R(sinx;cosx)), то tgx=t.
   

Интегралы типа

1. 
   sinx=t, если n-целое положительное нечётное число
   
2. 
   cosx=t, если m- целое положительное нечётное число
   
3. 
   , , , если m и n – целые неотрицательные чётные числа
   
4. 
   если m+n есть чётное целое отрицательное число
   

Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа

с помощью:

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  

---

Интегрирование иррациональных функций

Интегралы типа - неопределённые интегралы от иррациональных ф-й

• 
  , (выделяем полный квадрат, делаем замену)
  
• 
  где P_n(x) – многочлен степени n
  
• 
  Q_n-1(x)* +λ
  
• 
  
  

Тригонометрическая подстановка:

,

x=asint – для интегралов 1 типа, x=atgt – 2 типа, x= - 3 типа

. Интегралы указанного вида приводятся к интегралам, которые можно вычислить с помощью соответствующих подстановок.

28. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смысл определённого интеграла.

Пусть ф-я y=f(x) определена на отрезке [a;b], a

1. 
   С помощью точек x₀=a, x₁, x_2,…, xn=b (x₀n)
   

2. 
   В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i=1,2,..,n выб. произвольная точка С_iϵ[x_i-1;x_i], вычислим f(С_i)
   
3. 
   Умножим найденное значение на длину отрезка: f(С_i)*∆х= f(С_i)*(x_i -x_i-1)
   
4. 
   S_n= f(С₁)*∆х₁+ f(С₂)*∆х₂+…+ f(С_n)*∆х= – интегральная сумма; λ=max∆х_i – длина наибольшего частичного отрезка
   
5. 
   Найдём предел интегральной суммы, когда n так, что λ 0. Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается . Таким образом, , a – верхний предел интегрирования, b – нижний, [a;b] – область интегрирования.
   

---

Теорема Коши (существования опр. Интеграла): если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует. (достаточное условие)

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной ф-и равен площади криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a;b] непрерывная функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Физический смысл определённого интеграла: работа переменной силы, величина которой есть непрерывная ф-я F=F(x), действующей на [a;b], равна определённому интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a;b]. A= .

29. Формула Ньютона-Лейбница. Основные св-а определённого интеграла.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b].

Теорема: если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо её первообразная на [a;b], то имеет место формула: .
Основные св-а определённого интеграла

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   – св-о аддитивности
   
5. 
   Если ф-я F(x) непрерывна на [a;b], то существует т. Сϵ[a;b] такая, что – теорема о среднем
   
6. 
   Если ф-я F(x) сохраняет знак на [a;b], где a
7. 
   Неравенство между непрерывными ф-ми на [a;b] (a1(x)≤ f₂(x) при xϵ[a;b], то
   
8. 
   Оценка интеграла. Если m и M соответствуют наименьшее и наибольшее значение ф-и y=f(x) на отрезке [a;b], то m*(b-a)≤ ≤M*(b-a)
   
9. 
   Модуль определённого интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной ф-и , a
10. 
    Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-и, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом.
    

---

30. Методы вычисления определенного интеграла. Непосредственное вычисление. Интегрирование подстановкой.

1. 
   Методы вычисления определенного интеграла:
   

1. 
   Формулы Ньютона-Лейбница.
   

2. 
   Интегрирование подстановкой
   

см далее

3. 
   Интегрирование по частям.
   

Теорема. Если функция имеет непрерывные производные на отрезке [a; b], то имеет место формула

4. 
   Интегрирования четных и нечетных функций в симметричных пределах Теорема
   

Пусть функция непрерывна на отрезке [-a;a] симметричном относительно точке X=0

2. 
   Непосредственное вычисление
   
3. 
   Интегрирование подстановкой.
   

Теорема: если:

1. 
   Функция и непрерывны при tє[α;β]
   
2. 
   Множеством значений функции при tє[α;β] является [a;b]
   
3. 
   , то
   

Замечание:

1. 
   Возвращаться к старой переменной не требуется
   
2. 
   Вместо подстановки t=g(x)
   
3. 
   Нельзя забывать менять пределы интегрирования при замене переменных
   

31. Интегрирование по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

1. 
   Интегрирование по частям.
   

Теорема. Если функция

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx