ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 454
Скачиваний: 1
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
1
Âû÷èñëèòü
ïîâòîðíûå
èíòåãðàëû:
1)
3
R
−
3
dy
5
R
y
2
−
4
(
x
+ 2
y
)
dx
;
2)
2
R
0
dx
x
√
3
R
x
x
x
2
+
y
2
dy
;
3)
2
R
1
dy
ln
y
R
0
e
x
dx
;
4)
2
π
R
0
cos
2
xdx
2
R
0
ydy
;
5)
5
R
1
dx
x
R
x
3
(
x
−
y
)
dy
;
6)
3
R
2
dx
2
x
R
x
(
x
+ 2
y
)
dy
;
7)
2
R
0
dy
1
R
0
(
x
2
+ 2
y
)
dx
;
8)
2
R
1
dx
x
2
R
x
(2
x
−
y
)
dy
;
9)
1
R
−
3
dy
2
R
2
y
−
1
(
y
−
x
)
dx
;
10)
π
R
0
dx
π/
2
R
0
e
x
+sin
y
cos
ydy.
Çàäà
ֈ
2
Çàïèñàòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
f
(
x, y
)
dxdy
ïî
çàäàííîé
îáëàñòè
D
â
âèäå
ïîâòîðíîãî,
ðàññò
àâèâ
ïðåäåëû
èíòåãðè-
ðîâàíèÿ
â
òîì
è
èíîì
ïîð
ÿäê
å:
1)
D
òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé
ïð
ÿìûìè:
y
= 0
,
y
= 3
x
,
y
=
−
x
+ 5
;
2)
D
òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé
ïð
ÿìûìè:
x
= 0
,
y
= 2
x
,
y
=
x
−
3
;
3)
D
òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé
ïð
ÿìûìè:
y
= 1
−
x
,
y
= 2
,
y
= 2
x
+ 1
;
4)
D
òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé
ïð
ÿìûìè:
x
= 3
,
y
=
x
,
y
= 3
x
;
5)
D
òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé
ïð
ÿìûìè:
y
=
−
x
+ 1
,
y
= 0
,
y
=
x
+ 3
;
26
6)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
x
= 1
,
y
=
x
3
,
y
=
−
√
x
;
7)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
x
= 1
,
y
=
−
x
3
,
y
=
√
x
;
8)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
y
=
x
+ 1
,
y
=
−
x
2
;
9)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
y
= 32
−
x
2
,
y
=
−
4
x
;
10)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
y
= 1
/x
,
y
= 6
e
x
,
y
= 1
,
y
= 6
;
11)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
y
= 3
/x
,
y
= 3
√
x
,
x
= 9
;
12)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
y
=
√
x
,
x
= 16
,
y
= 1
/x
,
y
= 6
;
13)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
x
= 3
,
y
=
x
−
1
,
x
= 7
,
y
= 1
;
14)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
x
= 0
,
y
= 0
,
y
= ln
x
,
y
= 2
;
15)
D
îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ
êðèâûìè:
x
= 4
,
y
= 2
x
,
x
= 1
,
y
= 0
.
Çàäà
ֈ
3
Âû÷èñëèòü
äâîéíûå
èíòåãðàëû:
1)
RR
D
xydxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
+
y
= 2
,
x
2
+
y
2
= 2
y
(
x >
0);
2)
RR
D
(4
−
y
)
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
2
= 4
y
,
y
= 1
,
x
= 0 (
x >
0);
3)
RR
D
e
x
+
y
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
y
=
e
x
,
x
= 0
y
= 2;
27
4)
RR
D
(
x
+ 2
y
)
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
y
=
x
2
,
y
=
√
x
;
5)
RR
D
x
x
2
+
y
2
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
= 0
,
x
= 2
,
y
=
x
,
y
=
√
3
x
;
6)
RR
D
(3
−
x
−
y
)
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
êðóã
x
2
+
y
2
≤
1;
7)
RR
D
xydxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
òðåóãîëüíèê
ñ
âåðøèíàìè
A
(0
,
0)
,
B
(1
,
0)
,
C
(0
,
1);
8)
RR
D
ydxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
+
y
= 2
,
y
=
√
x
,
y
= 0;
9)
RR
D
xydxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
+
y
= 2
,
x
2
+
y
2
= 2
y
(
x >
0);
10)
RR
D
y
x
2
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
y
=
x
3
,
y
=
x
2
;
11)
RR
D
x
2
y
2
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
êðèâûìè
x
=
y
2
,
x
= 1
;
12)
RR
D
xy
2
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
÷àñòü
êðóã
à
x
2
+
y
2
≤
9
,
x
≥
0;
13)
RR
D
(2
−
x
−
y
)
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
÷àñòü
êðóã
à
2
y
≤
x
2
+
y
2
≤
4
;
14)
RR
D
√
x
−
ydxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îãðàíè÷åíà
ïð
ÿìûìè
y
=
4
5
x
,
y
=
x
,
y
= 1
,
y
= 4
;
15)
RR
D
sin
π
(
x
−
y
)
dxdy
,
ã
äå
îáëàñòü
D
òðåóãîëüíèê
ñ
âåðøèíàìè
A
(
−
4
,
1)
,
B
(
−
1
,
−
1
/
2)
,
C
(7
/
2
,
17
/
2)
.
28
3.
Çàìåíà
ïåðåìåííûõ
â
äâîéíîì
èíòåãðàëå
Â
ð
ÿäå
çàäà
÷
âû÷èñëåíèå
äâîéíûõ
èíòåãðàëîâ
â
äåê
àðòî-
âîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò
ÿâëÿåòñ
ÿ
äîñò
àòî÷íî
çàòðó
äíèòåëü-
íûì,
÷òî
ìî
æ
åò
áûòü
ñâÿçàíî,
ñ
î
äíîé
ñòîðîíû,
ñ
äîñò
àòî÷-
íî
ñëî
æíîé
îáëàñòüþ
èíòåãðèðîâàíèÿ,
à
ñ
äðóãîé
ñòîðîíû,
ñ
âèäîì
ïî
äûíòåãðàëüíîé
óíêöèè.
Äëÿ
óïðîùåíèÿ
âû÷èñ-
ëåíèé
â
ýòèõ
ñëó÷àÿõ
ïðèáåã
àþò
ê
çàìåíå
ïåðåìåííûõ.
àññìîòðèì
óíêöèþ
f
(
x, y
)
,
ê
îòîðàÿ
îïðåäåëåíà
è
èí-
òåãðèðóåìà
â
çàìêíóòîé
îáëàñòè
D
ïëîñê
îñòè
xOy
.
È
ïó
ñòü
â
îáëàñòè
Ω
ïëîñê
îñòè
uOv
çàäàíà
ñèñòåìà
óíêöèé
x
=
x
(
u, v
)
,
y
=
y
(
u, v
)
,
(8)
ã
äå
x
(
u, v
)
è
y
(
u, v
)
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðó
åìûå
óíê-
öèè
ïåðåìåííûõ
u
è
v
.
Ñèñòåìà
(8)
çàäàåò
âçàèìíîî
äíîçíà
÷íîå
îòîáðàæ
åíèå
îá-
ëàñòè
Ω
íà
îáëàñòü
D
(ðèñ.
15).
èñ.
15
29
Ò
îã
äà
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
Z Z
Ω
f
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
))
|
J
|
dudv,
(9)
ã
äå
J
=
J
(
u, v
) =
D
(
x, y
)
D
(
u, v
)
=
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
6
= 0
,
∀
(
u, v
)
∈
Ω
.
Ôóíêöèîíàëüíûé
îïðåäåëèòåëü
J
íàçûâàåòñ
ÿ
îïðåäå
ëè-
òå
ëå
ì
ßêîáè,
èëè
ÿêîáèàíî
ì.
åîìåòðè÷åñêè
îí
âûðàæ
àåò
ê
îýèöèåíò
èñê
àæ
åíèÿ
ýëå-
ìåíò
à
ïëîùàäè
ïðè
îòîáðàæ
åíèè
îáëàñòåé.
|
J
|
dudv
ýëåìåíò
ïëîùàäè
â
îáëàñòè
Ω
.
Ôîðìó
ëà
(9)
îðìó
ëà
çàìåíû
ïåðåìåííûõ
â
äâîéíîì
èíòåãðàëå.
Êîîð
äèíàòû
u
è
v
ÿâëÿþòñ
ÿ
äåê
àðòîâûìè
ê
îîð
äè-
íàò
àìè
òî÷êè
(
u, v
)
â
îáëàñòè
Ω
è
êðèâîëèíåéíûìè
ê
îîð
äè-
íàò
àìè
òî÷êè
(
x, y
)
îáëàñòè
D
,
à
èíòåãðàë,
ñòî
ÿùèé
ñïðà-
âà
â
(9),
íàçûâàåòñ
ÿ
äâîéíûì
èíòåãðàëîì
â
êðèâîëèíåéíûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ.
Åñëè
â
èñ
õ
î
äíîì
èíòåãðàëå
ïî
îáëàñòè
D
ïðîèçâåñòè
çà-
ìåíó
ïåðåìåííûõ
ïî
îðìó
ëàì
(8),
òî
îáëàñòüþ
èíòåãðèðî-
âàíèÿ
ïîëó÷åííîãî
â
ïðàâîé
÷àñòè
(9)
èíòåãðàëà
ñò
àíåò
îá-
ëàñòü
Ω
,
ê
îòîðàÿ
ïðè
ïðàâèëüíîì
âûáîðå
óíêöèé
x
(
u, v
)
,
y
(
u, v
)
ìî
æ
åò
îê
àçàòüñ
ÿ
çíà
÷èòåëüíî
ïðîùå
èñ
õ
î
äíîé,
÷òî
â
ñâîþ
î÷åðåäü
ìî
æ
åò
ïðèâåñòè
ê
óïðîùåíèþ
äàëüíåéøèõ
âû÷èñëåíèé.
àññìîòðèì
÷àñòíûå
ñëó÷àè
çàìåíû
ïåðåìåííûõ,
ê
îòî-
ðûå
÷àùå
âñåãî
èñïîëüçóþòñ
ÿ
íà
ïðàêòèê
å
ïðè
âû÷èñëåíèè
äâîéíûõ
èíòåãðàëîâ.
Ïîëÿðíàÿ
ñèñòåìà
ê
îîð
äèíàò
.
Â
ê
à
÷åñòâå
êðèâîëèíåéíûõ
ê
îîð
äèíàò
u
è
v
ðàññìîòðèì
ïîëÿðíûå
ê
îîð
äèíàòû
r
è
ϕ
,
ê
îòîðûå
ñâÿçàíû
ñ
äåê
àðòîâû-
30