ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 408
Скачиваний: 1
16
В
соответствии
с
полученной
пропорцией
определяем
веса
:
1
2
1
16;
1;
4.
p
p
p
=
=
=
Тогда
среднее
взвешенное
значение
равно
:
0
0,45 16 0,15 1 0,60 4
395
395,46.
16 1 4
x
× +
× +
×
=
+
=
+ +
Существуют
и
другие
критерии
для
определения
весов
.
Если
число
наблюдений
в
каждой
серии
опытов
различно
,
а
дисперсии
одинаковы
,
то
в
качестве
критерия
для
определения
весов
используют
число
наблюдений
.
В
этом
случае
веса
определяют
по
формуле
:
1
2
3
1
2
3
:
:
:...:
:
:
:...:
.
m
m
p p p
p
n n n
n
=
(4.3)
С
учётом
соотношения
(4.3)
формула
(4.1)
принимает
вид
:
1
1
2
2
3
3
0
1
2
3
...
,
...
m
m
m
x n
x n
x n
x n
x
n
n
n
n
× + × + × + +
×
=
+
+ + +
(4.4)
где
1
2
3
...
m
n
n
n
n
n
+
+ + +
=
–
общее
число
измерений
во
всех
группах
:
3
1
2
1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
;
;
; ...
m
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
m
m
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
=
=
=
=
=
=
=
=
å
å
å
å
,
причём
1
2
3
...
1
1
2
2
3
3
1
1
...
m
n n n
n
n
m
m
i
i
i
i
x n
x n
x n
x n
x
x
+ + + +
=
=
× + × + × + +
×
=
=
å
å
.
Таким
образом
,
формула
(4.4)
преобразуется
к
виду
:
1
0
.
n
i
i
x
x
x
n
=
=
=
å
(4.5)
Например
,
предположим
,
что
были
проведены
три
группы
измерений
с
различным
числом
наблюдений
,
а
значения
дисперсии
во
всех
сериях
измере
-
ний
оказались
приблизительно
одинаковы
.
Результаты
трёх
серий
измерений
:
1
1
2
1
3
1
1)
25,4925;
36;
2)
25,4920;
24;
3)
25,4919;
60.
x
n
x
n
x
n
=
=
=
=
=
=
На
основании
пропорции
(4.3)
можно
записать
:
1
2
3
:
:
36 : 24 : 60 3: 2 : 5.
p p p
=
=
Следовательно
,
веса
серий
измерений
равны
:
1
2
3
3;
2;
5.
p
p
p
=
=
=
Среднее
взвешенное
значение
равно
:
0
0,0025 3 0,0020 2 0,0019 5
25,49
25,4921.
3 2 5
x
× +
× +
×
=
+
=
+ +
5.
Учёт
инструментальной
погрешности
Погрешности
измерительных
приборов
определяются
их
классом
точности
,
который
обычно
выражается
в
процентах
.
Класс
точности
изме
-
17
рительного
прибора
можно
принять
приближённо
равным
максимально
возможной
приведённой
погрешности
,
определяемой
формулой
:
/
N
х х
d
= D
, (5.1)
где
N
x
–
нормированное
значение
величины
,
например
,
N
MAX
x
x
=
,
где
MAX
x
–
максимальное
значение
измеряемой
величины
.
Амперметр
класса
точности
0,2
позволяет
производить
измерения
с
абсолютной
погрешно
-
стью
,
не
превышающей
0,2
%
от
тока
,
соответствующего
полной
шкале
прибора
.
Способ
измерения
линейных
размеров
,
при
котором
располагают
линейку
так
,
чтобы
один
её
край
совпал
с
одним
концом
предмета
,
и
от
-
считывать
показания
у
другого
конца
(
рис
. 5.1
а
)
годится
только
для
грубых
измерений
.
Для
получения
более
точных
результатов
предмет
следует
рас
-
полагать
таким
образом
(
рис
. 5.1
б
),
чтобы
можно
было
снимать
показания
у
обоих
концов
.
Это
связано
с
тем
,
что
край
линейки
может
оказаться
ис
-
порченным
,
или
нулевая
отметка
поставлена
неверно
.
Погрешность
изме
-
рений
,
производимых
с
помощью
линеек
,
принимается
равной
половине
цены
деления
шкалы
.
а
б
Рис
. 5.1
Если
случайная
погрешность
значительно
меньше
инструментальной
погрешности
(
)
СЛ
ПР
x
x
D
D
=
,
то
общая
погрешность
результата
равна
по
-
грешности
измерительного
прибора
(
)
ПР
х
х
D » D
.
В
этом
случае
повторные
измерения
не
сопровождаются
разбросом
и
достаточно
ограничиться
дву
-
мя
-
тремя
повторными
измерениями
для
исключения
грубой
погрешности
.
Такое
соотношение
погрешностей
указывает
на
необходимость
повышения
чувствительности
измерительного
прибора
.
18
Если
случайная
погрешность
существенно
превосходит
инструменталь
-
ную
(
)
СЛ
ПР
x
x
D
D
?
,
можно
попытаться
увеличением
числа
измерений
уменьшить
случайную
погрешность
до
значений
,
сопоставимых
с
инструмен
-
тальной
погрешностью
.
Однако
расчёты
показывают
,
что
это
требует
увели
-
чения
количества
измерений
до
значений
,
практически
нереальных
.
Такая
си
-
туация
может
быть
обусловлена
несовершенством
метода
,
свойствами
объекта
исследования
или
использованием
прибора
с
необоснованно
высокой
точно
-
стью
.
В
последнем
случае
достаточно
заменить
измерительный
прибор
,
чтобы
обеспечить
равенство
случайной
и
инструментальной
ошибки
.
Полагая
случайную
и
инструментальную
составляющие
погрешно
-
сти
взаимно
независимыми
,
суммарную
погрешность
можно
определить
их
геометрическим
суммированием
:
2
2
СЛ
ПР
x
x
x
D = D
+ D
. (5.2)
При
этом
суммарной
погрешности
приписывается
та
же
доверительная
ве
-
роятность
a
,
как
и
при
вычислении
случайной
погрешности
.
Результат
измерений
следует
представить
в
виде
:
x x
x
= ± D
, (5.3)
указав
доверительную
вероятность
( )
a
.
Эта
запись
должна
быть
дополнена
информацией
об
относительной
погрешности
:
100 %
x
E
x
D
=
×
. (5.4)
6.
Случайные
погрешности
косвенных
измерений
В
тех
случаях
,
когда
физическая
величина
не
может
быть
определена
непосредственно
,
для
её
нахождения
используют
косвенные
измерения
.
При
косвенных
измерениях
значение
физической
величины
находят
на
ос
-
новании
известной
зависимости
1
2
3
( ,
,
, ...
)
n
y
f x x
x
x
=
этой
величины
у
от
величин
1
2
3
,
,
, ...
n
x x
x
x
,
определяемых
из
прямых
измерений
.
Для
независимых
аргументов
i
x
средняя
абсолютная
погрешность
y
D
определяется
с
помощью
правил
дифференцирования
,
причём
символ
дифференциала
d
заменяют
символом
D
,
обозначающим
ошибку
,
то
есть
:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
...
n
n
f
f
f
f
y
x
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
D =
× D
+
× D
+
× D
+
× D
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
,(6.1)
где
/
i
f
x
¶ ¶
–
частная
производная
функции
f
по
i
x
в
точке
измерений
1
x
;
1
2
3
,
,
, ...
n
x
x
x
x
D
D
D
D
–
абсолютные
погрешности
определения
величин
1
2
3
,
,
, ...
n
x x
x
x
.
Пример
1.
Если
функция
представляет
собой
сумму
или
разность
ве
-
личин
1
x
и
2
x
,
определяемых
из
прямых
измерений
(
)
1
2
y x
x
= ±
,
то
под
-
19
становка
частных
производных
1
1
f
x
¶
=
¶
,
2
1
f
x
¶
= ±
¶
в
формулу
(6.1)
позволяет
выразить
абсолютную
погрешность
косвенного
измерения
:
( ) ( )
2
2
1
2
y
x
x
D =
D
+ D
.
Пример
2.
Функция
имеет
вид
:
sin
y
x
=
.
Определяем
частную
про
-
изводную
:
cos
y
x
x
¶
=
¶
,
подстановка
которой
в
формулу
(6.1)
позволяет
вы
-
разить
абсолютную
погрешность
:
(
)
2
cos
cos
y
x
x
x
x
D =
× D
=
× D
.
Пример
3.
Функция
имеет
вид
:
1
1
2
x
y
x
x
=
-
.
Дифференцирование
функции
даёт
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
;
x
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
¶
-
¶
-
=
=
=
¶
¶
-
-
-
.
Подстановка
полученных
соотношений
в
формулу
(6.1)
позволяет
выразить
абсолютную
погрешность
:
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
× D
+
× D
× D
× D
D =
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
-
è
ø
è
ø
.
Если
величина
у
определяется
с
помощью
формулы
,
удобной
для
ло
-
гарифмирования
,
то
проще
найти
относительную
погрешность
,
а
затем
рассчитать
её
абсолютное
значение
.
Относительная
погрешность
определяется
по
формуле
(5.3):
100 %
y
y
E
y
D
=
×
. (6.2)
Поскольку
дифференциал
натурального
логарифма
равен
:
(
)
ln
dy
d
y
y
=
,
то
,
заменяя
символ
дифференциала
символом
D
и
у
символом
y
,
получим
:
(
)
ln
y
y
y
D
D
=
. (6.3)
Подстановка
выражения
(6.3)
в
формулу
(6.2)
позволяет
определить
относительную
погрешность
косвенного
измерения
:
(
)
ln
y
y
E
y
y
D
=
= D
,
окончательно
(
)
2
1
ln
n
y
i
i
i
f
y
E
x
y
x
=
é
ù
¶
D
=
=
× D
ê
ú
¶
ë
û
å
. (6.4)
20
Пример
1.
Функция
имеет
вид
:
а
)
1
2
y x x
= ×
или
б
)
1
2
x
y
x
=
.
1).
Логарифмируя
функции
y
,
получим
:
а
)
1
2
ln
ln
ln
y
x
x
=
+
;
б
)
1
2
ln
ln
ln
y
x
x
=
-
.
2).
Определяем
частные
производные
:
а
)
(
)
1
1
ln
1
y
x
x
¶
=
¶
;
(
)
2
2
ln
1
y
x
x
¶
=
¶
;
б
)
(
)
1
1
ln
1
y
x
x
¶
=
¶
;
(
)
2
2
ln
1
y
x
x
¶
= -
¶
. (6.5)
Здесь
под
величинами
1
x
и
2
x
понимаются
их
средние
значения
.
3).
Подстановка
частных
производных
(6.5)
в
формулу
(6.4)
позволяет
вы
-
разить
относительную
погрешность
:
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
y
x
x
x
x
E
E
E
x
x
æ
ö
æ
ö
D
D
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
Пример
2.
Функция
имеет
вид
y a x
= ×
,
где
а
–
постоянный
множи
-
тель
.
1).
Логарифмируем
функцию
у
: ln
ln
ln
y
a
x
=
+
.
2).
Определяем
частную
производную
:
ln
1
y
x
x
¶
=
¶
.
3).
Подстановка
частной
производной
ln
y
x
¶
¶
в
формулу
(6.4)
даёт
:
2
2
y
x
x
x
E
E
E
x
D
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
.
Пример
3.
b
y a x
= ×
.
1). ln
ln
ln
y
a b
x
=
+ ×
.
2).
ln
y
b
x
x
¶
=
¶
.
3).
2
2
2
y
x
x
b
E
x
b E
b E
x
æ
ö
=
× D
=
×
= ×
ç
÷
è
ø
.
Пример
4.
1
2
3
4
.
(
)
a x x
y
x
x
p
× ×
=
×
-
1).
(
)
1
2
3
4
ln
ln
ln
ln
ln
ln
y
a
x
x
x
x
p
=
+
+
-
-
-
.
2).
(
)
1
1
2
2
3
4
3
4
ln
1
ln
1
ln
1
;
;
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
¶
¶
¶
=
=
=
¶
¶
¶
-
-
.
3).
2
2
2
1
1
3
4
1
1
3
4
y
x
x
x
x
E
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
D
D
D + D
=
+
+ ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
è
ø
.