ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 414
Скачиваний: 1
— 46 —
Покажем, что функция
x
∈
L
∞
[
a, b
]
. Возьмем произвольное
ε >
0
. В оцен-
ке
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
< ε
, где
t
∈
[
a, b
]
\
A
и
n, m
≥
N
, устремим
n
→ ∞
. Получим
(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
A
)(
∀
m
≥
N
)[
|
x
(
t
)
−
x
m
(
t
)
| ≤
ε
]
.
Следовательно, в точках
t
∈
[
a, b
]
\
A
и фиксированном
m
≥
N
выполняется
оценка
|
x
(
t
)
| ≤ |
x
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
+
|
x
m
(
t
)
| ≤
ε
+
k
x
m
k
∞
=
c
(
m
)
<
∞
.
Таким образом, измеримая функция
x
(
t
)
почти всюду ограничена, то есть
x
∈
L
∞
[
a, b
]
.
Теперь для всех
n
≥
N
отметим очевидную оценку
k
x
−
x
n
k
∞
≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
|
x
(
t
)
−
x
n
(
t
)
| ≤
ε,
из которой следует сходимость
k
x
−
x
n
k
∞
→
0
при
n
→ ∞
, что завершает
доказательство полноты пространства
L
∞
[
a, b
]
.
♥
•
Задачи: 14.1 – 14.8.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анали-
за / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. – 570 с.
2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон.
– М.: Наука, 1974. – 479 с.
3. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секефальви-
Надь. – М.: Мир, 1979. – 589 с.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов.
– М.: Физматгиз, 1960. – 388 с.
5. Шилов Г.Е. Интеграл, мера и производная / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич.
– М.: Наука, 1967. – 220 с.
6. Смагин В.В. Сборник заданий для лабораторных работ по курсу «Функ-
циональный анализ и интегральные уравнения» / В.В.Смагин. – Воронеж:
ВГУ, 2001. – 28 с.
7. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев.
– М.: Высшая школа. 1988. – Т.1. – 712 с.
— 47 —
Составитель Смагин Виктор Васильевич
Редактор Золотарева Ксения Александровна