ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 416
Скачиваний: 1
— 36 —
Если множество
A
на бесконечном промежутке такое, что его характеристи-
ческая функция
χ
A
(
t
)
измерима, то множество
A
называется
измеримым
.
Если дополнительно функция
χ
A
(
t
)
суммируема, то множество
A
называется
суммируемым
, а число
Iχ
A
=
µA
называется
мерой
суммируемого множе-
ства. Мера измеримых, но не суммируемых множеств по определению пола-
гается равной
∞
.
Так, имея в виду рассмотренный выше пример, можно утверждать, что
множество
[0
,
∞
)
измеримо, но не суммируемо.
При сделанных определениях операции объединения и пересечения, ес-
ли они производятся конечное или счетное число раз, а также операция до-
полнения (разности) не выводят из класса измеримых множеств. Все ранее
доказанные утверждения об измеримых множествах переносятся на случай
бесконечного промежутка за исключением следствия из теоремы 10, которое
нуждается в некотором уточнении.
Следствие (Т.10).
Пусть на бесконечном промежутке задана последо-
вательность измеримых множеств
{
A
n
}
таких, что
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
⊃
...
Пусть
(
∃
m
∈
N
) [
µA
m
<
∞
]
. Тогда множество
A
=
T
∞
n
=1
A
n
суммируемо и
µA
= lim
n
→∞
µA
n
.
Доказательство.
Заметим, что
A
=
T
∞
n
=
m
A
n
. Множества
A, A
m
, A
m
+1
, ...
не только измеримы, но и суммируемы, так как все они являются подмноже-
ствами суммируемого множества
A
m
. Рассмотрим дополнения этих множеств
до множества
A
m
:
CA
=
A
m
\
A
,
CA
n
=
A
m
\
A
n
, где
n
=
m, m
+ 1
, ...
Рас-
смотрим множество
CA
=
C
∞
\
n
=
m
A
n
=
∞
[
n
=
m
CA
n
.
Суммируемые множества
CA
n
такие, что
CA
m
⊂
CA
m
+1
⊂
...
⊂
CA
n
⊂
...
Следовательно, по теореме 10
µ
(
CA
) = lim
n
→∞
µ
(
CA
n
) = lim
n
→∞
µ
(
A
m
\
A
n
) =
µA
m
−
lim
n
→∞
µA
n
.
С другой стороны,
µ
(
CA
) =
µA
m
−
µA
, то есть
µA
= lim
n
→∞
µA
n
.
♥
Обратим внимание, что условие
(
∃
m
∈
N
) [
µA
m
<
∞
]
в доказанном утвер-
ждении является существенным. В связи с этим рассмотрим в качестве при-
мера на промежутке
[0
,
∞
)
измеримые множества
A
n
= (
n,
∞
)
. Заметим,
что выполнено условие
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
⊃
...
и
A
=
T
∞
n
=1
A
n
=
∅
.
Тогда
µA
= 0
. С другой стороны,
(
∀
n
∈
N
) [
µA
n
=
∞
]
. Таким образом,
0 =
µA
6
= lim
n
→∞
µA
n
=
∞
.
•
Задачи:
13.6 – 13.8.
— 37 —
19. СЛУЧАЙ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Ограничимся рассмотрением функций
x
(
t, s
)
, определенных в прямоуголь-
нике
D
=
{
(
t, s
)
|
(
a
1
≤
t
≤
b
1
)
∧
(
a
2
≤
s
≤
b
2
)
} ⊂
R
2
. Все конструкции и
доказательства соответствующих утверждений повторяют одномерный слу-
чай на ограниченном отрезке.
Множество
A
⊂
D
называется плоским
множеством меры нуль
, если
(
∀
ε >
0) (
∃{
D
j
} −
конечная или счетная система прямоугольников
)
h ³
A
⊂
[
j
D
j
´
∧
³ X
j
|
D
j
|
< ε
´ i
,
где для прямоугольника
D
j
=
{
(
t, s
)
|
(
a
j
1
≤
t
≤
b
j
1
)
∧
(
a
j
2
≤
s
≤
b
j
2
)
}
его
площадь
|
D
j
|
= (
b
j
1
−
a
j
1
)(
b
j
2
−
a
j
2
)
.
•
Задачи:
13.9, 13.10.
Из задач 13.9, 13.10 следует, что стороны прямоугольников
D
j
являются
плоскими ММН. Поэтому в определении плоского ММН замкнутые прямо-
угольники
D
j
можно заменить, например, открытыми.
Предположим, что прямоугольник
D
разбит на конечное число прямо-
угольников
D
j
=
{
(
t, s
)
|
(
a
j
1
≤
t
≤
b
j
1
)
∧
(
a
j
2
≤
s
≤
b
j
2
)
}
, где
j
= 1
, m
, то
есть
D
=
∪
m
j
=1
D
j
и прямоугольники
D
j
могут пересекаться только по сто-
ронам. Функция
h
(
t, s
)
, принимающая постоянные значения на каждом из
прямоугольников
D
j
, называется
ступенчатой
на
D
. Заметим, что значе-
ниями
h
(
t, s
)
на сторонах прямоугольников
D
j
можно пренебрегать, так как
множество точек на сторонах прямоугольников образуют ММН. Интегралом
от ступенчатой функции
h
(
t, s
)
называется число
Ih
=
P
m
j
=1
b
j
|
D
j
|
, где
b
j
–
значение функции
h
(
t, s
)
в прямоугольнике
D
j
.
Далее определяются измеримые функции двух переменных, множество
функций
C
+
и интеграл в этом множестве, суммируемые на
D
функции
x
(
t, s
)
и интеграл
I
D
x
для них и т.д.. Все утверждения, касающиеся схемы Ф.Рисса-
Даниэля построения интеграла, понятия измеримого множества, в том числе
интегрирования по измеримому множеству, переносятся на функции двух
независимых переменных без всяких изменений.
•
Задача
13.11.
Рассмотрим для функций двух независимых переменных новую задачу,
связанную с двойным и повторными интегралами.
Теорема (Фубини) 21.
Пусть
x
(
t, s
)
– функция, суммируемая в прямо-
угольнике
D
=
{
(
t, s
)
|
(
a
1
≤
t
≤
b
1
)
∧
(
a
2
≤
s
≤
b
2
)
}
. Тогда:
1) рассматриваемая как функция аргумента
t
при фиксированном
s
, эта
функция является суммируемой функцией по
t
при п.в. значениях
s
;
— 38 —
2) ее интеграл по
[
a
1
, b
1
]
, который обозначим
I
t
x
(
t, s
)
, как функция от
s
является суммируемой функцией на
[
a
2
, b
2
]
;
3) имеет место равенство
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
=
I
D
x
.
Поменяв переменные
t
и
s
ролями получим
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
}
=
I
D
x
=
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
.
Доказательство
теоремы весьма громоздко (см. напр. [5]) и здесь не при-
водится.
Продемонстрируем возможности этой теоремы на двух задачах.
•
Задача 13.12.
В квадрате
0
≤
t, s
≤
1
задана функция
x
(
t, s
) =
0
,
(
t, s
) = (0
,
0)
t
2
−
s
2
(
t
2
+
s
2
)
2
,
(
t, s
)
6
= (0
,
0)
.
Доказать, что функция
x
(
t, s
)
в квадрате
D
= [0
,
1]
×
[0
,
1]
не суммируема.
Решение.
Функция
x
(
t, s
)
при
t
6
= 0
непрерывна по
s
∈
[0
,
1]
. Следователь-
но,
x
(
t, s
)
суммируема по
s
∈
[0
,
1]
, причем,
I
s
x
(
t, s
) = (
R
)
I
s
x
(
t, s
)
. Заметим,
что при
t
6
= 0
x
(
t, s
) =
∂
∂s
³
s
t
2
+
s
2
´
=
−
∂
∂t
³
t
t
2
+
s
2
´
.
Поэтому при всех
t
6
= 0
I
s
x
(
t, s
) =
Z
1
0
∂
∂s
³
s
t
2
+
s
2
´
ds
=
1
t
2
+ 1
.
Полученный
I
s
x
является суммируемой функцией по
t
∈
[0
,
1]
и, следова-
тельно, определен
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
}
=
Z
1
0
dt
1 +
t
2
=
π
4
.
Аналогично устанавливается, что определен
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
=
−
π/
4
.
Таким образом,
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
} 6
=
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
. Отсюда в силу теоремы 21
следует, что функция
x /
∈
L
(
D
)
.
♥
•
Задача 13.13.
В квадрате
−
1
≤
t, s
≤
1
задана функция
x
(
t, s
) =
0
,
(
t, s
) = (0
,
0)
t s
(
t
2
+
s
2
)
2
,
(
t, s
)
6
= (0
,
0)
.
Доказать, что функция
x
(
t, s
)
в квадрате
D
= [
−
1
,
1]
×
[
−
1
,
1]
не суммируема.
Решение.
Заметим, что при любом фиксированном значении одного пере-
менного функция
x
(
t, s
)
будет непрерывной функцией другого переменного.
— 39 —
Следовательно,
x
(
t, s
)
∈
L
t
и
x
(
t, s
)
∈
L
s
. Кроме того,
I
t
x
(
t, s
) =
Z
1
−
1
t s
(
t
2
+
s
2
)
2
dt
= 0
и тогда определен
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
= 0
. Аналогично получим
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
}
= 0
.
Итак,
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
= 0 =
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
}
, что пока не позволяет сделать вы-
вод о несуммируемости функции
x
(
t, s
)
.
Предположим, что функция
x
∈
L
(
D
)
. Обозначим
D
0
= [0
,
1]
×
[0
,
1]
⊂
D
.
Квадрат
D
0
является измеримым множеством, так как его характеристиче-
ская функция п.в. равна ступенчатой. Поэтому функция
x
∈
L
(
D
0
)
. В силу
теоремы 21 для
s
∈
[0
,
1]
определен
I
s
x
(
t, s
)
∈
L
t
, где
t
∈
(0
,
1]
. Вычислим
I
s
x
(
t, s
) = (
R
)
I
s
x
(
t, s
) =
Z
1
0
t s
(
t
2
+
s
2
)
2
ds
=
t
2
Z
1
0
d
s
(
t
2
+
s
2
)
(
t
2
+
s
2
)
2
=
1
2
t
−
t
2(1 +
t
2
)
/
∈
L
[0
,
1]
.
Получили, что функция
I
s
x
(
t, s
)
не суммируема по
t
∈
[0
,
1]
. Из теоремы
21 тогда следует, что
x
(
t, s
)
/
∈
L
(
D
0
)
и, тем более,
x
(
t, s
)
/
∈
L
(
D
)
.
♥
Теорема 22.
Пусть на прямоугольнике
D
функция
x
(
t, s
)
измерима и
x
(
t, s
)
≥
0
п.в. на
D
. Тогда из существования одного из интегралов
(
I
t
{
I
s
x
(
t, s
)
}
)
∨
(
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
)
следует суммируемость функции
x
(
t, s
)
на прямоугольнике
D
.
Доказательство.
Пусть существует, например,
I
s
{
I
t
x
(
t, s
)
}
=
K
, то есть
функция
x
(
t, s
)
∈
L
t
при п.в.
s
и
I
t
x
(
t, s
)
∈
L
s
.
Определим на
D
для
n
∈
N
функцию
x
n
(
t, s
) = min
{
x
(
t, s
)
, n
}
. Функции
x
n
(
t, s
)
измеримы и ограничены, следовательно, суммируемы на
D
. По тео-
реме 21 получим
I
D
x
n
=
I
s
{
I
t
x
n
}
. Заметим, что
x
n
(
t, s
)
≤
x
(
t, s
)
п.в. на
D
.
Поэтому
I
D
x
n
=
I
s
{
I
t
x
n
} ≤
I
s
{
I
t
x
}
=
K
. Заметим, что
x
n
(
t, s
)
%
x
(
t, s
)
.
Тогда по следствию 1 из теоремы 5 получим, что
x
(
t, s
)
∈
L
(
D
)
.
♥
Следствие 1.
Пусть функция
x
(
t
)
∈
L
[
a
1
, b
1
]
и функция
y
(
s
)
∈
L
[
a
2
, b
2
]
.
Тогда функция
x
(
t
)
·
y
(
s
)
∈
L
(
D
)
, где
D
= [
a
1
, b
1
]
×
[
a
2
, b
2
]
и
I
D
(
x
·
y
) =
I
t
x
·
I
s
y
.
Доказательство.
Можно считать, что функции
x
(
t
)
и
y
(
s
)
заданы на пря-
моугольнике
D
. Тогда, очевидно, эти функции измеримы на
D
. Следователь-
но, измерима на
D
и функция
|
x
(
t
)
·
y
(
s
)
| ≥
0
. Существует
I
s
{
I
t
|
x
(
t
)
·
y
(
s
)
|}
=
I
s
{ |
y
(
s
)
|
I
t
|
x
(
t
)
|}
=
I
t
|
x
(
t
)
| ·
I
s
|
y
(
s
)
|
.
Из теоремы 22 получим, что функция
|
x
(
t
)
·
y
(
s
)
| ∈
L
(
D
)
. Следовательно, и
функция
x
(
t
)
·
y
(
s
)
∈
L
(
D
)
, так как она измерима и ограничена суммируемой
функцией
|
x
(
t
)
·
y
(
s
)
|
.
— 40 —
Из теоремы 22 теперь получим
I
D
(
x
·
y
) =
I
s
{
I
t
(
x
·
y
)
}
=
I
t
x
·
I
s
y
.
♥
Следствие 2.
Пусть
A
⊂
[
a
1
, b
1
]
– измеримое множество на оси
t
–ов,
а
B
⊂
[
a
2
, b
2
]
– измеримое множество на оси
s
–ов. Тогда множество
A
×
B
измеримо на прямоугольнике
D
=
{
(
t, s
)
|
(
a
1
≤
t
≤
b
1
)
∧
(
a
2
≤
s
≤
b
2
)
}
и
µ
2
(
A
×
B
) =
µ
1
A
·
µ
1
B
, где
µ
2
– плоская мера, а
µ
1
– линейная мера.
Доказательство.
Очевидно, что для множества
A
×
B
характеристическая
функция
χ
A
×
B
(
t, s
) =
χ
A
(
t
)
·
χ
B
(
s
)
. Заметим, что функция
χ
A
(
t
)
∈
L
t
и функ-
ция
χ
B
(
s
)
∈
L
s
. По следствию 1 теоремы 22 получим, что
χ
A
×
B
(
t, s
)
∈
L
(
D
)
,
что означает измеримость множества
A
×
B
, кроме того, получим
I
D
χ
A
×
B
=
I
t
χ
A
·
I
s
χ
B
, то есть
µ
2
(
A
×
B
) =
µ
1
A
·
µ
1
B
.
♥
20. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть
p
– фиксированное положительное число, то есть
0
< p <
∞
. Мно-
жество
L
p
[
a, b
]
(или просто
L
p
) состоит по определению из всех измеримых
на
[
a, b
]
функций
x
(
t
)
, для которых функция
|
x
(
t
)
|
p
∈
L
. Будем такие функ-
ции
x
(
t
)
называть суммируемыми на
[
a, b
]
с
p
-ой степенью. Заметим, что
L
1
=
L
1
[
a, b
] =
L
[
a, b
] =
L
.
Покажем, что
L
p
[
a, b
]
можно считать вещественным линейным простран-
ством. Действительно, если
x
∈
L
p
и
α
∈
R
1
, то функция
(
αx
)(
t
) =
αx
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
и
|
αx
(
t
)
|
p
=
|
α
|
p
|
x
(
t
)
|
p
∈
L
. Для двух функций
x, y
∈
L
p
функция
(
x
+
y
)(
t
) =
x
(
t
) +
y
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
. В силу леммы 4 функция
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
также измерима на
[
a, b
]
. Справедлива оценка
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
≤
(
|
x
(
t
)
|
+
|
y
(
t
)
|
)
p
≤
( 2 max
{ |
x
(
t
)
|
,
|
y
(
t
)
| }
)
p
=
2
p
max
{ |
x
(
t
)
|
p
,
|
y
(
t
)
|
p
} ≤
2
p
(
|
x
(
t
)
|
p
+
|
y
(
t
)
|
p
)
,
из которой и следствия 1 теоремы 7 получим, что функция
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
∈
L
.
Таким образом, функция
(
x
+
y
)(
t
)
∈
L
p
.
Для однозначного определения нуля в пространстве
L
p
[
a, b
]
проведем в
этом множестве факторизацию. Назовем функции
x, y
∈
L
p
эквивалентны-
ми, если
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
. Получим на множестве
L
p
отношение эквивалентности,
которое порождает разбиение
L
p
на классы эквивалентных элементов. За
множеством классов эквивалентных элементов сохраним прежнее обозначе-
ние
L
p
[
a, b
]
(или просто
L
p
). Таким образом,
x
∈
L
p
[
a, b
]
означает, что
x
(
t
)
–
класс эквивалентности функций, измеримых на
[
a, b
]
, суммируемых на
[
a, b
]
с
p
-ой степенью, и которые п.в. равны между собой. В таком случае, нулевым
элементом в
L
p
[
a, b
]
будет класс функций, равных нулю п.в. на
[
a, b
]
. Заме-
тим, что теперь в
L
p
[
a, b
]
все аксиомы линейного пространства выполняются
очевидным образом.