ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 413
Скачиваний: 1
— 6 —
полной меры
[
a, b
]
\
(
A
1
∪
B
1
∪
A
2
∪
B
2
∪
A
3
∪
B
3
)
. Кроме того, ступенчатые
функции
ϕ
[
h
n
(
t
)
, k
n
(
t
)]
→
ϕ
[
x
(
t
)
, y
(
t
)]
при
n
→ ∞
.
Следовательно,
ϕ
(
t
)
– измеримая на
[
a, b
]
функция.
♥
Следствие.
Пусть
x
(
t
)
,
y
(
t
)
– измеримые на
[
a, b
]
функции. Тогда изме-
римыми являются и следующие функции:
αx
(
t
) (
α
∈
R
1
)
,
|
x
(
t
)
|
, x
(
t
) +
y
(
t
)
, x
(
t
)
y
(
t
)
,
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
,
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
.
Лемма 5.
Пусть
x
(
t
)
,
y
(
t
)
– измеримые на
[
a, b
]
функции и
y
(
t
)
6
= 0
п.в.
на
[
a, b
]
. Тогда функция
x
(
t
)
/y
(
t
)
– измеримая на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Дополним множества
A
i
, B
i
(
i
= 1
,
2
,
3)
множеством
B
0
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
y
(
t
) = 0
}
, которое также является ММН. Тогда на множе-
стве полной меры
[
a, b
]
\
(
A
1
∪
B
1
∪
A
2
∪
B
2
∪
B
0
)
функция
x
(
t
)
/y
(
t
)
определена
и конечна. Пусть
{
h
n
(
t
)
}
и
{
k
n
(
t
)
}
соответствующие
x
(
t
)
и
y
(
t
)
последова-
тельности ступенчатых функций. Может оказаться, что какие-то функции
k
n
(
t
) = 0
на некоторых интервалах соответствующих разбиений. Определим
тогда по функциям
k
n
(
t
)
новые ступенчатые функции
k
n
(
t
) =
½
k
n
(
t
)
,
k
n
(
t
)
6
= 0
1
/n,
k
n
(
t
) = 0
.
Для последовательности функций
{
k
n
(
t
)
}
на множестве полной меры
[
a, b
]
\
(
A
1
∪
B
1
∪
A
2
∪
B
2
∪
A
3
∪
B
3
∪
B
0
)
при
n
→ ∞
получим
|
y
(
t
)
−
k
n
(
t
)
| ≤ |
y
(
t
)
−
k
n
(
t
)
|
+
|
k
n
(
t
)
−
k
n
(
t
)
| ≤ |
y
(
t
)
−
k
n
(
t
)
|
+
1
n
→
0
.
Отсюда при
n
→ ∞
следует
h
n
(
t
)
/k
n
(
t
)
п.в.
→
x
(
t
)
/y
(
t
)
.
♥
Для произвольной функции
x
(
t
)
определим две функции:
x
+
(
t
) = max
{
x
(
t
)
,
0
}
,
x
−
(
t
) = max
{
0
,
−
x
(
t
)
}
.
(1)
Очевидно, что
x
(
t
) =
x
+
(
t
)
−
x
−
(
t
)
и
|
x
(
t
)
|
=
x
+
(
t
) +
x
−
(
t
)
. Заметим, что для
функции
x
(
t
)
, измеримой на
[
a, b
]
, функции
x
+
(
t
)
и
x
−
(
t
)
также измеримы.
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть ступенчатая на
[
a, b
]
функция
h
(
t
)
принимает в соответствующих
интервалах
4
i
= (
t
i
−
1
, t
i
)
значения
b
i
, где
i
= 1
, n
. Определим интеграл от
h
(
t
)
формулой
Ih
=
n
X
i
=1
b
i
|4
i
|
.
(2)
Нетрудно увидеть, что всякая ступенчатая функция интегрируема по Риману,
а определенный в (2) интеграл
Ih
совпадает с интегралом Римана от этой
— 7 —
функции, то есть
Ih
= (
R
)
Z
b
a
h
(
t
)
dt.
Из известных свойств интеграла Римана следует:
Лемма 6.
Пусть
h
,
h
1
,
h
2
– ступенчатые на
[
a, b
]
функции. Тогда:
1)
(
∀
α
∈
R
1
)[
I
(
αh
) =
αIh
]
,
2)
I
(
h
1
+
h
2
) =
Ih
1
+
Ih
2
,
3)
если
h
1
(
t
)
≤
h
2
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
, то
Ih
1
≤
Ih
2
.
В частности, если
h
(
t
)
≥
0
п.в. на
[
a, b
]
, то
Ih
≥
0
.
Далее тот факт, что последовательность функций
{
x
n
(
t
)
}
п.в. на
[
a, b
]
мо-
нотонно убывая
(соответственно
возрастая
) при
n
→ ∞
стремится к функ-
ции
x
(
t
)
, будем обозначать
x
n
(
t
)
&
x
(
t
)
(соответственно
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
).
Лемма 7.
Пусть
{
h
n
(
t
)
}
– последовательность неотрицательных ступен-
чатых функций и
h
n
(
t
)
&
0
. Тогда
Ih
n
→
0
при
n
→ ∞
.
Доказательство.
Определим множество
A
0
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
h
n
(
t
)
6&
0
}
. Че-
рез
A
i
для
i
∈
N
обозначим множество точек разбиения
[
a, b
]
, соответствую-
щих функции
h
i
(
t
)
. Тогда множество
A
=
S
∞
i
=0
A
i
– ММН. Зададим
ε >
0
.
Пусть
{4
k
}
– система интервалов такая, что
(
A
⊂
S
k
4
k
)
∧
(
P
k
|4
k
|
< ε
).
Возьмем точку
t
0
∈
[
a, b
]
\
A
. Тогда
(
∃
n
=
n
(
t
0
)) [
h
n
(
t
0
)
< ε
]
. Точка
t
0
принад-
лежит некоторому интервалу
4
0
=
4
(
t
0
)
, в котором функция
h
n
принимает
постоянное значение
h
n
(
t
0
)
. Аналогичные интервалы построим для каждой
точки
t
0
∈
[
a, b
]
\
A
.
Интервалы
4
k
вместе с интервалами
4
0
образуют покрытие отрезка
[
a, b
]
.
Воспользуемся леммой Гейне-Бореля и выделим из этого покрытия конечное
подпокрытие, интервалы которого обозначим
4
1
,
4
2
, ...,
4
m
;
4
0
1
,
4
0
2
, ...,
4
0
p
.
Здесь
4
i
∈ {4
k
}
и
4
0
i
∈ {4
0
}
. Обозначим через
N
наибольший из номеров,
построенных по соответствующим точкам
t
0
, которые определяют интервалы
4
0
1
, ...,
4
0
p
. Тогда функция
h
N
на интервалах
4
0
1
, ...,
4
0
p
меньше
ε
. На интер-
валах
4
1
, ...,
4
m
функция
h
N
(
t
)
≤
max
h
1
(
t
) =
M
.
Таким образом, для всех
n
≥
N
0
≤
Ih
n
≤
Ih
N
< ε
(
b
−
a
) +
Mε
= (
b
−
a
+
M
)
ε,
что означает
Ih
n
→
0
при
n
→ ∞
.
♥
Лемма 8.
Пусть
{
h
n
(
t
)
}
– последовательность неотрицательных ступен-
чатых функций и эта последовательность п.в. на
[
a, b
]
монотонно убывает.
Пусть также
Ih
n
→
0
при
n
→ ∞
. Тогда
h
n
(
t
)
&
0
.
Доказательство.
Определим, как в лемме 7, множества
A
i
(
i
∈
N
)
, а так-
же множество
A
0
=
{
t
∈
[
a, b
]
| {
h
n
(
t
)
}
не является монотонно убывающей
}
.
— 8 —
Тогда множество
A
=
S
∞
i
=0
A
i
– ММН, а множество
[
a, b
]
\
A
=
B
– множество
полной меры.
Для всякого
t
∈
B
получим
h
n
(
t
)
&
g
(
t
)
≥
0
. Рассмотрим множество
F
=
{
t
∈
B
|
g
(
t
)
>
0
}
. Для каждого
m
∈
N
определим множество
F
m
=
{
t
∈
B
|
g
(
t
)
≥
1
/m
}
. Очевидно, что
F
=
S
∞
m
=1
F
m
. Покажем, что каждое
F
m
– ММН.
Возьмем точку
t
∈
F
m
. Тогда
(
∀
n
∈
N
) [
h
n
(
t
)
≥
g
(
t
)
≥
1
/m
]
. Следователь-
но, интервалы постоянства функции
h
n
(
t
)
, на которых
h
n
(
t
)
≥
1
/m
, образуют
покрытие множества
F
m
. Обозначим через
δ
n
сумму длин этих интервалов.
Тогда
Ih
n
≥
δ
n
/m
. Отсюда
δ
n
≤
m Ih
n
→
0
при
n
→ ∞
. Таким образом, мно-
жество
F
m
можно покрыть конечной системой интервалов со сколь угодно
малой суммой длин. Это и означает, что
F
m
– ММН.
Отсюда следует, что
F
– ММН, то есть
h
n
(
t
)
&
0
.
♥
4. МНОЖЕСТВО ФУНКЦИЙ
C
+
[
a
,
b
]
Множество
C
+
[
a, b
]
(или просто
C
+
) состоит из функций
x
(
t
)
таких, что:
1)
x
(
t
)
определена п.в. на
[
a, b
]
;
2) существует последовательность
{
h
n
(
t
)
}
ступенчатых на
[
a, b
]
функций
таких, что
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
при
n
→ ∞
и
(
∃
c
≥
0)(
∀
n
∈
N
) [
Ih
n
≤
c
]
.
Очевидно, что всякая ступенчатая функция принадлежит
C
+
.
Заметим также, что если на
[
a, b
]
выполняется
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и функция
x
∈
C
+
, то и функция
y
∈
C
+
.
•
Задачи:
10.7, 10.9, 10.12.
Лемма 9.
Пусть функции
x, y
∈
C
+
. Тогда множеству
C
+
принадлежат
и следующие функции:
αx
(
t
) (
α
≥
0)
,
x
(
t
) +
y
(
t
)
,
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
,
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
.
Доказательство.
Для функций
αx
(
t
)
и
x
(
t
) +
y
(
t
)
утверждение леммы
очевидно.
Докажем, что
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
} ∈
C
+
. Пусть
{
h
n
(
t
)
}
и
{
k
n
(
t
)
}
последователь-
ности ступенчатых на
[
a, b
]
функций таких, что
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
k
n
(
t
)
%
y
(
t
)
,
причем
Ih
n
≤
c
1
и
Ik
n
≤
c
2
. Далее заметим, что ступенчатые функции
min
{
h
n
(
t
)
, k
n
(
t
)
} %
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
и, наконец,
I
min
{
h
n
, k
n
} ≤
Ih
n
≤
c
1
.
Перейдем к доказательству
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
} ∈
C
+
. Очевидно, что ступен-
чатые функции
H
n
(
t
) = max
{
h
n
(
t
)
, k
n
(
t
)
} %
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
. Выберем кон-
станту
λ
≤
0
такую, что
(
h
1
(
t
)
≥
λ
)
∧
(
k
1
(
t
)
≥
λ
)
п.в. на
[
a, b
]
. Тогда получим
(
h
n
(
t
)
−
λ
≥
h
1
(
t
)
−
λ
≥
0 )
∧
(
k
n
(
t
)
−
λ
≥
k
1
(
t
)
−
λ
≥
0 )
. Следовательно,
функция
H
n
(
t
) = max
{
h
n
(
t
)
−
λ, k
n
(
t
)
−
λ
}
+
λ
≤
h
n
(
t
) +
k
n
(
t
)
−
λ
. Таким
образом,
IH
n
≤
Ih
n
+
Ik
n
−
λ
(
b
−
a
)
≤
c
1
+
c
2
−
λ
(
b
−
a
)
.
♥
— 9 —
•
Задачи:
10.10, 10.11.
Теорема 1.
Всякая функция
x
∈
C
+
[
a, b
]
почти всюду конечна.
Доказательство.
Пусть
{
h
n
(
t
)
}
– соответствующая
x
(
t
)
последователь-
ность ступенчатых функций. Заметим, что
x
(
t
)
≥
h
1
(
t
)
>
−∞
п.в. на
[
a, b
]
.
Поэтому множество
{
t
|
x
(
t
) =
−∞}
есть ММН.
Покажем, что и множество
{
t
|
x
(
t
) = +
∞}
есть ММН. Для этого, без
ограничения общности, будем считать, что п.в. на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
≥
0
и все
h
n
(
t
)
≥
0
. Если это не выполнено, то поступим следующим образом.
Выберем константу
λ
≤
h
1
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
. На
[
a, b
]
п.в. функция
x
(
t
) =
x
(
t
)
−
λ
≥
x
(
t
)
−
h
1
(
t
)
≥
0
. Очевидно, что
x
∈
C
+
. На
[
a, b
]
п.в. ступенчатые
функции
h
n
(
t
) =
h
n
(
t
)
−
λ
≥
h
n
(
t
)
−
h
1
(
t
)
≥
0
. Кроме того,
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
I h
n
=
Ih
n
−
Iλ
≤
c
−
λ
(
b
−
a
)
. Осталось заметить, что выполняется равенство
{
t
|
x
(
t
) = +
∞}
=
{
t
|
x
(
t
) = +
∞}
.
Считаем далее, что наша функция
x
(
t
)
≥
0
и соответствующие ей ступен-
чатые функции
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
такие, что
h
n
(
t
)
≥
0
. Будем также считать, что
разбиение отрезка
[
a, b
]
, порожденное функцией
h
n
+1
, получается из разбие-
ния, порожденного функцией
h
n
, путем добавления новых точек деления.
Обозначим
E
=
{
t
|
x
(
t
) = +
∞}
. Удалим из
E
множество точек, где не
выполняется свойство
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
, а также точки всех разбиений отрезка
[
a, b
]
, которые порождены ступенчатыми функциями
h
n
(
t
)
. Останется мно-
жество
E
0
⊂
E
, такое что
E
\
E
0
– ММН. Так как
E
=
E
0
∪
(
E
\
E
0
)
, то для
доказательства
E
– ММН достаточно показать, что
E
0
– ММН.
Фиксируем произвольное число
m
∈
N
. Для каждого
k
∈
N
определим
конечную систему интервалов разбиения
[
a, b
]
, порожденного ступенчатой
функцией
h
k
, на которых
h
k
(
t
)
≥
m
. Объединение этих интервалов обо-
значим
F
k
. Заметим, что
E
0
⊂
S
∞
k
=1
F
k
. Действительно, если
t
∈
E
0
, то
h
n
(
t
)
%
x
(
t
) = +
∞
. Поэтому
(
∃
k
) [
h
k
(
t
)
≥
m
]
, то есть
t
∈
F
k
. Так как
h
k
(
t
)
≤
h
k
+1
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
, то с точностью до конечного числа точек из раз-
биения, порожденного функцией
h
k
, выполняется
F
k
⊂
F
k
+1
. Следовательно,
с точностью до множества меры нуль
F
1
⊂
F
2
⊂
...
⊂
F
k
⊂
...
.
Построим покрытие множества
E
0
. К интервалам, составляющим множе-
ство
F
1
, добавим интервалы из
F
2
, не вошедшие в
F
1
. К этим интервалам
добавим интервалы из
F
3
, не вошедшие в
F
2
и т.д. Получим не более чем
счетное покрытие множества
E
0
интервалами. Обозначим через
δ
k
сумму
длин интервалов, составляющих
F
k
. Учитывая, что
h
n
(
t
)
≥
0
п.в. на
[
a, b
]
,
получим
mδ
k
≤
Ih
k
≤
c
или
δ
k
≤
c/m
. Величина
δ
k
есть частичная сумма
ряда длин всех интервалов, покрывающих множество
E
0
. Тогда сумма длин
всех интервалов, покрывающих множество
E
0
, также не превосходит
c/m
. Но
число
m
∈
N
можно взять сколь угодно большим, то есть сделать число
c/m
— 10 —
сколь угодно малым. Отсюда следует, что
E
0
– ММН.
♥
Следствие.
Всякая функция
x
∈
C
+
является измеримой.
5. ИНТЕГРАЛ В МНОЖЕСТВЕ
C
+
[
a
,
b
]
Пусть функция
x
∈
C
+
и
{
h
n
(
t
)
}
– соответствующая последовательность
ступенчатых функций. Последовательность
{
Ih
n
}
монотонно возрастает и
ограничена сверху. Тогда существует конечный
lim
n
→∞
Ih
n
.
Лемма 10.
Пусть функции
x, y
∈
C
+
и
x
(
t
)
≤
y
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
. Пусть
{
h
n
(
t
)
}
и
{
k
n
(
t
)
}
ступенчатые функции такие, что:
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
,
k
n
(
t
)
%
y
(
t
)
,
Ih
n
≤
c
1
,
Ik
n
≤
c
2
. Тогда
lim
n
→∞
Ih
n
≤
lim
n
→∞
Ik
n
.
Доказательство.
Фиксируем
m
∈
N
и рассмотрим последовательность
ступенчатых функций
{
h
m
(
t
)
−
k
n
(
t
)
}
∞
n
=1
. При
n
→ ∞
получим
h
m
(
t
)
−
k
n
(
t
)
&
h
m
(
t
)
−
y
(
t
)
≤
x
(
t
)
−
y
(
t
)
≤
0
.
Определим функции
(
h
m
−
k
n
)
+
(
t
) = max
{
h
m
(
t
)
−
k
n
(
t
)
,
0
}
. При
n
→ ∞
получим
(
h
m
−
k
n
)
+
(
t
)
&
0
. Из леммы 7 следует, что
I
(
h
m
−
k
n
)
+
&
0
. Так
как
h
m
(
t
)
−
k
n
(
t
)
≤
(
h
m
−
k
n
)
+
(
t
)
, то
Ih
m
−
Ik
n
=
I
(
h
m
−
k
n
)
≤
I
(
h
m
−
k
n
)
+
.
(3)
Переходя в (3) к пределу при
n
→ ∞
, получим
Ih
m
−
lim
n
→∞
Ik
n
≤
0
, то есть
Ih
m
≤
lim
n
→∞
Ik
n
. Отсюда при
m
→ ∞
следует утверждение леммы.
♥
Определим теперь интеграл для
x
∈
C
+
следующим образом:
(
C
+
)
Ix
= lim
n
→∞
Ih
n
.
(4)
Из леммы 10 следует, что это определение
(
C
+
)
Ix
не зависит от выбора
последовательности ступенчатых функций
{
h
n
}
и, следовательно, корректно.
Это замечание позволяет переформулировать лемму 10.
Следствие.
Пусть функции
x, y
∈
C
+
и
x
(
t
)
≤
y
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
. Тогда
(
C
+
)
Ix
≤
(
C
+
)
Iy
.
Заметим, что если на
[
a, b
]
выполняется
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и функция
x
∈
C
+
,
то
(
C
+
)
Ix
= (
C
+
)
Iy
.
Непосредственно из определения интеграла (4) следует
Лемма 11.
Пусть функции
x, y
∈
C
+
. Тогда:
1)
(
∀
α
≥
0)[ (
C
+
)
I
(
αx
) =
α
(
C
+
)
Ix
]
,
2)
(
C
+
)
I
(
x
+
y
) = (
C
+
)
Ix
+ (
C
+
)
Iy
.
•
Задача
10.14.
Теорема 2.
Пусть задана последовательность функций
{
x
n
} ⊂
C
+
такая,
что
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
(
∃
c
)(
∀
n
) [(
C
+
)
Ix
n
≤
c
]
.
Тогда функция
x
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ix
= lim
n
→∞
(
C
+
)
Ix
n
.