ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 417
Скачиваний: 1
— 41 —
Далее считаем, что
1
≤
p <
∞
. Превратим линейное пространство
L
p
[
a, b
]
в нормированное пространство. Определим для
x
∈
L
p
норму
k
x
k
p
= [
I
(
|
x
|
p
)]
1
/p
=
³Z
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
.
Проверим аксиомы нормы. Пусть
x
∈
L
p
.
1.
k
x
k
p
≥
0
и
(
k
x
k
p
= 0 )
←→
(
x
(
t
)
п.в.
= 0 )
очевидно выполняется.
2. Если
α
∈
R
1
и
x
∈
L
p
, то справедливо равенство
k
α x
k
p
= (
Z
b
a
|
α x
(
t
)
|
p
dt
)
1
/p
=
|
α
| k
x
k
p
.
3. Для
x, y
∈
L
p
неравенство треугольника
k
x
+
y
k
p
≤ k
x
k
p
+
k
y
k
p
при
p
= 1
очевидно. Обоснуем это неравенство в случае
p >
1
.
Неравенство Гельдера.
Пусть заданы две функции
x
∈
L
p
[
a, b
]
с
p >
1
и
y
∈
L
q
[
a, b
]
, где
1
/p
+ 1
/q
= 1
. Тогда функция
x
·
y
∈
L
1
[
a, b
]
и
Z
b
a
|
x
(
t
)
y
(
t
)
|
dt
≤
³Z
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
³Z
b
a
|
y
(
t
)
|
q
dt
´
1
/q
,
или
k
x
·
y
k
1
≤ k
x
k
p
k
y
k
q
.
Доказательство.
Суммируемость функции
x
(
t
)
·
y
(
t
)
следует из неравен-
ства Юнга
|
x
(
t
)
·
y
(
t
)
| ≤
|
x
(
t
)
|
p
p
+
|
y
(
t
)
|
q
q
.
Считаем далее, что
k
x
k
p
6
= 0
и
k
y
k
q
6
= 0
, так как в противном случае нера-
венство Гельдера очевидно. Вновь воспользуемся неравенством Юнга
¯
¯
¯
x
(
t
)
k
x
k
p
¯
¯
¯
·
¯
¯
¯
y
(
t
)
k
y
k
q
¯
¯
¯
≤
|
x
(
t
)
|
p
p
k
x
k
p
p
+
|
y
(
t
)
|
q
q
k
y
k
q
q
.
Интегрируя последнее неравенство, получим оценку
Z
b
a
|
x
(
t
)
·
y
(
t
)
|
k
x
k
p
k
y
k
q
dt
≤
R
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
p
k
x
k
p
p
+
R
b
a
|
y
(
t
)
|
q
dt
q
k
y
k
q
q
=
1
p
+
1
q
= 1
,
из которой неравенство Гельдера следует непосредственно.
♥
Третья аксиома нормы
для случая
p >
1
.
Для функций
x, y
∈
L
p
[
a, b
]
получим оценку
|
x
+
y
|
p
=
|
x
+
y
| |
x
+
y
|
p
−
1
≤ |
x
| |
x
+
y
|
p
−
1
+
|
y
| |
x
+
y
|
p
−
1
,
где
|
x
|
,
|
y
| ∈
L
p
. Так как
|
x
+
y
|
p
∈
L
1
, то
|
x
+
y
|
p
−
1
=
|
x
+
y
|
p/q
∈
L
q
. Последнее
неравенство интегрируем и затем воспользуемся неравенством Гельдера.
Z
b
a
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
dt
≤
³Z
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
³Z
b
a
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
dt
´
1
/q
+
— 42 —
³Z
b
a
|
y
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
³Z
b
a
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
dt
´
1
/q
.
Считаем далее, что
x
(
t
) +
y
(
t
)
п.в.
6
= 0
, в противном случае неравенство тре-
угольника очевидно. Тогда из последней оценки получим неравенство
³Z
b
a
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
|
p
dt
´
1
−
1
/q
≤
³Z
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
+
³Z
b
a
|
y
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
,
из которого, учитывая
1
−
1
/q
= 1
/p
, непосредственно следует третья аксиома
нормы.
♥
Итак,
L
p
[
a, b
]
в случае
1
≤
p <
∞
является линейным нормированным
пространством.
Теорема 23.
Пространство
L
p
[
a, b
]
для
1
≤
p <
∞
является банаховым,
то есть полным линейным нормированным пространством.
Доказательство.
Пусть
{
x
n
} ⊂
L
p
[
a, b
]
– фундаментальная последова-
тельность, то есть
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∀
n, m
≥
N
)[
k
x
n
−
x
m
k
p
< ε
]
.
Покажем, что эта последовательность сходится в
L
p
[
a, b
]
.
Из фундаментальности
{
x
n
}
следует, что
(
∀
k
∈
N
)(
∃
n
(
k
)
∈
N
)(
∀
n, m
≥
n
(
k
))[
k
x
n
−
x
m
k
p
<
1
/
2
k
]
.
Без ограничения общности можно считать, что
n
(1)
< n
(2)
< ... < n
(
k
)
< ...
Таким образом,
(
∀
k, q
∈
N
)[
k
x
n
(
k
+
q
)
−
x
n
(
k
)
k
p
<
1
/
2
k
]
.
Рассмотрим функциональный ряд
P
∞
k
=1
|
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
и покажем,
что он сходится п.в. на
[
a, b
]
. Определим для
N
∈
N
последовательность
функций
y
N
(
t
) = (
P
N
k
=1
|
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
)
p
∈
L
. Заметим, что
y
N
(
t
)
≤
y
N
+1
(
t
)
и
Iy
N
=
Z
b
a
³
N
X
k
=1
|
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
´
p
dt
=
°
°
°
N
X
k
=1
|
x
n
(
k
+1)
−
x
n
(
k
)
|
°
°
°
p
p
≤
³
N
X
k
=1
k
x
n
(
k
+1)
−
x
n
(
k
)
k
p
´
p
<
³
N
X
k
=1
1
2
k
´
p
≤
1
p
= 1
.
Из следствия 1 теоремы 5 получим, что
y
N
(
t
)
%
y
(
t
)
∈
L
. Таким образом,
п.в. сходится ряд
∞
X
k
=1
|
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
=
y
1
/p
(
t
)
∈
L
p
.
— 43 —
Теперь рассмотрим функциональный ряд
P
∞
k
=1
(
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
) )
. Так
как этот ряд п.в. сходится абсолютно, то он п.в. сходится. Из равенства
N
X
k
=1
(
x
n
(
k
+1)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
) ) =
x
n
(
N
+1)
(
t
)
−
x
n
(1)
(
t
)
следует, что последовательность измеримых функций
{
x
n
(
k
)
(
t
)
}
сходится п.в.
при
k
→ ∞
к конечной п.в. функции
x
(
t
)
. Из следствия 2 теоремы 7 получим,
что функция
x
(
t
)
измерима.
Напомним, что последовательность
{
x
n
(
k
)
(
t
)
}
была выбрана так, что
³Z
b
a
|
x
n
(
k
+
q
)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
dt
´
1
/p
<
1
2
k
.
В последней оценке фиксируем
k
и
q
→ ∞
. Для обоснования предельного
перехода под знаком интеграла используем теорему 8. Итак, суммируемые
функции
|
x
n
(
k
+
q
)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
≥
0
и
|
x
n
(
k
+
q
)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
→ |
x
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
при
q
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
. Кроме того,
I
(
|
x
n
(
k
+
q
)
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
)
<
1
/
2
kp
.
Получим, что функция
|
x
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
∈
L
, то есть
x
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
∈
L
p
. Сле-
довательно, функция
x
(
t
)
∈
L
p
. Из теоремы 8 следует также справедливость
оценки
I
(
|
x
(
t
)
−
x
n
(
k
)
(
t
)
|
p
)
≤
1
/
2
kp
.
Таким образом,
k
x
−
x
n
(
k
)
k
p
≤
1
/
2
k
→
0
при
k
→ ∞
.
Осталось показать, что
k
x
−
x
n
k
p
→
0
при
n
→ ∞
. Зададим
ε >
0
. Так
как последовательность
{
x
n
(
t
)
}
фундаментальна, то
(
∃
N
∈
N
)(
∀
n, m
≥
N
) [
k
x
m
−
x
n
k
p
< ε/
2]
.
Возьмем
n
≥
N
и выберем
k
таким, что
n
(
k
)
≥
N
и
1
/
2
k
< ε/
2
. Тогда
k
x
−
x
n
k
p
≤ k
x
−
x
n
(
k
)
k
p
+
k
x
n
(
k
)
−
x
n
k
p
≤
1
/
2
k
+
k
x
n
(
k
)
−
x
n
k
p
< ε .
♥
Замечание
о пространстве
L
2
[
a, b
]
. Возьмем две функции
x, y
∈
L
2
. Из
неравенства Гельдера следует, что их произведение
x
·
y
∈
L
1
. Следова-
тельно, определено выражение
(
x, y
) =
R
b
a
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
, которое, в силу вы-
полнения соответствующих аксиом, является скалярным произведением в
L
2
[
a, b
]
. Заметим, что норма, порождаемая этим скалярным произведением,
— 44 —
k
x
k
= (
x, x
)
1
/
2
= (
R
b
a
|
x
(
t
)
|
2
dt
)
1
/
2
=
k
x
k
2
. Получили, что
L
2
[
a, b
]
является
вещественным гильбертовым пространством.
21. ПРОСТРАНСТВО ОГРАНИЧЕННЫХ П.В. ФУНКЦИЙ
Введем в рассмотрение множество множеств
M
=
{
A
⊂
[
a, b
]
|
A
−
ММН
}
.
Через
L
∞
[
a, b
]
(или просто
L
∞
) обозначим множество измеримых на
[
a, b
]
функций
x
(
t
)
таких, что
(
∀
x
∈
L
∞
[
a, b
])(
∃
A
∈ M
)(
∃
C
≥
0)(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
A
) [
|
x
(
t
)
| ≤
C
]
.
Другими словами, множество
L
∞
[
a, b
]
состоит из измеримых ограниченных
п.в. на
[
a, b
]
функций.
Превратим
L
∞
[
a, b
]
в линейное пространство. Если функция
x
∈
L
∞
[
a, b
]
и
λ
∈
R
1
, то
(
λx
)(
t
) =
λx
(
t
)
– измеримая и ограниченная п.в. функция. Если
еще
y
∈
L
∞
[
a, b
]
, то функция
(
x
+
y
)(
t
) =
x
(
t
) +
y
(
t
)
– измеримая на
[
a, b
]
.
Пусть
A, B
∈ M
такие множества, что
(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
A
) [
|
x
(
t
)
| ≤
C
1
]
и также
(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
B
) [
|
y
(
t
)
| ≤
C
2
]
. Тогда множество
A
∪
B
– ММН и выполняется
(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
(
A
∪
B
)) [
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
| ≤
C
1
+
C
2
]
. Следовательно, и функция
(
x
+
y
)(
t
)
∈
L
∞
[
a, b
]
.
Для однозначного определения нуля в
L
∞
[
a, b
]
проведем в этом множе-
стве факторизацию подобно тому, как это было проделано в
L
p
[
a, b
]
. Назовем
функции
x, y
∈
L
∞
эквивалентными, если
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
. Сохраняя обозначе-
ние, под
L
∞
[
a, b
]
теперь будем понимать пространство классов эквивалентных
функций. Принадлежность
x
∈
L
∞
[
a, b
]
означает, что
x
(
t
)
– класс п.в. ограни-
ченных и п.в. равных между собой функций. Таким образом, считаем далее,
что
L
∞
[
a, b
]
– линейное пространство.
Определим в пространстве
L
∞
[
a, b
]
норму. Для
x
∈
L
∞
положим
k
x
k
∞
= inf
A
∈M
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
|
x
(
t
)
|
.
Значение
k
x
k
∞
называют также существенным максимумом функции
x
(
t
)
на
[
a, b
]
. Покажем, что точная нижняя граница по
A
∈ M
в определении
k
x
k
∞
достигается.
Лемма 22.
Пусть функция
x
∈
L
∞
[
a, b
]
. Тогда
(
∃
A
(
x
)
∈ M
) [
k
x
k
∞
=
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x
)
|
x
(
t
)
|
]
.
Доказательство.
По определению точной нижней границы
(
∀
n
∈
N
)(
∃
A
n
∈ M
)
h
k
x
k
∞
≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
n
|
x
(
t
)
|
<
k
x
k
∞
+
1
n
i
.
— 45 —
Положим
A
(
x
) =
S
∞
n
=1
A
n
∈ M
. Заметим, что для всех
n
∈
N
k
x
k
∞
≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x
)
|
x
(
t
)
| ≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
n
|
x
(
t
)
|
<
k
x
k
∞
+
1
n
.
Отсюда при
n
→ ∞
получим утверждение леммы.
♥
Аксиомы нормы.
С учетом леммы 22 первая и вторая аксиомы очевид-
ны. Докажем третью аксиому. Пусть
x, y
∈
L
∞
и множества
A
(
x
)
, A
(
y
)
∈ M
такие, что
k
x
k
∞
=
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x
)
|
x
(
t
)
|
,
k
y
k
∞
=
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
y
)
|
y
(
t
)
|
.
Определим множество
A
(
x, y
) =
A
(
x
)
∪
A
(
y
)
∈ M
. Тогда получим
k
x
+
y
k
∞
≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x,y
)
|
x
(
t
) +
y
(
t
)
| ≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x,y
)
|
x
(
t
)
|
+
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x,y
)
|
y
(
t
)
| ≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
x
)
|
x
(
t
)
|
+
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
y
)
|
y
(
t
)
|
=
k
x
k
∞
+
k
y
k
∞
.
♥
Таким образом,
L
∞
[
a, b
]
– линейное нормированное пространство. Сходи-
мость последовательности функций по норме пространства
L
∞
[
a, b
]
называют
также равномерной сходимостью п.в. на
[
a, b
]
.
Теорема 24.
Пространство
L
∞
[
a, b
]
является банаховым, то есть полным
линейным нормированным пространством.
Доказательство.
Пусть
{
x
n
} ⊂
L
∞
[
a, b
]
– фундаментальная последова-
тельность. Пусть множество
A
(
n, m
)
∈ M
такое, что
k
x
n
−
x
m
k
∞
=
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
n,m
)
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
.
Обозначим
A
=
S
∞
n,m
=1
A
(
n, m
)
∈ M
. Заметим, что для
t
∈
[
a, b
]
\
A
и всех
n, m
∈
N
выполняется оценка
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
| ≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
| ≤
sup
t
∈
[
a,b
]
\
A
(
n,m
)
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
=
k
x
n
−
x
m
k
∞
.
Теперь из свойства фундаментальности последовательности
{
x
n
}
следует,
что
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n, m
≥
N
)(
∀
t
∈
[
a, b
]
\
A
)[
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
| ≤ k
x
n
−
x
m
k
∞
< ε
]
.
Итак, для
t
∈
[
a, b
]
\
A
числовая последовательность
{
x
n
(
t
)
}
фундаментальна.
Тогда в точках
t
∈
[
a, b
]
\
A
существует конечный
lim
n
→∞
x
n
(
t
) =
x
(
t
)
. Функ-
ция
x
(
t
)
по следствию 2 теоремы 7 является измеримой, как конечный почти
всюду предел измеримых функций
x
n
(
t
)
.