ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1314
Скачиваний: 16
> eqns := D(x)(t)=x(t)+2*y(t)+2*exp(t),
D(y)(t)=2*x(t)+y(t):
ic := x(0)=1,
y(0)=2:
dsolve({eqns, ic}, {x(t), y(t)});
x
(
t
) = 2 e
(3
t
)
−
e
(
−
t
)
, y
(
t
) = 2 e
(3
t
)
+ e
(
−
t
)
−
e
t
Численное решение дифференциальных уравнений
Для решения дифференциальных уравнений в численном виде ис-
пользуется функция
dsolve
с параметром
numeric
. При этом решение
возвращается в виде специальной процедуры, которая позволяет найти
решение в любой точке или построить график решения. При этом ис-
пользуется функция
odeplot
из пакета
plots
.
Построим численное решение для задачи Коши
dy
dx
=
−
y
sin(
xy
)
,
y
(0) = 1 :
> eqn := D(y)(x)=-y(x)*sin(x*y(x)):
ic := y(0)=1:
sol := dsolve({eqn, ic}, y(x), numeric):
plots[odeplot](sol, [x, y(x)], 0..10, numpoints=100);
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0
2
4
6
8
10
56
Построим численное решение задачи Коши для уравнения Ван-дер-
Поля
d
2
x
dt
2
−
ε
−
x
2
dx
dt
+
x
= 0
c начальными условиями
x
(0) = 0
.
1
,
dx
dt
(0) = 0 :
> epsilon := 0.05:
eqn := (D@@2)(x)(t)-(epsilon-x(t)^2)*D(x)(t)+x(t)=0:
ic := x(0)=0.1, D(x)(0)=0:
sol := dsolve({eqn, ic}, x(t), numeric):
plots[odeplot](sol, [x(t), -D(x)(t)], 0..40*Pi,
scaling=constrained,
numpoints=2500, labels=["", ""]);
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
–0.4
–0.2
0.2
0.4
57
5
Лабораторные работы
5.1
Лабораторная работа № 1 «Работа с выражения-
ми»
Вариант № 1
1. Перевести число
10101100011111011100
из двоичной системы в шестнадцате-
ричную.
Ответ:
AC7DC
.
2. Вычислить значение выражения
4
32
3
√
4 +
4
64
3
√
2
−
3
3
2
4
√
2
·
3
12
√
2
.
Ответ:
3
√
2
.
3. Вычислить значение выражения
tg
x
7
+ 6
x
5
log
3
x
x
=
√
3
2
с точностью до пяти зна-
ков мантиссы.
Ответ:
−
1
.
9614
.
4. Упростить выражение
9
a
2
−
4
2
−
3
a
−
6
a
2
−
5
a
−
6
3
−
2
a
.
Ответ:
0
.
5. Разложить на множители выражение
x
4
−
2
x
3
y
+
x
2
y
2
+
x
2
y
−
2
xy
2
+
y
3
.
Ответ:
(
x
2
+
y
)(
x
−
y
)
2
.
6. Раскрыть скобки в выражении
(
x
−
1)(
x
2
−
1)(
x
+1)(
x
2
+1)(
x
3
+1)
и упорядочить
слагаемые в порядке убывания степеней при переменной
x.
Ответ:
x
9
−
x
7
+
x
6
−
x
5
−
x
4
+
x
3
−
x
2
+ 1
.
7. Разложить дробь
x
3
+ 2
x
−
2
x
3
−
2
x
2
+
x
на простейшие составляющие.
Ответ:
1
−
2
x
+
4
x
−
1
+
1
(
x
−
1)
2
.
8. Вычислить значение выражения
log
y
z
+log
z
y
при условии, что
ln
y
=2
,
ln
z
=3
.
Ответ:
13
6
.
9. Вычислить произведение
100
!
k
=1
k
+ 2
k
+ 1
с точностью до трёх знаков мантиссы.
Ответ:
7
.
14
.
58
Вариант № 2
1. Перевести число
1BC23
из шестнадцатеричной системы в двоичную.
Ответ:
11011110000100011
.
2. Вычислить значение выражения
417
·
2
10
+
13
990
:
4
10
+
21
990
.
Ответ:
211
.
3. Вычислить значение выражения
sin
2(arcsin
x
−
arccos
x
)
x
=
√
5
3
с точностью до
трёх знаков мантиссы.
Ответ:
0
.
221
.
4. Упростить выражение
x
−
y
√
x
− √
y
−
x
−
y
√
x
+
√
y
x
+
y
√
x
− √
y
+
x
+
y
√
x
+
√
y
·
√
xy
x
−
y
.
Ответ:
y
x
+
y
.
5. Разложить на множители выражение
x
3
−
5
x
2
+ 3
x
+ 9
.
Ответ:
(
x
+ 1)(
x
−
3)
2
.
6. В выражении
y
3
+8
x
2
y
3
+5
xy
2
+
xy
−
5
y
+1
сгруппировать слагаемые по степеням
переменной
x.
Ответ:
8
y
3
x
2
+ (5
y
2
+
y
)
x
+
y
3
+ 1
−
5
y.
7. Привести к общему знаменателю
2
x
x
−
1
−
x
−
9
x
−
5
.
Ответ:
x
2
−
9
(
x
−
1)(
x
−
5)
.
8. Вычислить значение выражения
cos 2
x
−
sin 4
x
sin 2
x
−
cos 4
x
при условии, что
tg
x
=
√
3
.
Ответ:
√
3
−
1
√
3 + 1
.
9. Вычислить сумму ряда
1000
i
=1
1
√
i
с точностью до семи знаков мантиссы.
Ответ:
61
.
80101
.
59
Вариант № 3
1. Преобразовать число 1.234567 в дробь.
Ответ:
1234567
1000000
.
2. Вычислить значение выражения
1
3 +
1
1 +
1
1 +
1
3
.
Ответ:
7
25
.
3. Задать функцию
f
(
x
) =
sin
x
−
cos
x
cos 2
x
и вычислить значение
f
π
8
с точностью
додвух знаков мантиссы.
Ответ:
−
0
.
76
.
4. Упростить выражение
x
3
−
y
3
(3
x
+
y
)
2
−
8
x
2
−
5
xy
+
(
x
+
y
2
)(
x
2
+
y
)
−
xy
(
xy
+ 1)
x
2
−
xy
+
y
2
.
Ответ:
2
x.
5. Разложить на множители выражение
x
4
+ 2
x
3
y
−
xy
3
−
2
y
4
.
Ответ:
(
x
2
+
xy
+
y
2
)(
x
−
y
)(
x
+ 2
y
)
.
6. Раскрыть скобки в выражении
(
x
+ 1)(
x
2
−
1)(
x
2
−
x
+ 1)(
x
3
+ 2)
и упорядочить
слагаемые в порядке убывания степеней при переменной
x.
Ответ:
x
8
−
x
6
+ 3
x
5
−
3
x
3
+ 2
x
2
−
2
.
7. Привести к общему знаменателю
2
x
−
2
y
+
x
y
2
−
y
x
2
.
Ответ:
x
3
−
2
x
2
y
+ 2
xy
2
−
y
3
x
2
y
2
.
8. Вычислить значение выражения
log
y
4
z
+ log
z
2
y
при условии, что
ln
y
= 3
,
ln
z
= 6
.
Ответ:
1
2
ln 2 +
3
2
.
9. Вычислить сумму ряда
10
k
=1
k
−
1
k
+ 1
с точностью до трёх знаков мантиссы.
Ответ:
7
.
27
.
60