Файл: КМ - Maple.pdf

Поскольку область течения является цилиндрической, то рассмот-

рение соответствующей математической модели целесообразнее прово-
дить в системе координат также цилиндрической

(

r, ϕ, z

)

. Полные урав-

нения Навье–Стокса, описывающие ламинарное течение вязкой несжима-
емой жидкости в цилиндрической системе координат, имеют следующий
вид:

> Diff(v[r],t)+v[r]*Diff(v[r],r)

+(v[phi]/r)*Diff(v[r],phi)+v[z]*Diff(v[r],z)
-((v[phi])^2/r) = (-1/rho)*Diff(p,r)
+nu*(Diff(Diff(v[r],r),r)+(1/r)*Diff(v[r],r)
+(1/r^2)*Diff(Diff(v[r],phi),phi)
+Diff(Diff(v[r],z),z)-(v[r]/r^2)
-(2/r^2)*Diff(v[phi],phi))+f[r];

Diff(v[phi],t)+v[r]*Diff(v[phi],r)

+(v[phi]/r)*Diff(v[phi],phi)+v[z]*Diff(v[phi],z)
+((v[r]*v[phi])/r) = (-1/(rho*r))*Diff(p,phi)
+nu*(Diff(Diff(v[phi],r),r)+(1/r)*Diff(v[phi],r)
+(1/r^2)*Diff(Diff(v[phi],phi),phi)
+Diff(Diff(v[phi],z),z)
+(2/r^2)*Diff(v[r],phi)-(v[phi]/r)) + f[phi];

Diff(v[z],t)+v[r]*Diff(v[z],r)

+(v[phi]/r)*Diff(v[z],phi)+v[z]*Diff(v[z],z)
= (-1/rho)*Diff(p,z)+nu*(Diff(Diff(v[z],r),r)
+(1/r)*Diff(v[z],r)
+(1/r^2)*Diff(Diff(v[z],phi),phi)
+Diff(Diff(v[z],z),z))+f[z];

Diff(v[r],r)+(v[r]/r)+(1/r)*Diff(v[phi],phi)

+Diff(v[z],z) = 0;

В силу стационарности и осесимметричности течения все частные

производные по времени и координате

phi

равны нулю, тоесть

> Diff(v[r],t) = 0;

Diff(v[phi],t) = 0;
Diff(v[z],t) = 0;
Diff(v[r],phi) = 0;
Diff(v[phi],phi) = 0;
Diff(v[z],phi) = 0;
Diff(p,phi) = 0;

Поскольку массовые силы не учитываются, то все

phi

в уравнени-

ях надо положить равными нулю. Предположим, что вектор скорости

v

параллелен оси

z

. Тогда он имеет лишь одну компоненту, отличную от

нуля, тоесть

v=(0,0,v[z])

или

v[r]=v[phi]=0

. В этом случае из

уравнения неразрывности непосредственно следует, что

116

> Diff(v[z],z) = 0;

тоесть неизвестная величина

v[z]

не зависит от переменной

z

и являет-

ся лишь функцией пространственной координаты

r

, тоесть компонента

скорости

> v[z] = v[z](r);

Из двух первых уравнений Навье–Стокса получаем

> Diff(p,r) = 0;

p = p(z);

С учетом вышесказанного запишем третье уравнение

> Diff(Diff(v[z],r),r)+(1/r)*Diff(v[z],r)

= (1/mu)*Diff(p,z);

В обыкновенное дифференциальное уравнение входит две неизвест-

ные функции

v=v[r]

и

p=p[z]

, зависящие от разных переменных. Сле-

довательно, левая и правая части уравнения должны быть равны некото-
рой константе, которая определяется с учетом дополнительных условий
относительно неизвестной функции

p=p[z]

. Действительно, если

> Diff(p,z) = c1;

Diff(Diff(p,z),z) = 0;

топосле егоинтегрирования находим, что

> p[z]=c1*z+c2;

и для нахождения функции

p=p[z]

достаточно задать два граничных

условия, например,

> z = 0, p(0) = p0;

z = l, p(l) = p1;
p1 < p0;
c2 = p0;
c1 = (p1-p0)/l;
Diff(p,z) = -(p0-p1)/l;

1. Внутренний цилиндр неподвижен:

> Diff(Diff(v[z],r),r)+(1/r)*Diff(v[z],r)

= (1/mu)*Diff(p,z);

r = a, v(a) = 0;
r = b, v(b) = u;

117

2. Внешний цилиндр неподвижен:

> Diff(Diff(v[z],r),r)+(1/r)*Diff(v[z],r)

= (1/mu)*Diff(p,z);

r = a, v(a) = w;
r = b, v(b) = 0;

Перейдем к безразмерным величинам

> r = xi*a, z = e*l0, p = (p-p1)/(p0-p1);

Для скорости мы не можем указать безразмерную величину. В этом

случае в качестве нормирующей величины можно выбрать такую комби-
нацию известных данных, чтобы она совпадала по размерности с размер-
ностью скорости. Обозначим эту безразмерную величину через

v0

.

> (v0/a^2)*(Diff(Diff(V,xi),xi)+(1/xi)*Diff(V,xi))

= ((p0-p1)/(mu*l0))*Diff(p,e);

Безразмерная скорость может быть введена по правилу

> V = v/(((p0-p1)*a^2)/(l0*mu));

В новых безразмерных переменных для функции

p

(

e

)

получаем

уравнение

> Diff(Diff(p,e),e) = 0;

Для функции

V

(

ξ

)

уравнение имеет вид

> Diff(Diff(V,xi),xi)+(1/xi)*Diff(V,xi) = Diff(p,e);

Введем граничные условия:

1

. e

= 1

, p

(1) = 0;

ξ

= 1

,

V

(1) = 0;

e

= 0

, p

(0) = 1;

ξ

=

b

a

, V

b

a

= 1

.

2

. e

= 1

, p

(1) = 0;

ξ

= 1

,

V

(1) = 1;

e

= 0

, p

(0) = 1;

ξ

=

b

a

, V

b

a

= 0

.

1. Внутренний цилиндр неподвижен:

> p(e) = c1*e+c2;

Подставим граничные условия

> с1 = -1, с2 = 1;

Окончательное выражение для распределения безразмерного давле-

ния имеет вид

118

> p(e) = 1-e;

Diff(Diff(V,xi),xi)+(1/xi)*Diff(v,xi) = -1;
(1/xi)*Diff((xi*Diff(V,xi)),xi) = -1;
Diff((xi*Diff(V,xi)),xi) = -xi;
xi*Diff(V,xi) = -1/2*xi^2+c3;
Diff(V,xi) = -1/2*xi+c3/xi;
V(xi) = -1/4*xi^2+c3*ln(xi)+c4;

Подставим граничные условия

> c3 = (b^2+3*a^2)/(4*a^2*ln(b/a)), c4 = 1/4;

Окончательное выражение для безразмерной скорости течения жид-

кости имеет вид

> V(xi) = -1/4*xi^2+(b^2+3*a^2)

/(4*a^2*ln(b/a))*ln(xi)+1/4;

2. Внешний цилиндр неподвижен:

> p(e) = c1*e+c2;

Подставим граничные условия

> с1 = -1, с2 = 1;

Окончательное выражение для распределения безразмерного давле-

ния имеет вид

> p(e) = 1-e;
> Diff(Diff(V,xi),xi)+(1/xi)*Diff(v,xi) = -1;

(1/xi)*Diff((xi*Diff(V,xi)),xi) = -1;
Diff((xi*Diff(V,xi)),xi) = -xi;
xi*Diff(V,xi) = -1/2*xi^2+c3;
Diff(V,xi) = -1/2*xi+c3/xi;
V(xi) = -1/4*xi^2+c3*ln(xi)+c4;

Подставим граничные условия

> c3 = (b+5*a)/(4*a*ln(b/a)), c4 = 5/4;

Окончательное выражение для безразмерной скорости течения жид-

кости имеет вид

> V(xi) = -1/4*xi^2+(b+5*a)/(4*a*ln(b/a))*ln(xi)+5/4;

119

Вычисление основных характеристик потока

Распределение скорости течения жидкости определяется выражени-

ем, получаемым после перехода от безразмерной функции

V

(

ξ

)

к размер-

ной

v

(

r

)

.

1. Внутренний цилиндр неподвижен:

> v(r) = (1/4*mu)*(-Diff(p,z))

*(((b^2+3*a^2)*ln(r/a))/ln(b/a)+a^2-r^2);

2. Внешний цилиндр неподвижен:

> v(r) = (1/4*mu)*(-Diff(p,z))

*(5*a^2+((a*b+5*a^2)*ln(r/a))/ln(b/a)-r^2);

Анализ полученного решения

1. Внутренний цилиндр неподвижен:
Функция

p

(

e

)

линейноубывает на отрезке

[0

,

1]

, принимая на его

концах значения, равные соответственно

1

и

0

. Функция является мо-

нотонно убывающей с постоянным углом наклона, равным

−

1

.

> p := e -> 1-e;

plot(p(e), e=0..1);

> b := 6; a := 3;
> V := xi -> -1/4*xi^2+(b^2+3*a^2)

/(4*a^2*ln(b/a))*ln(xi)+1/4;

plot(V(xi), xi=1..b/a);

120