Файл: КМ - Maple.pdf

Кориолисово ускорение возникает, когда есть вращательное движе-

ние подвижной системы координат, и при этом вектор угловой скорости
не коллинеарен вектору скорости относительной.

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведе-

нию вектора угловой скорости вращения тела и вектора относительной
скорости, поэтому величину ускорения Кориолиса определим по формуле

W

кор

= 2

ωV

отн

sin

γ,

а направление по правилу Жуковского: «Вектор ускорения Кориолиса
будет направлен в ту сторону, куда "укажет" вектор относительной ско-
рости, если его повернуть на прямой угол градусов по ходу вращения,
показанного угловой скоростью».

> W[‘кор‘] := 2*omega(1/8)*V_отн/W_размер*V_размер:
> w3[’x’] := W[‘кор‘]*cos(phi(1/8)+Pi/2):

w3[’y’] := W[‘кор‘]*sin(phi(1/8)+Pi/2):

> display(pos(phi(1/8), S(1/8), 3/16),

plottools[arrow]([x, y],

vector([w3[’x’], w3[’y’]]),
.15, .6, .1, color=magenta),

textplot([x+w3[’x’]+dxy, y+w3[’y’]+dxy,

‘ускорение кориолиса‘],

color=magenta),

plottools[arrow]([x, y],

vector([v1[’x’], v1[’y’]]),
.15, .6, .1, color=green),

textplot([x+v1[’x’]+dxy, y+v1[’y’]+dxy,

‘относительная скорость‘],

color=green),

scaling=constrained);

106

Ближе к оси

OY

— ускорение Кориолиса. Вторая стрелка-направ-

ление — относительная скорость.

> w_абс[’x’] := evalf(w1[’x’]+w2[’x’]+w3[’x’]):

w_абс[’y’] := evalf(w1[’y’]+w2[’y’]+w3[’y’]):
w_abs := sqrt(w_абс[’x’]^2+w_абс[’y’]^2);

w

_

abs

:= 37

.

75692035

Изобразим три вектора ускорения (относительное переносное и Ко-

риолиса) и их сумму, которая есть ускорение точки в абсолютном движе-
нии.

> display(pos(phi(1/8), S(1/8), 3/16),

plottools[arrow]([x, y],

vector([w2[’x’], w2[’y’]]),
.15, .6, .1, color=blue),

textplot([x+w2[’x’]+dxy, y+w2[’y’]+dxy,

‘переносное ускорение‘],

color=blue),

plottools[arrow]([x, y],

vector([w1[’x’], w1[’y’]]),
.15, .6, .1, color=green),

textplot([x+w1[’x’]+dxy, y+w1[’y’]+dxy,

‘относительное ускорение‘],

color=green),

plottools[arrow]([x, y],

vector([w3[’x’], w3[’y’]]),
.15, .6, .1, color=magenta),

textplot([x+w3[’x’]+dxy, y+w3[’y’]+dxy,

‘ускорение кориолиса‘],

color=magenta),

plottools[arrow]([x, y],

vector([w_абс[’x’],

w_абс[’y’]]),

.15, .6, .1, color=red),

textplot([x+w_абс[’x’]+dxy, y+w_абс[’y’]+dxy,

‘Абсолютное ускорение‘], color=red),

scaling=constrained);

107

Ответ

> ‘Положение точки‘;

’S’ = evalf(S(1/8));
’phi’ = evalf(convert(phi(1/8), degrees));
‘Угловая скорость тела и угловое ускорение тела‘;
’omega’ = omega(1/8);
’epsilon’ = epsilon(1/8);
‘Абсолютная скорость точки‘;
V[’абс,x’] = V_абс[’x’];
V[’абс,y’] = V_абс[’y’];
V[’абс’] = V_abs;
‘Абсолютное ускорение точки‘;
W[’абс,x’] = W_размер*w_абс[’x’];
W[’абс,y’] = W_размер*w_абс[’y’];
W[’абс’] = W_размер*w_abs;

Положение точки:

S

= 17

.

07106781

ϕ

= 30

.

08028424

Угловая скорость тела и угловое ускорение тела:

ω

= 4

.

400000000

ε

= 3

.

2

Абсолютная скорость точки:

V

абс,x

= 0

.

797868516

V

абс,y

= 87

.

26512332

V

абс

= 87

.

26877071

Абсолютное ускорение точки:

W

абс,x

=

−

750

.

8861962

W

абс,y

= 80

.

02458420

W

абс

= 755

.

1384070

108

6.3

Применение интегралов для функций многих пе-
ременных

Пример № 1

Найти площадь петли кривой

(

x

+

y

)

3

=

a xy

.

Решение

> restart;
> with(student):

with(plots):

> L := (x+y)^3=a*x*y:

a := 10:
implicitplot(L, x=-1..a, y=-1..a, numpoints=100000);
a := ’a’:

–1

–0.5

0.5

1

1.5

y

–1

–0.5

0.5

1

1.5

x

> tr := x=rho*cos(phi), y=rho*sin(phi):

eq_rho := collect(subs(tr, L) / rho^2, rho):
eq_rho;
rho[0] := factor(solve(eq_rho, rho));

cos

φ

+

ρ

sin

φ

3

ρ

=

a

cos

φ

sin

φ

ρ

0

:=

a

cos

φ

sin

φ

cos

φ

+

ρ

sin

φ

3

> with(Student[MultivariateCalculus]):
> S := MultiInt(1, rho=0..rho[0], phi=0..Pi/2,

coordinates=polar[rho,phi]):

’S’ = S;

S

=

a

2

60

109

Пример № 2

Найти площадь поверхности

x

2

+

y

2

= 2

ax

, если

0

az

x

2

+

y

2

,

a >

0

.

Решение

> restart;
> with(plots):
> P := x^2+y^2=2*a*x:

D := a*z=x^2+y^2:

> a := 1:

F := implicitplot3d(P, x=0..2*a, y=-a..a, z=0..4*a,

color=white):

G := implicitplot3d(z=0, x=0..2*a, y=-a..a, z=0..4*a,

color=red):

H := implicitplot3d(D, x=0..2*a, y=-a..a, z=0..4*a,

color=red):

display({F, G, H});
a := ’a’:

> Y := solve(P, y):

y=Y[1], y=Y[2];

y

=

−

x

2

+ 2

ax, y

=

−

−

x

2

+ 2

ax

> Z := solve(subs(y=Y[1], C), z):

z=Z;
f := sqrt(1+diff(Y[1],x)^2+diff(Y[1],z)^2):

z

= 2

x

110