ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1301
Скачиваний: 16
> with(Student[MultivariateCalculus]):
S := 2*MultiInt(f, z=0..Z, x=0..2*a) assuming a>0:
’S’ = S;
S
= 4
a
2
π
Пример № 3
Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
3
=
a
3
(
x
3
+
y
3
)
,
где
a >
0
.
Решение
> restart;
> with(plots):
> P := (x^2+y^2+z^2)^3=a^3*(x^3+y^3):
> a := 1:
implicitplot3d(P, x=-a..a, y=-a..a, z=-a..a,
numpoints=6000, axes=frame);
a := ’a’:
–1
–0.5
0
0.5
1
x
–1
–0.5
0
0.5
1
y
–1
–0.5
0
0.5
1
z
> tr := x=r*cos(phi)*sin(psi), y=r*sin(phi)*sin(psi),
z=r*cos(psi):
eq_r := collect(subs(tr, P) / r^3, r):
R := solve(eq_r, r):
r = R[1];
r
=
a
sin
ψ
cos
3
ϕ
+ sin
3
ϕ
(
1
3
)
Найдем промежуток, на котором неотрицательна функция
cos
3
ϕ
+
+ sin
3
ϕ
1
3
.
Для этого определим все действительные корни уравнения
cos
3
ϕ
+ sin
3
ϕ
1
3
= 0 :
111
> Phi_sol := {}:
for t in solve(R[1], phi) do
if type(t, realcons) then
Phi_sol := Phi_sol union {t};
end if;
end do;
Phi := convert(Phi_sol, list):
phi[1] = Phi[1];
phi[2] = Phi[2];
φ
1
=
−
π
4
φ
2
=
3
π
4
> with(student):
Int_V := Tripleint(1, x, y, z):
Int_V := changevar({tr}, Int_V, [r, psi, phi]):
V := Tripleint(integrand(Int_V), r=0..R[1],
psi=0..Pi, phi=Phi[1]..Phi[2]):
’V’ = value(V);
V
=
5
√
2
a
3
π
24
Пример № 4
Пользуясь формулой Грина, вычислить (замыкая, если нужно, кри-
вую отрезком прямой)
L
(4
xy
−
15
x
2
y
)
dx
+ (2
x
−
5
x
3
+ 7)
dy
, где
L
—
часть кривой
y
=
x
3
−
3
x
2
+ 2
от точки
A
= (1
−
√
3
,
0)
дото
чки
B
= (1 +
√
3
,
0)
.
Решение
> restart;
> P := 4*x*y-15*x^2*y:
Q := 2*x-5*x^3+7:
Diff(’P’, y) = diff(P, y);
Diff(’Q’, x) = diff(Q, x);
f := diff(Q, x) - diff(P, y):
> L := y=x^3-3*x^2+2:
a := 1-sqrt(3):
b := 1+sqrt(3):
plot(rhs(L), x=a..b);
112
∂
∂y
P
= 4
x
−
15
x
2
∂
∂x
Q
= 2
−
15
x
2
–2
–1
0
1
2
–0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
> with(Student[MultivariateCalculus]):
In := MultiInt(f, y=0..rhs(L), x=a..1)
+MultiInt(f, y=rhs(L)..0, x=1..b):
’I’ = simplify(In);
I
=
−
9
6.4
Решение некоторых задач МСС
Пример № 1. Определение тензора скорости деформации, тензора
вихря, скорости относительного изменения объема по заданному
полю скоростей
> restart;
> w := array(1..3, [4*x[1]-3*x[3], (x[2]+x[3])^2,
x[2]-x[3]]):
Тензор скорости деформации:
> eps := array(1..3, 1..3):
deforscorosty := proc(w)
local i, j;
global eps;
for i from 1 to 3 do
for j from 1 to 3 do
eps[i,j] := diff(w[i],x[j])+diff(w[j],x[i]);
113
eps[i,j] := 0.5*eps[i,j];
end do;
end do;
end proc:
deforscorosty(w):
print(eps);
⎡
⎣
4
0
−
1
.
5
0
2
x
2
+ 2
x
3
x
2
+
x
3
+ 0
.
5
−
1
.
5
x
2
+
x
3
+ 0
.
5
−
1
⎤
⎦
Тензор вихря:
> omega := array(1..3, 1..3):
deforvihrya := proc(w)
local i, j;
global omega;
for i from 1 to 3 do
for j from 1 to 3 do
omega[i,j] := diff(w[i],x[j])-diff(w[j],x[i]);
omega[i,j] := 0.5*omega[i,j];
end do;
end do;
end proc:
deforvihrya(w):
print(omega);
⎡
⎣
0
0
−
1
.
5
0
0
x
2
+
x
3
+ 0
.
5
1
.
5 0
.
5
−
x
2
−
x
3
0
⎤
⎦
Скорость относительного изменения объема по заданному полю ско-
ростей:
> eps[1,1]+eps[2,2]+eps[3,3];
3 + 2
x
2
+ 2
x
3
Тензор скорости деформации:
> x[1] := 2;
x[2] := 3;
x[3] := 4;
> s := array(x[1]..x[3]):
eps(s);
⎡
⎣
4
0
−
1
.
5
0
14
7
.
5
−
1
.
5 7
.
5
−
1
⎤
⎦
114
Тензор вихря:
> omega(s);
⎡
⎣
0
0
1
.
5
0
0
6
.
5
1
.
5
−
6
.
5 0
⎤
⎦
Скорость относительного изменения объема по заданному полю ско-
ростей:
> eps[1,1]+eps[2,2]+eps[3,3];
17
Пример № 2. Течение под действием перепада давления между
цилиндрами, один из которых движется
Между соосными цилиндрами с заданными радиусами под действи-
ем известного перепада давления движется вязкая несжимаемая жид-
кость. Один из цилиндров неподвижен, а второй движется поступательно
вдоль своей оси с постоянной скоростью:
1. Внутренний цилиндр неподвижен.
2. Внешний цилиндр неподвижен.
> restart;
Полные уравнения Навье–Стокса, описывающие ламинарное течение вяз-
кой несжимаемой жидкости.
> Diff(v[x],t)+v[x]*Diff(v[x],x)+v[y]*Diff(v[x],y)
+v[z]*Diff(v[x],z) = F[x]-(1/rho)*Diff(p,x)
+(mu1/rho)*(Diff(Diff(v[x],x),x)
+Diff(Diff(v[x],y),y)+Diff(Diff(v[x],z),z));
Diff(v[y],t)+v[x]*Diff(v[y],x)+v[y]*Diff(v[y],y)
+v[z]*Diff(v[y],z) = F[y]-(1/rho)*Diff(p,y)
+(mu1/rho)*(Diff(Diff(v[y],x),x)
+Diff(Diff(v[y],y),y)+Diff(Diff(v[y],z),z));
Diff(v[z],t)+v[x]*Diff(v[z],x)+v[y]*Diff(v[z],y)
+v[z]*Diff(v[z],z) = F[z]-(1/rho)*Diff(p,z)
+(mu1/rho)*(Diff(Diff(v[z],x),x)
+Diff(Diff(v[z],y),y)+Diff(Diff(v[z],z),z));
Diff(v[x],x)+Diff(v[y],y)+Diff(v[z],z)=0;
115