ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 900
Скачиваний: 22
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО
ПО
ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«
ВОРОНЕЖСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
»
Т
.
А
.
Крыловецкая
,
В
.
Д
.
Овсянников
ЗАДАЧИ
ПО
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть
1
СТАЦИОНАРНЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ПОЛЯ
Учебное
пособие
для
вузов
Издательско
-
полиграфический
центр
Воронежского
государственного
университета
2008
Утверждено
научно
-
методическим
советом
физического
факультета
25
сентября
2008
г
.,
протокол
№
9
Рецензент
А
.
М
.
Бобрешов
Учебное
пособие
подготовлено
на
кафедре
теоретической
физики
физического
факультета
Воронежского
государственного
университета
.
Рекомендуется
для
студентов
3
курса
дневного
отделения
.
Для
направления
: 010800 –
Радиофизика
.
Для
специальности
: 010801 –
Радиофизика
и
электроника
, 010803 –
Микроэлектроника
и
полупроводниковые
приборы
Предисловие
Настоящее пособие предназначается для практических занятий и само-
стоятельной работы по курсу «Электродинамика» для студентов 3-го
курса физического факультета. Данное издание ориентировано главным
образом на студентов направления 010800 — «Радиофизика», специаль-
ностей 010801 — «Радиофизика и электроника» и 010803 — «Микроэлек-
троника и полупроводниковые приборы».
В учебном плане курсу «Электродинамика» отводится 120 часов ауди-
торных занятий, из них 50 часов – практических, на которых изучение
материала основывается на решении задач. Настоящее пособие представ-
ляет собой руководство к таким занятиям и содержит минимальный на-
бор задач, умение решать которые необходимо для успешного овладения
материалом первой части курса – теорией стационарных электромагнит-
ных полей.
В главе «Векторный анализ» рассматриваются задачи, способству-
ющие овладению основными приемами преобразования векторных диф-
ференциальных выражений и использования в расчетах интегральных
аналитических соотношений – теоремы Гаусса – Остроградского и тео-
ремы Стокса.
В разделе «Электростатика» изучаются основные методы расчета по-
лей стационарных систем зарядов. Наряду с интегральными методами
расчета – теоремой Гаусса и принципом суперпозиции полей – предлага-
ется набор задач на использование общих решений уравнений Лапласа
и Пуассона, а также специального метода расчета электрических полей
неподвижных зарядов и проводников – метода изображений.
В разделе «Постоянное магнитное поле» также представлены зада-
чи на использование как интегральных формул Био – Савара и закона
Ампера, так и дифференциальных уравнений магнитного поля.
Дополнительный набор задач можно найти в книжных изданиях, в
частности, в сборниках задач [1-3], приведенных ниже в списке рекомен-
дуемой литературы. Обращение к книжным изданиям является необхо-
димой частью самостоятельной работы, наряду с активным освоением
курса лекций и решением задач, предлагаемых на практике и в качестве
домашних заданий.
3
1.
Векторный анализ
Основным понятием электродинамики является электромагнитное поле.
Этот математический термин в электродинамике относится к реально
существующему объекту, связанному с электромагнитными свойствами
вещества. В настоящее время в физике известно 2 типа материальных
объектов: вещество и электромагнитное поле (в частности, электромаг-
нитное излучение). Эти объекты тесно связаны друг с другом и не суще-
ствуют независимо друг от друга: ни создание, ни обнаружение электро-
магнитных полей невозможно без вещественных объектов (заряженных и
намагниченных тел, проводников с током, электроприборов, приемников
и излучателей и т.д.), в то же время само существование вещественных
объектов в природе и различных типов их воздействия друг на друга обя-
зано наличию электромагнитных сил, возникающих между отдельными
частицами вещества.
Знакомство с понятием «поле» начинается с математического опи-
сания его свойств. Математическим понятием поля является некоторая
функция координат точек трехмерного пространства, связанного с ре-
ально существующими материальными (вещественными) объектами. До-
пускается также отождествление понятия поля с самим трехмерным про-
странством, в котором задана такая функция координат его точек.
Поля бывают скалярными, векторными, в общем случае – тензорны-
ми, в зависимости от свойств соответствующей функции относительно
преобразований координат в данном пространстве.
Наряду с численной величиной (для векторного или тензорного поля
речь идет о величине каждой компоненты) поля важной характеристи-
кой является и скорость ее изменения при переходе в соседние точки
пространства. Скорость изменения скалярного поля
f
(
r
)
определяет со-
вокупность производных по трем взаимно перпендикулярным направ-
лениям в данной точке пространства, объединяемых в одну векторную
функцию – градиент, для записи которой удобно использовать вектор-
ный дифференциальный оператор набла:
grad
f
(
r
) =
∇
f
(
r
)
. В декарто-
вых (
x, y, z
), цилиндрических (
r, φ, z
) и сферических (
r, θ, φ
) координатах
этот вектор имеет вид:
4
grad
f
(
r
) =
i
∂f
∂x
+
j
∂f
∂y
+
k
∂f
∂z
=
=
e
r
∂f
∂r
+
e
φ
1
r
∂f
∂φ
+
e
z
∂f
∂z
=
=
e
r
∂f
∂r
+
e
θ
1
r
∂f
∂θ
+
e
φ
1
r
sin
θ
∂f
∂φ
.
(1)
У градиента простой геометрический смысл: он определяет абсолютную
величину и направление максимальной скорости роста скалярной функ-
ции. Скорость изменения функции в направлении произвольного векто-
ра
a
определяется скалярным произведением
(
a
· ∇
f
)
/a
. В общем случае
оператор дифференцирования по направлению, задаваемому единичным
вектором
n
, представляет собой скалярный оператор вида
(
n
· ∇
)
. Такой
оператор может действовать как на скалярное, так и на векторное поле.
Вместе с производной по направлению векторное поле
a
имеет еще
одну скалярную и одну векторную дифференциальные характеристики,
называемые соответственно дивергенцией,
div
a
, и ротором,
rot
a
. Дивер-
генция определяет плотность потока вектора через замкнутую поверх-
ность, охватывающую данную точку (отношение потока к величине объ-
ема, охватываемого замкнутой поверхностью):
div
a
=
lim
∆
V
→
0
H
(
a
·
d
S
)
∆
V
=
=
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
=
=
1
r
∂
∂r
(
ra
r
) +
1
r
∂a
φ
∂φ
+
∂a
z
∂z
=
=
1
r
2
∂
∂r
(
r
2
a
r
) +
1
r
sin
θ
∂
∂θ
(
a
θ
sin
θ
) +
1
r
sin
θ
∂a
φ
∂φ
.
(2)
Аналогичным образом отношение циркуляции вектора по контуру, охва-
тывающему данную точку, к площади поверхности, опирающейся на кон-
тур, определяется проекцией вектора
rot
a
на нормаль к поверхности
(направление обхода контура составляет правовинтовую систему с век-
тором нормали):
rot
n
a
= lim
∆
S
→
0
H
(
a
·
d
l
)
∆
S
.
(3)
5