ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 903
Скачиваний: 22
д)
div[
p
×
[
r
×
q
]] = 2(
p
·
q
);
е)
rot[
p
×
[
r
×
q
]] =
−
[
p
×
q
];
Решение.
а)
grad(
p
·
r
) =
i
∂p
x
x
∂x
+
j
∂p
y
y
∂y
+
k
∂p
z
z
∂z
=
i
p
x
+
j
p
y
+
k
p
z
=
p
;
в)
div[
p
×
r
] =
∇
[
p
×
r
] =
−
p
[
∇ ×
r
] = (
−
p
·
rot
r
) = 0;
г)
rot[
p
×
r
] =
p
(
∇
r
)
−
(
p
· ∇
)
r
= 3
p
−
µ
p
x
∂
∂x
+
p
y
∂
∂y
+
p
z
∂
∂z
¶
×
×
(
x
i
+
y
j
+
z
k
) = 3
p
−
(
p
x
i
+
p
y
j
+
p
z
k
) = 2
p
;
е)
rot[
p
×
[
r
×
q
]] = [
∇ ×
[
p
×
[
r
×
q
]]] =
p
(
∇ ·
[
r
×
q
])
−
(
p
· ∇
)[
r
×
q
] =
=
p
(
q
·
[
∇ ×
r
])
−
[(
p
· ∇
)
r
×
q
] = 0
−
[
p
×
q
] =
−
[
p
×
q
];
Задача 1.6.
С помощью теоремы Гаусса – Остроградского доказать со-
отношения (
p
– постоянный вектор,
V
– объем пространства, ограничен-
ный замкнутой поверхностью
S
):
а)
H
S
(
r
·
d
S
) = 3
V
;
б)
H
S
r
(
p
·
d
S
) =
p
V
;
в)
H
S
(
p
·
r
)
d
S
=
p
V
;
г)
H
S
f
(
r
)
d
S
=
R
V
grad
f
(
r
)
dV.
Решение.
б) При решении этой и других подобных задач удобно рассмотреть
скалярное произведение интеграла с произвольным постоянным век-
тором
c
:
c
·
I
S
r
(
p
·
d
S
) =
I
S
(
c
·
r
)(
p
·
d
S
) =
I
S
((
c
·
r
)
p
·
d
S
) =
=
Z
V
div ((
c
·
r
)
p
)
dV
= (
c
·
p
)
Z
V
dV
= (
c
·
p
)
·
V.
Поскольку
c
– произвольный вектор, то отсюда следует, что
I
S
r
(
p
·
d
S
) =
p
V.
Задача 1.7.
Применяя теорему Гаусса – Остроградского, вычислите по-
ток векторного поля:
11
а)
a
= (
x
−
y
)
i
+ (
z
−
y
)
j
+ (
z
−
x
)
k
;
б)
a
= (
z
+ 1)
k
;
через сферу
x
2
+
y
2
+
z
2
= 1
в сторону внешней нормали.
Ответы:
а
) 4
π/
3;
б
) 4
π/
3
.
2.
Электростатика
Основной задачей электростатики является нахождение напряженности
электрического поля по заданному закону распределения зарядов в про-
странстве. Заряды могут рассматриваться как точечные, линейные, по-
верхностные или объемные, в зависимости от соотношения между линей-
ными размерами пространства, в котором создается электрическое поле,
и той области, где заряды сосредоточены.
Поле, создаваемое зарядом любого типа, удовлетворяет электроста-
тической теореме Гаусса
I
S
(
E
·
d
S
) = 4
π
X
i
q
i
,
(13)
где суммирование в правой части распространяется на все заряды
q
i
,
находящиеся внутри области пространства, ограниченной замкнутой по-
верхностью
S
, через которую вычисляется поток вектора напряженности
электрического поля
E
в левой части равенства. Предполагая, что заряд
распределен по пространству с объемной плотностью
ρ
(
r
)
, и используя
теорему Остроградского-Гаусса (11) для интеграла в левой части, по-
лучим дифференциальное уравнение электростатики (теорему Гаусса в
дифференциальной форме), определяющее плотность источников элек-
тростатического поля:
div
E
= 4
πρ.
(14)
Второе дифференциальное уравнение, указывающее на отсутствие вих-
рей у электростатического поля, можно получить с помощью теоремы
Стокса, исходя из условия потенциальности поля:
I
L
(
E
·
d
l
) = 0 =
⇒
rot
E
= 0
.
(15)
Две дифференциальные характеристики (14) и (15) полностью опреде-
ляют векторное поле. Вводя на основании уравнения (15) электростати-
ческий потенциал, согласно соотношению
12
E
=
−
grad
ϕ,
(16)
и подставляя его в (14), получим уравнение Пуассона для потенциала:
∆
ϕ
=
−
4
πρ.
(17)
Решение этого уравнения согласно (10) имеет вид суперпозиции потен-
циалов полей, создаваемых точечными зарядами
dq
(
r
0
) =
ρ
(
r
0
)
d
r
0
:
ϕ
(
r
) =
Z
ρ
(
r
0
)
d
r
0
|
r
−
r
0
|
.
(18)
Подставляя правую часть этого равенства в (16), получим аналогичное
выражение для напряженности:
E
(
r
) =
Z
ρ
(
r
0
)(
r
−
r
0
)
|
r
−
r
0
|
3
d
r
0
.
(19)
Соотношения (13) – (19) позволяют рассчитывать напряженности и по-
тенциалы электростатических полей, создаваемых различными систе-
мами зарядов. При использовании этих уравнений следует учитывать
симметрию распределения зарядов в пространстве, приводящую к суще-
ственному упрощению расчетов. В случае поверхностных или линейных
зарядов объемные интеграл и плотность
ρ
(
r
0
)
в выражениях (18) – (19)
следует заменить соответственно на поверхностные или линейные инте-
грал и плотность
σ
(
r
0
)
или
τ
(
r
0
)
.
13
Задачи к главе 2
Дифференциальные уравнения электростатики
Задача 2.1.
Найти напряженность
E
электростатического поля, потен-
циал
ϕ
которого равен:
а)
a
[
b
×
r
];
б)
[
a
×
r
][
b
×
r
];
в)
(
d
·
r
) cos(
k
·
r
);
г)
(
d
·
r
)
/r
3
;
д)
f
(
r
)
F
(
r
);
е)
F
(
f
(
a
·
r
))
.
Здесь векторы
a
,
b
,
k
и
d
не зависят от координат и времени, а
f
и
F
–
произвольные дифференцируемые функции своего аргумента.
Ответы:
а)
[
b
×
a
];
б)
(
a
·
r
)
b
−
2(
a
·
b
)
r
+ (
b
·
r
)
a
;
в)
(
d
·
r
)
k
sin(
k
·
r
)
−
d
cos(
k
·
r
);
г)
3(
d
·
r
)
r
/r
5
−
d
/r
3
;
д)
−
·
df
(
r
)
dr
F
(
r
) +
f
(
r
)
dF
(
r
)
dr
¸
r
r
;
е)
−
dF
df
df
d
(
ar
)
a
.
Задача 2.2.
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле
с напряженностью:
а)
E
= [
a
×
r
];
б)
E
= (
a
·
r
)
b
;
в)
E
= (
a
·
r
)
r
;
г)
E
=
f
(
r
)[
a
×
r
]
,
где
a
и
b
– постоянные вектора?
Ответы:
а) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля:
rot
E
= 2
a
;
б) можно, если вектора
a
и
b
параллельны, так как при этом усло-
вии ротор заданной векторной функции равен нулю, а дивергенция
отлична от нуля:
rot
E
= [
a
×
b
];
div
E
= (
a
·
b
);
в) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля:
rot
E
= [
a
×
r
];
14
г) нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от ну-
ля:
rot
E
=
µ
r
a
−
r
r
(
r
·
a
)
¶
∂f
∂r
+ 2
a
f
(
r
)
.
Задача 2.3.
Определить распределение объемной плотности
ρ
заряда,
создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью
E
, рав-
ной:
а)
(
b
·
r
)
b
;
б)
gr
r
;
в)
e
r
r
3
½
1
−
·
1 +
2
r
a
³
1 +
r
a
´¸
exp
µ
−
2
r
a
¶¾
.
Здесь векторы
a
,
b
и величины
a
,
g
и
e
не зависят от координат, а
f
-
произвольная дифференцируемая функция своего аргумента.
Ответы:
а)
b
2
4
π
;
б)
gr
π
.
в)
e
πa
3
e
−
2
r/a
;
Теорема Гаусса
Задача 2.4.
Показать, что в случае сферически-симметричного распре-
деления зарядов
ρ
(
r
)
вектор напряженности электрического поля на-
правлен по радиусу-вектору:
E
k
r
.
Задача 2.5.
Шар радиуса
R
заряжен по объему зарядом
Q
с постоян-
ной плотностью
ρ
. Найти распределение напряженности поля
E
внутри
и вне шара.
Решение.
Поле шара, заряженного с постоянной плотностью
ρ
(
r
)
, обладает сфе-
рической симметрией:
E
r
=
E
(
r
)
;
E
θ
=
E
ϕ
= 0
.
Применив теорему Гаус-
са
H
S
(
E
·
d
S
) = 4
π
R
V
ρ
(
r
)
dV
к сферической поверхности радиуса
r
≤
R
с
центром в центре заряженного шара, получим
E
·
4
πr
2
= 4
πρ
(
r
)
·
4
3
πr
3
;
E
=
4
3
πρr
;
E
=
4
3
πρ
r
=
Q
r
/R
3
.
Для аналогичной сферической поверхности радиуса
r > R
имеем:
E
·
4
πr
2
= 4
πρ
(
r
)
·
4
3
πR
3
;
E
=
4
3
πρ
R
3
r
2
;
E
=
4
3
πρ
R
3
r
3
r
=
Q
r
/r
3
.
15