ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 973
Скачиваний: 25
где
R
– радиус-вектор, проведенный из элемента тока в точку на-
блюдения,
c
– электродинамическая константа, равная скорости
света в вакууме;
2) формулу Ампера для циркуляции вектора напряженности
H
по
замкнутому контуру:
I
L
(
H
·
d
l
) =
4
π
c
X
i
I
i
,
(30)
где суммирование проводится по всем токам, пронизывающим кон-
тур
L
;
3) решение дифференциальных уравнений магнитостатики
div
H
= 0
,
rot
H
=
4
π
c
j
,
(31)
где
j
– вектор плотности электрического тока в данной точке про-
странства.
Все три метода взаимно связаны и следуют друг из друга. В частности,
интеграл формулы Био – Савара (29) может быть получен, как реше-
ние системы дифференциальных уравнений (31) для магнитного поля
токов, текущих по тонким проводникам. Формулу Ампера можно полу-
чить интегрированием уравнения для ротора по произвольной поверх-
ности, опирающейся на замкнутый контур, с последующим преобразова-
нием поверхностного интеграла в левой части по формуле Стокса (12) к
контурному интегралу. Формула Ампера аналогична электростатической
теореме Гаусса и используется в расчетах магнитного поля, создаваемого
симметричным распределением токов в пространстве.
Задача 3.9.
Решить систему дифференциальных уравнений (31) путем
введения векторного потенциала на основании уравнения для диверген-
ции, подстановки его в уравнение для ротора и приведения последнего к
виду уравнения Пуассона (7). Какой калибровке должен удовлетворять
векторный потенциал? При каком условии полученное решение сводится
к интегральной формуле Био – Савара?
Задача 3.10.
Вдоль бесконечного цилиндрического проводника радиу-
са
a
течет постоянный ток
J
, равномерно распределенный по сечению.
Определить напряженность магнитного поля
H
внутри и вне проводни-
ка, исходя из дифференциальных уравнений (31).
36
Решение.
Исходя из симметрии распределения тока, можно считать, что на-
пряженность магнитного поля может зависеть только от расстояния до
проводника:
H
=
H
(
r
)
, где
r
– радиальная переменная цилиндрической
системы координат с осью
0
z
направленной вдоль оси проводника с то-
ком. Уравнение
div
H
= 0
в этой системе дает
rH
r
=
const
= 0
, так как
H
r
(0)
должно быть ограничено. Следовательно,
H
r
≡
0
.
Уравнение
rot
H
= 4
π
j
/
с дает
H
z
= 0
,
H
φ
= 2
πjr/c
внутри провод-
ника,
H
φ
= 2
J/
(
cr
)
– вне проводника.
Ответ
:
H
(
r
) =
½
2
Jr/
(
ca
2
)
e
φ
для
r
≤
a,
2
J/
(
cr
)
e
φ
для
r > a.
Задача 3.11.
Найти распределение напряженности магнитного поля в
предыдущей задаче с помощью формулы Ампера (30).
Решение.
Направим ось
0
z
вдоль проводника с током. Тогда с помощью закона
Ампера находим:
H
φ
·
2
πr
=
4
π
c
Z
S
j
n
dS.
Для
r > a
:
Z
S
j
n
dS
=
J
;
для
r
≤
a
(
ввиду того, что
j
n
=
J/
(
πa
2
)) :
Z
S
j
n
dS
=
J
πa
2
πr
2
=
Jr
2
a
2
.
H
φ
=
½
4
π/c
·
(
Jr
2
)
/a
2
·
1
/
(2
πr
) = 2
Jr/
(
ca
2
)
e
φ
для
r
≤
a,
4
π/c
·
J/
(2
πr
) = 2
J/
(
cr
)
e
φ
для
r > a.
H
z
= 0
, так как напряженность поля каждого из элементов тока, соглас-
но закону Био – Савара, перпендикулярна направлению тока.
div
H
= 0
,
div
H
=
∂H
z
∂z
+
1
r
∂
∂r
(
rH
r
) +
1
r
∂H
φ
∂φ
= 0
,
откуда следует
rH
r
=
const
, что ввиду конечности вектора
H
при
r
= 0
может иметь место лишь при
H
r
= 0
.
Задача 3.12.
Коаксиальный кабель имеет центральную жилу радиу-
са
r
1
и внешнюю оболочку радиусов
r
2
и
r
3
. По жиле и оболочке, в
противоположных направлениях, протекают токи силы
J
, равномерно
37
распределенные по сечению. Исследовать распределение напряженности
магнитного поля
H
с помощью закона Ампера (30).
Ответ:
H
(
r
) =
H
(
r
)
e
φ
,
где
H
(
r
) =
2
Jr/
(
cr
2
1
)
для
r
≤
r
1
,
2
J/
(
cr
)
для
r
1
< r
≤
r
2
,
2
J
cr
·
1
−
r
2
−
r
2
2
r
2
3
−
r
2
2
¸
для
r
2
< r
≤
r
3
,
0
для
r > r
3
.
Задача 3.13.
По полому цилиндрическому проводнику радиуса сечения
R
протекает ток
J
. Вычислить напряженность магнитного поля
H
внут-
ри и вне цилиндра с помощью закона Ампера. Показать, не прибегая
к формуле Ампера, что внутри цилиндра
H
= 0
. Выразить величину
скачка тангенциальной составляющей магнитного поля на поверхности
цилиндра через поверхностную плотность тока
i
=
J/
(2
πR
)
.
Ответ:
H
(
r
) =
½
0
для
r
≤
R,
2
J/
(
cr
)
для
r > R
;
H
2
τ
−
H
1
τ
=
4
π
c
i.
Задача 3.14.
Определить напряженность магнитного поля в точке, от-
стоящей на расстояние
d
от отрезка прямолинейного проводника с то-
ком
J
. Углы, под которыми видна точка с концов проводника,
α
1
и
α
2
(углы отсчитываются от направления тока). Рассмотреть случай беско-
нечного проводника.
r
r
r
P
0
l
-
6
d
J
α
2
α
1
´
´
´
´
´
´
´
´´
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Решение.
В случае прямолинейного тока вектор
[
d
l
×
R
]
имеет одинаковое направление
для всех элементов тока при фикси-
рованной точке наблюдения. Поэтому
численное значение вектора
H
равно
сумме значений подынтегрального вы-
ражения формулы Био – Савара:
H
=
J
c
I
[
d
l
×
R
]
R
3
.
38
Введем угол
α
между направлением тока и радиусом-вектором, про-
веденным из элемента тока в точку наблюдения. Тогда
H
=
J
c
Z
dl
R
2
sin
α
=
Á
R
=
d
sin
α
,
l
=
d
tg(
π
−
α
)
=
−
d
ctg
α
Á
=
=
J
cd
α
2
Z
α
1
sin
αdα
=
J
cd
(cos
α
1
−
cos
α
2
)
.
H
=
[
J
×
d
]
cd
2
(cos
α
1
−
cos
α
2
)
.
В случае бесконечного проводника
α
1
= 0
,
α
2
=
π
,
H
=
2[
J
×
d
]
cd
2
.
Задача 3.15.
Внутри бесконечного цилиндрического проводника ради-
уса сечения
a
с током
J
, равномерно распределенным по сечению, имеет-
ся бесконечная цилиндрическая полость радиуса сечения
b
, ось которой
параллельна оси проводника и отстоит от нее на расстояние
h
. Найти
напряженность магнитного поля внутри полости.
Ответ
:
H
(
r
) =
2[
J
×
h
]
c
(
a
2
−
b
2
)
.
Задача 3.16.
Бесконечный проводник с током согнут под углом
60
◦
.
Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе
угла и отстоящей на расстояние
d
от его вершины.
Ответ
:
H
= 4
[
J
×
d
]
cd
2
(
√
3 + 2)
.
r
-
?
?
-
-
@
@
@
@
@
0
i
j
d
l
γ
y
x
Задача 3.17.
По дуге окружности радиуса
a
,
определяемой центральным углом
γ
, проло-
жен проводник с током
J
. Найти напряжен-
ность
H
и векторный потенциал
A
магнитно-
го поля в центре окружности.
Решение.
H
=
J
c
Z
[
d
l
×
R
]
R
3
=
k
J
c
Z
dl
R
2
=
=
k
J
ca
2
Z
dl
=
k
J
ca
2
·
aγ
=
Jγ
ca
k
.
39
A
=
J
c
Z
d
l
R
.
Так как
d
l
=
dl
(
−
sin
φ
)
i
+
dl
cos
φ
j
,
R
=
a,
dl
=
adφ
для векторного потенциала имеем
A
=
Ja
ca
γ
Z
0
(
−
sin
φ
)
dφ
i
+
γ
Z
0
(
−
cos
φ
)
dφ
j
=
J
c
[(cos
γ
−
1)
i
+ sin
γ
j
]
.
Ответ
:
H
=
Jγ
ca
k
;
A
=
J
c
[
i
(cos
γ
−
1) +
j
sin
γ
]
.
Задача 3.17.
По кольцу радиуса
a
протекает ток
J
. Найти напряжен-
ность магнитного поля на оси кольца.
Ответ
:
H
=
2
πa
2
J
cR
3
k
.
Задача 3.18.
По кольцу радиуса
a
протекает ток
J
. Найти напряжен-
ность магнитного поля на оси кольца.
Ответ
:
H
=
2
πa
2
J
cR
3
k
.
Задача 3.19.
В однородное магнитное поле напряженности
H
0
вносится
шар радиуса
a
, сделанный из материала с магнитной проницаемостью
µ
.
Определить поле внутри и вне шара и магнитный момент шара
m
.
Указание
: Воспользоваться идентичностью уравнений магнитостатики
и электростатики в отсутствие токов и зарядов, а также решением задачи
2.38.
Ответ:
H
(
r
) =
(
3
H
0
/
(
µ
+2)
для
r
≤
a,
H
0
+3
r
(
m
·
r
)
/r
5
−
m
/r
3
для
r > a
;
m
=
H
0
a
3
µ
−
1
µ
+ 2
.
40