ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 902
Скачиваний: 22
Явные выражения для этого вектора в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах имеют вид:
rot
a
(
r
) =
i
µ
∂a
z
∂y
−
∂a
y
∂z
¶
+
j
µ
∂a
x
∂z
−
∂a
z
∂x
¶
+
k
µ
∂a
y
∂x
−
∂a
x
∂y
¶
=
=
e
r
µ
1
r
∂a
z
∂φ
−
∂a
φ
∂z
¶
+
e
φ
µ
∂a
z
∂r
−
∂a
r
∂z
¶
+
e
z
1
r
µ
∂
∂r
(
ra
φ
)
−
∂a
r
∂φ
¶
=
=
e
r
1
r
sin
θ
µ
∂
∂θ
(sin
θa
φ
)
−
∂a
θ
∂φ
¶
+
e
θ
1
r
µ
1
sin
θ
∂a
r
∂φ
−
∂
∂r
(
ra
φ
)
¶
+
+
e
φ
1
r
µ
∂a
r
∂θ
−
∂
∂r
(
ra
θ
)
¶
.
(4)
Операции
grad
ϕ
,
div
a
и
rot
a
можно записать с помощью оператора
∇
:
grad
ϕ
=
∇
ϕ
,
div
a
= (
∇ ·
a
)
,
rot
a
= [
∇ ×
a
]
.
Важнейшим уравнением для электродинамики постоянных полей яв-
ляется уравнение Лапласа, которому удовлетворяет электростатический
потенциал в точках пространства, где свободных электрических зарядов
нет,
∆
ϕ
= 0
,
(5)
где
∆
– линейный дифференциальный оператор второго порядка (квад-
рат оператора
∇
). Явное выражение этого оператора в декартовой, ци-
линдрической и сферической системах координат имеет вид:
∆ =
∇
2
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
=
=
1
r
∂
∂r
µ
r
∂
∂r
¶
+
1
r
2
∂
2
∂φ
2
+
∂
2
∂z
2
=
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
¶
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
µ
sin
θ
∂
∂θ
¶
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂φ
2
.
(6)
Уравнение Лапласа (5) в точках, где есть пространственный заряд, пре-
вращается в уравнение с неоднородной правой частью, называемое урав-
нением Пуассона
∆
ϕ
(
r
) =
f
(
r
)
.
(7)
Частное решение этого уравнения можно найти с помощью функции
Грина уравнения Лапласа,
G
(
r
,
r
0
)
, удовлетворяющей уравнению (7) с
δ
-образной неоднородностью
∆
G
(
r
,
r
0
) =
δ
(
r
−
r
0
)
.
(8)
6
Решение уравнения (8) (которое можно получить в аналитическом виде
методом Фурье-преобразования) имеет вид:
G
(
r
,
r
0
) =
−
1
4
π
|
r
−
r
0
|
.
(9)
С его помощью решение уравнения (7) можно записать в виде:
ϕ
(
r
) =
Z
G
(
r
,
r
0
)
f
(
r
0
)
d
r
0
=
−
1
4
π
Z
f
(
r
0
)
d
r
0
|
r
−
r
0
|
,
(10)
где интегрирование проводится по всему пространству. Вообще говоря, к
этому выражению можно добавить любую функцию, удовлетворяющую
уравнению Лапласа (5) (например, линейную функцию декартовых коор-
динат). Однако для электродинамики интерес представляют только по-
ля, создаваемые конкретными материальными источниками, плотность
которых и описывает функция
f
(
r
0
)
в подынтегральном выражении в
(7), и в отсутствие которых (т. е. при
f
(
r
0
)
≡
0
) поле
ϕ
(
r
)
обращается в
нуль.
Основными интегральными теоремами электродинамики являются
теорема Остроградского – Гаусса и теорема Стокса. Эти теоремы лежат
в основе инвариантного определения дивергенции и ротора векторного
поля. Теорема Гаусса – Остроградского гласит:
I
S
(
a
·
d
S
) =
Z
V
div
a
dV.
(11)
Интеграл от дивергенции векторного поля
a
в правой части этого равен-
ства вычисляется по объему, ограниченному замкнутой поверхностью,
поток вектора через которую вычисляется в левой части.
Теорема Стокса гласит:
I
L
(
a
·
d
l
) =
Z
S
(rot
a
·
d
S
)
.
(12)
Поверхность
S
, через которую вычисляется поток ротора векторного по-
ля в правой части этого соотношения, опирается на контур, циркуляция
по которому вычисляется для этого же векторного поля в левой части.
Направление нормали к поверхности образует с направлением обхода
контура правовинтовую систему.
7
Задачи к главе 1
Задача 1.1.
Показать, что
div rot
A
(
r
) = 0;
rot grad
f
(
r
) = 0
.
Решение. Используя возможность циклической перестановки векто-
ров в смешанном произведении, получим:
div rot
A
(
r
) = (
∇ ·
[
∇ ×
A
(
r
)]) = ([
∇ × ∇
]
·
A
(
r
)) = 0
,
поскольку оператор
[
∇ × ∇
]
является дифференциальным векторным
оператором, компоненты которого представляют собой разность вторых
частных смешанных производных, отличающихся лишь порядком диф-
ференцирования по координатам трехмерного пространства.
Задача 1.2.
Доказать дифференциальные тождества:
а)
grad(
f ϕ
) =
ϕ
grad
f
+
f
grad
ϕ
;
б)
div(
ϕ
A
) =
ϕ
div
A
+ (
A
·
grad
ϕ
);
в)
rot(
ϕ
A
) =
ϕ
rot
A
+ [grad
ϕ
×
A
];
г)
div[
A
×
B
] = (
B
·
rot
A
)
−
(
A
·
rot
B
);
д)
rot[
A
×
B
] =
A
div
B
−
B
div
A
+ (
B
· ∇
)
A
−
(
A
· ∇
)
B
;
е)
grad(
A
·
B
) = [
A
×
rot
B
] + [
B
×
rot
A
] + (
A
· ∇
)
B
+ (
B
· ∇
)
A
;
ж)
rot rot
A
= grad div
A
− ∇
2
A
.
Решение. Используя оператор
∇
и принимая во внимание, что он и век-
тор, и дифференциальный оператор, вычисления проводим с учетом пра-
вил дифференцирования произведения (стрелкой можно указывать, на
какой из сомножителей действует дифференциальная операция):
а)
grad(
f ϕ
) =
∇
(
f ϕ
) =
∇
(
↓
f ϕ
) +
∇
(
f
↓
ϕ
) =
ϕ
grad
f
+
f
grad
ϕ
;
б)
div(
ϕ
A
) = (
∇ ·
(
ϕ
A
)) = (
∇ ·
(
↓
ϕ
A
)) + (
∇ ·
(
ϕ
↓
A
)) = (
A
·
grad
ϕ
) +
ϕ
div
A
;
в)
rot(
ϕ
A
) = [
∇×
ϕ
A
] = [
∇×
↓
ϕ
A
]+[
∇×
ϕ
↓
A
] = [grad
ϕ
×
A
]+
ϕ
rot
A
;
8
г)
div[
A
×
B
] = (
∇ ·
[
A
×
B
]) = (
∇ ·
[
↓
A
×
B
]) + (
∇ ·
[
A
×
↓
B
]) =
= (
∇ ·
[
↓
A
×
B
])
−
(
∇ ·
[
↓
B
×
A
]) = (
B
·
[
∇×
↓
A
])
−
(
A
·
[
∇×
↓
B
]) =
= (
B
·
rot
A
)
−
(
A
·
rot
B
);
ж)
rot rot
A
= [
∇×
[
∇×
A
]] =
∇·
(
∇·
A
)
−
(
∇·∇
)
A
= grad div
A
−∇
2
A
.
Задача 1.3.
Показать, что при действии на функции, зависящие только
от модуля радиуса-вектора
r
=
p
x
2
+
y
2
+
z
2
, оператор
∇
можно заме-
нить на
e
r
d/dr
, где
e
r
=
r
/r
– единичный вектор в радиальном направ-
лении. Доказать следующие векторные дифференциальные тождества:
а)
grad
r
=
e
r
;
б)
grad
f
(
r
) =
e
r
df
dr
;
в)
div
A
(
r
) =
µ
e
r
·
d
A
dr
¶
;
г)
rot
A
(
r
) =
·
e
r
×
d
A
dr
¸
;
д)
grad (
A
(
r
)
·
B
(
r
)) =
e
r
½µ
d
A
dr
·
B
(
r
)
¶
+
µ
A
(
r
)
·
d
B
dr
¶¾
;
е)
div (
ϕ
(
r
)
A
(
r
)) =
ϕ
r
µ
r
·
d
A
dr
¶
+
dϕ
dr
³
r
r
·
A
(
r
)
´
;
ж)
rot (
ϕ
(
r
)
A
(
r
)) =
ϕ
r
·
r
×
d
A
dr
¸
+
dϕ
dr
h
r
r
×
A
(
r
)
i
.
Решение.
б
)
grad
f
(
r
) =
i
∂f
(
r
)
∂x
+
j
∂f
(
r
)
∂y
+
k
∂f
(
r
)
∂z
=
=
i
df
(
r
)
dr
∂r
∂x
+
j
df
(
r
)
dr
∂r
∂y
+
k
df
(
r
)
dr
∂r
∂z
=
=
df
(
r
)
dr
(
i
x
p
x
2
+
y
2
+
z
2
+
j
y
p
x
2
+
y
2
+
z
2
+
k
z
p
x
2
+
y
2
+
z
2
) =
=
df
(
r
)
dr
r
r
=
df
(
r
)
dr
e
r
;
в
) div
A
(
r
) =
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z
∂z
=
dA
x
dr
∂r
∂x
+
dA
y
dr
∂r
∂y
+
dA
z
dr
∂r
∂z
=
=
µ
r
r
·
d
A
dr
¶
=
µ
e
r
·
d
A
dr
¶
;
9
г
) rot
A
(
r
) =
i
µ
∂A
z
∂y
−
∂A
y
∂z
¶
+
j
µ
∂A
x
∂z
−
∂A
z
∂x
¶
+
k
µ
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
¶
=
=
i
µ
dA
z
dr
∂r
∂y
−
dA
y
dr
∂r
∂z
¶
+
j
µ
dA
x
dr
∂r
∂z
−
dA
z
dr
∂r
∂x
¶
+
k
µ
dA
y
dr
∂r
∂x
−
dA
x
dr
∂r
∂y
¶
=
=
i
µ
y
r
dA
z
dr
−
z
r
dA
y
dr
¶
+
j
µ
z
r
dA
x
dr
−
x
r
dA
z
dr
¶
+
k
µ
x
r
dA
y
dr
−
y
r
dA
x
dr
¶
=
=
1
r
·
r
×
d
A
dr
¸
=
·
e
r
×
d
A
dr
¸
.
Задача 1.4.
Доказать следующие векторные дифференциальные тож-
дества, содержащие радиус-вектор
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
:
а)
div
r
= 3;
б)
rot
r
= 0;
в)
div(
ϕ
(
r
)
r
) = 3
ϕ
(
r
) +
r
dϕ
dr
;
г)
rot(
ϕ
(
r
)
r
) = 0;
д)
grad
1
r
=
−
r
r
3
;
е)
div
r
r
3
= 0
, при
r
6
= 0
;
ж)
rot
r
r
3
= 0;
з)
∆
r
=
2
r
;
и)
∆
r
= 0
.
Решение.
в)
div(
ϕ
(
r
)
r
) =
∂
(
ϕ
(
r
)
x
)
∂x
+
∂
(
ϕ
(
r
)
y
)
∂y
+
∂
(
ϕ
(
r
)
z
)
∂z
=
= 3
ϕ
(
r
) +
dϕ
(
r
)
dr
µ
x
2
r
+
y
2
r
+
z
2
r
¶
= 3
ϕ
(
r
) +
r
dϕ
dr
;
г)
rot(
ϕ
(
r
)
r
) =
i
µ
z
∂ϕ
(
r
)
∂y
−
y
∂ϕ
(
r
)
∂z
¶
+
j
µ
x
∂ϕ
(
r
)
∂z
−
z
∂ϕ
(
r
)
∂x
¶
+
+
k
µ
y
∂ϕ
(
r
)
∂x
−
x
∂ϕ
(
r
)
∂y
¶
=
1
r
dϕ
(
r
)
dr
{
i
(
zy
−
yz
) +
j
(
xz
−
zx
) +
+
k
(
yx
−
xy
)
}
= 0;
з)
∆
r
=
∇
(
∇
r
) = div grad
r
= div
r
r
=
3
r
+
r
d
µ
1
r
¶
dr
=
2
r
;
Задача 1.5.
Доказать следующие равенства, содержащие постоянные
векторы
p
=
const
и
q
=
const
:
а)
grad(
p
·
r
) =
p
;
б)
grad
(
p
·
r
)
r
3
=
p
r
3
−
3(
p
·
r
)
r
5
r
;
в)
div[
p
×
r
] = 0;
г)
rot[
p
×
r
] = 2
p
;
10