ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 904
Скачиваний: 22
шара и направления внешнего поля. Единственным решением уравнения
Лапласа, удовлетворяющим этим условиям и убывающим на бесконеч-
ности, является поле диполя (см. задачу 2.28). Поэтому ищем потенциал
в виде:
(
ϕ
1
=
−
Cr
cos
θ
для
r
≤
a,
ϕ
2
=
−
E
0
r
cos
θ
+
p
r
2
cos
θ
для
r > a.
Граничные условия
ϕ
1
|
r
=
a
=
ϕ
2
|
r
=
a
и
²
(
i
)
∂ϕ
1
∂r
¯
¯
r
=
a
−
²
(
e
)
∂ϕ
2
∂r
¯
¯
r
=
a
= 4
πσ
= 0
определяют
C
и
p
:
−
Ca
cos
θ
=
−
E
0
a
cos
θ
+
p
a
2
cos
θ,
²
(
i
)
(
−
C
cos
θ
) +
²
(
e
)
E
0
cos
θ
+
2
p²
(
e
)
a
3
cos
θ,
откуда
p
=
E
0
a
3
²
r
−
1
²
r
+ 2
;
C
=
E
0
3
²
r
+ 2
,
где
²
r
=
²
(
i
)
²
(
e
)
.
ϕ
(
r
) =
−
3(
E
0
·
r
)
/
(
²
r
+ 2)
для
r
≤
a,
−
(
E
0
·
r
)
·
1 +
1
−
²
r
²
r
+ 2
·
R
3
r
3
¸
для
r > a.
Плотность связанного заряда шара:
σ
связ
=
P
1
n
−
P
2
n
=
1
4
π
³
(
²
(
i
)
−
1)
E
1
n
|
r
=
a
−
(
²
(
e
)
−
1)
E
2
n
|
r
=
a
´
=
=
.
²
(
e
)
E
2
n
|
r
=
a
−
²
(
i
)
E
1
n
|
r
=
a
= 0
.
=
1
4
π
µ
∂ϕ
1
∂r
¯
¯
¯
¯
r
=
a
−
∂ϕ
2
∂r
¯
¯
¯
¯
r
=
a
¶
=
=
1
4
π
µ
−
3
E
0
cos
θ
1
²
r
+ 2
−
2
E
0
cos
θ
²
r
−
1
²
r
+ 2
+
E
0
cos
θ
¶
=
3
4
π
²
r
−
1
²
r
+ 2
E
0
cos
θ.
Задача 2.39.
Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено двумя диэлектриками. Диэлектрическая проницаемость пер-
вого слоя
²
1
, второго –
²
2
, а их толщины соответственно
d
1
и
d
2
, причем
d
1
+
d
2
=
d
– толщина конденсатора. Площадь каждой обкладки
S
. Найти
емкость конденсатора.
Ответ:
C
=
²
1
²
2
S
4
π
(
²
1
d
2
+
²
2
d
1
)
.
31
Задача 2.40.
Пространство между обкладками сферического конденса-
тора заполнено двумя слоями диэлектриков с проницаемостями
²
1
и
²
2
.
Радиусы обкладок
a
и
b
. Радиус поверхности раздела диэлектриков
h
.
Определить емкость конденсатора.
Ответ:
C
=
²
1
²
2
h
²
1
(
b
−
h
)
/b
+
²
2
(
h
−
a
)
/a
.
3.
Магнитостатика
Аналогично тому как
неподвижные
заряды создают в окружающем про-
странстве электростатическое поле или могут обнаружить поле, создан-
ное другими зарядами в данной точке пространства,
движущиеся
заря-
ды создают в окружающем пространстве магнитное поле или могут об-
наружить в данной точке пространства магнитное поле, созданное дру-
гими зарядами. Движущиеся заряды образуют
электрический ток
. Если
распределение токов в пространстве с течением времени не изменяется
(токи стационарны), то возбуждаемое ими магнитное поле не зависит от
времени, т. е. является
статическим
.
Законы постоянного тока
Заметные по величине постоянные токи могут создаваться в
проводни-
ках
– веществах с высокой
электропроводностью
. Для этого необходимо
поддерживать внутри проводника постоянное электрическое поле. Эту
задачу решает
источник
тока. При этом вне проводника электрическое
поле может отсутствовать вследствие нейтральности вещества, поддер-
живаемого в процессе прохождения по нему электрического тока, а рас-
пределение зарядов в проводнике и окружающем его пространстве долж-
но оставаться неизменным. Из этого условия и уравнения непрерывности
заряда
∂ρ
∂t
+ div
j
= 0
,
(23)
связывающего скорость изменения плотности заряда
ρ
с плотностью ис-
точников вектора плотности тока
j
, следует
условие постоянства элек-
трического тока
, записываемого через вектор
j
в виде:
div
j
= 0
.
(24)
Соответствующее уравнение на границе раздела двух проводников имеет
вид:
j
1
n
=
j
2
n
.
(25)
32
В случае
линейных токов
, текущих по бесконечно тонким провод-
никам, это уравнение приводит к
первому закону Кирхгофа
(правилу
узлов):
X
i
J
i
= 0
,
(26)
где суммирование проводится по всем токам, приходящим в данный узел
цепи.
Закон Ома связывает вектор
j
с напряженностью электрического по-
ля в проводнике линейным соотношением вида:
j
=
λ
E
,
(27)
где
λ
– удельная проводимость (электропроводность) вещества.
Постоянное электрическое поле в проводнике поддерживается сто-
ронними (неэлектростатическими) силами, действующими внутри источ-
ника тока. Электрическая энергия от источника расходуется на преодо-
ление сопротивления отдельных участков цепи. Математическим выра-
жением этого факта является
второй закон Кирхгофа
(правило замкну-
того контура):
X
i
J
i
R
i
=
X
i
E
i
,
(28)
где
E
i
– электродвижущая сила (эдс) источника, действующего на
i
-м
участке замкнутого контура.
Расход (диссипация) электрической энергии в цепи происходит в виде
выделения Джоулева тепла на сопротивлении:
U
=
RI
2
,
или для единицы объема проводника
u
= (
j
·
E
) =
j
2
λ
=
λE
2
.
Задачи к главе 3
Задача 3.1.
Определить объемную плотность статического заряда
ρ
,
появляющегося в неоднородной проводящей среде при прохождении по
ней постоянного электрического тока
j
.
Решение.
Объемную плотность статического заряда определяет дифференци-
альное уравнение
div
E
= 4
πρ,
где
E
=
1
λ
j
.
33
div
µ
1
λ
j
¶
= 4
πρ,
µ
j
∇
1
λ
¶
+
1
λ
∇
j
= 4
πρ
;
учитавая условие постоянства электрического тока (23)
div
j
=
∇
j
= 0
,
получаем
ρ
=
1
4
π
µ
j
· ∇
1
λ
¶
=
−
1
4
πλ
2
(
j
· ∇
λ
)
.
Задача 3.2.
Выразить линейную плотность заряда,
τ
(
x
)
, появляющего-
ся на неоднородном проводнике при прохождении по нему тока
I
, если
проводимость вдоль проводника изменяется по закону
λ
=
λ
0
+
ax
.
Ответ
:
τ
(
x
) =
−
Ia
4
π
(
λ
0
+
ax
)
2
.
Задача 3.3.
Определить величину заряда
q
на поверхности раздела двух
проводников с проводимостями
λ
1
и
λ
2
, через которую проходит ток
I
.
Ответ
:
q
=
I
4
π
µ
1
λ
2
−
1
λ
1
¶
.
Задача 3.4.
Пространство между обкладками шарового конденсатора
(радиусы обкладок
r
1
и
r
2
) заполнено проводящей средой с электропро-
водностью
λ
. Найти силу тока, протекающего через конденсатор, если
его обкладки поддерживаются при постоянной разности потенциалов.
Вычислить сопротивление
R
находящегося между обкладками шарово-
го слоя.
Решение.
Напряженность поля между обкладками
E
=
E
r
=
a
r
2
.
Обкладки конденсатора поддерживаются при постоянной разности по-
тенциалов:
∆
ϕ
=
r
2
Z
r
1
E
r
dr
=
a
µ
1
r
1
−
1
r
2
¶
.
Отсюда можем определить постоянную
a
:
a
= ∆
ϕr
1
r
2
/
(
r
2
−
r
1
)
.
Сила тока:
I
=
Z
S
jdS
=
Z
S
λEdS
=
λE
·
4
πr
2
=
4
πλ
∆
ϕr
1
r
2
r
2
−
r
1
.
34
Сопротивление:
R
=
∆
ϕ
I
=
1
4
πλ
µ
1
r
1
−
1
r
2
¶
.
Задача 3.5.
Элемент Даниэля состоит из двух коаксиальных цилин-
дров – медного и цинкового, радиусов
a
и
b
и высотой
h
. Удельное со-
противление раствора медного купороса
R
. Каково внутреннее сопро-
тивление элемента
r
?
Ответ
:
r
=
R
2
πh
ln
µ
b
a
¶
.
Задача 3.6.
Показать, что на поверхности раздела двух проводников
с электропроводностями
λ
1
и
λ
2
линии тока испытывают преломление,
описываемое уравнением
tgα
1
/tgα
2
=
λ
1
/λ
2
, где
α
1
и
α
2
– углы между
линиями тока и нормалью к поверхности раздела.
Задача 3.7.
В проводящую среду погружена система электродов, под-
держиваемых при постоянных потенциалах
ϕ
i
. С каждого электрода сте-
кает ток
J
i
. Определить количество тепла
Q
, выделяющегося в среде
в 1 с.
Ответ
:
Q
=
X
i
ϕ
i
J
i
.
Задача 3.8.
Записать выражение для вектора электрической индукции
D
в диэлектрике с проницаемостью
²
вблизи поверхности проводника с
электропроводностью
λ
, заряженной с плотностью
σ
, если по проводнику
течет ток с плотностью
j
. Рассмотреть частные случаи: а) проводник без
тока,
j
= 0
, б) проводник без заряда,
σ
= 0
.
Ответ
:
D
=
²
λ
j
+ 4
πσ
n
,
где
n
−
единичный вектор нормали
к поверхности.
Магнитное поле токов
В расчетах вектора напряженности магнитного поля, создаваемого элек-
трическими токами в окружающем пространстве, можно использовать
три подхода:
1) принцип суперпозиции, основанный на векторном суммировании
вкладов
d
H
в напряженность магнитного поля от отдельных
эле-
ментов
тока,
Jd
l
, определяемых
законом Био – Савара
d
H
=
J
[
d
l
×
R
]
cR
3
,
(29)
35