ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 906
Скачиваний: 22
Решение уравнений Лапласа и Пуассона
При наличии симметрии в распределении заряда уравнения в частных
производных (5) и (17) могут быть решены путем разделения перемен-
ных и сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Последние в ряде случаев удается проинтегрировать в аналитическом
виде.
Задача 2.29.
Найти распределение потенциала электрического поля,
создаваемого шаром радиуса
R
, равномерно заряженным по объему пол-
ным зарядом
Q
.
Решение.
Потенциал рассматриваемого поля обладает сферической симметри-
ей, т. е.
ϕ
=
ϕ
(
r
)
, а потому уравнение Пуассона принимает вид:
1
r
2
d
dr
µ
r
2
dϕ
dr
¶
=
−
4
πρ,
где
ρ
=
Q/
(4
πR
3
/
3)
. Интегрированием находим:
1) внутри шара (
r < R
)
r
2
dϕ
1
dr
=
−
4
πρr
3
3
+
C
1
,
ϕ
1
=
−
4
πρ
3
r
2
2
−
C
1
r
+
C
2
;
из условия ограниченности потенциала при
r
= 0
следует, что С
1
= 0
и
ϕ
1
=
−
2
πρr
2
3
+
C
2
;
2) вне шара (
r > R
)
1
r
2
d
dr
µ
r
2
dϕ
2
dr
¶
= 0
,
ϕ
2
=
−
C
3
r
+
C
4
;
из условия
ϕ
¯
¯
r
=
∞
= 0
следует, что
C
4
= 0
.
Постоянные интегрирования
C
2
и
C
3
определяются граничными усло-
виями
ϕ
1
=
ϕ
2
и
E
2
n
−
E
1
n
= 4
πσ
при
r
=
R
. Так как поверхностная
плотность заряда в данной задаче равна нулю, а
E
n
=
−
∂ϕ
∂r
, то имеем:
½
−
2
πρR
2
/
3 +
C
2
=
−
C
3
/R,
−
4
πρR/
3 =
C
3
/R
2
,
откуда находим
C
3
=
−
Q
,
C
2
= 3
Q/
(2
R
)
.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
(
3
Q/
(2
R
)
−
(
Qr
2
)
/
(2
R
3
)
для
0
≤
r
≤
R
;
Q/r
для
r > R
.
26
Задача 2.30.
Найти потенциал электрического поля бесконечного ци-
линдра с зарядом
τ
на каждую единицу длины. Заряд распределен рав-
номерно по объему цилиндра.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
(
−
τ r
2
/R
2
для
0
≤
r
≤
R
;
−
τ
[1 + 2
ln
(
r/R
)]
для
r > R
.
Задача 2.31.
Найти распределение потенциала поля
ϕ
(
r
)
, создаваемо-
го шаровым слоем с внутренним радиусом
R
1
, внешним радиусом
R
2
,
заряженным с постоянной объемной плотностью
ρ
.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
2
πρ
(
R
2
2
−
R
2
1
)
для
0
≤
r
≤
R
1
;
2
πρ
[
R
2
2
−
r
2
/
3
−
2
R
3
1
/
(3
r
)]
для
R
1
< r
≤
R
2
;
4
πρ
(
R
3
2
−
R
3
1
)
/
(3
r
)
для
r > R
2
.
Задача 2.32.
Найти распределение потенциала поля
ϕ
(
r
)
, создаваемого
проводящей сферой радиуса
R
, заряженной равномерно с постоянной
поверхностной плотностью
σ
.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
(
4
πσR
для
0
≤
r
≤
R
;
4
πσR
2
/r
для
r > R
.
Задача 2.33.
Рассчитать собственную электрическую энергию
U
заря-
женного шара радиуса
R
, если заряд
Q
равномерно распределен а) по
поверхности шара, б) по объему шара.
Ответы:
а
)
U
п
.
=
Q
2
2
R
;
б
)
U
об
.
=
3
Q
2
5
R
.
Электростатика в диэлектриках
В присутствии нейтрального поляризующегося вещества – диэлектри-
ка – поле статических зарядов становится зависящим от электрических
свойств этого вещества. Разделение зарядов, составляющих атомы и мо-
лекулы диэлектрика, приводит к его поляризации. Наряду с вектором
напряженности электрического поля
E
появляется вектор поляризации
среды
P
. Оба вектора объединяются в новую характеристику поля –
вектор электрической индукции
D
=
E
+ 4
π
P
=
²
E
, где
²
– диэлектри-
ческая проницаемость вещества. В линейном приближении
P
=
α
E
, где
α
– поляризуемость изотропного диэлектрика, так что
²
= 1 + 4
πα
.
27
Уравнения электростатики в диэлектрике записываются в виде:
rot
E
= 0;
div
D
= 4
πρ.
(20)
В неоднородно поляризованном диэлектрике появляются связанные за-
ряды, объемная плотность которых определяется соотношением
div
P
=
−
ρ
связ
.
.
(21)
Соответствующие объемным уравнениям (20), (21) уравнения на поверх-
ности раздела двух сред, имеющей свободный
σ
или связанный
σ
связ
.
заряд, имеют вид:
E
1
τ
=
E
2
τ
;
D
2
n
−
D
1
n
= 4
πσ
;
P
1
n
−
P
2
n
=
σ
связ
.
.
(22)
При этом электростатический потенциал
ϕ
остается всюду непрерывной
функцией пространственных координат, а его связь с напряженностью
электрического поля подчиняется уравнению (16), как и для поля в ва-
кууме.
Задача 2.34.
В сферическом конденсаторе радиусы внутренней и внеш-
ней обкладок
R
1
и
R
2
. Диэлектрическая проницаемость всех непроводни-
ков
²
. Заряд внутренней сферы
q
, наружняя – заземлена. Найти напря-
женность и потенциал электрического поля во всех точках пространства.
Определить емкость конденсатора.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
q/²
(1
/R
1
−
1
/R
2
)
,
для
0
≤
r
≤
R
1
,
q/²
(1
/r
−
1
/R
2
)
,
для
R
1
< r
≤
R
2
,
0
,
для
r > R
2
;
C
=
²R
1
R
2
R
2
−
R
1
.
Задача 2.35.
В цилиндрическом конденсаторе радиусы внутренней и
внешней обкладок
R
1
и
R
2
. Диэлектрическая проницаемость всех непро-
водников
²
. Длина конденсатора
l
, заряд внутренней обкладки
q
. Прене-
брегая влиянием краевых эффектов, найти напряженность и потенциал
электрического поля во всех точках пространства. Определить емкость
конденсатора.
Решение.
div
D
= 4
πρ,
div
D
= div
ε
E
=
ε
div
E
=
−
ε
∇
2
ϕ,
∇
2
ϕ
=
−
4
πρ/ε.
28
Поле внутри цилиндрического конденсатора обладает аксиальной сим-
метрией, т.е.
ϕ
=
ϕ
(
r
)
, и поэтому в цилиндрических координатах урав-
нение Пуассона принимает вид
1
r
d
dr
µ
r
dϕ
dr
¶
=
−
4
πρ
ε
.
Отсюда находим, что
1) при
r < R
1
:
∇
2
ϕ
= 0
,
ϕ
1
=
C
1
ln
r
+
D
1
;
2) при
R
1
< r < R
2
:
∇
2
ϕ
= 0
,
ϕ
2
=
C
2
ln
r
+
D
2
;
3) при
r > R
2
:
∇
2
ϕ
= 0
,
ϕ
3
=
C
3
ln
r
+
D
3
.
Из требования конечности потенциала в нуле и на бесконечности опре-
деляем соответственно постоянные
C
1
= 0
и С
3
= 0
. Из условия
ϕ
∞
= 0
находим
D
3
= 0
. Остальные постоянные могут быть определены из тре-
бования непрерывности потенциала на границах
r
=
R
1
и
r
=
R
2
и
поверхностного уравнения
D
2
n
−
D
1
n
= 4
πσ
:
D
1
=
C
2
ln
R
1
+
D
2
C
2
ln
R
2
+
D
2
= 0
,
−
C
2
/R
1
= 4
πσ
1
/²,
где
σ
1
=
q/
(2
πR
1
l
)
. Решая эту систему уравнений, находим:
C
2
=
−
2
q
²l
,
D
1
=
2
q
²l
ln
R
2
R
1
,
D
2
=
−
2
q
²l
ln
R
2
.
В результате получаем:
ϕ
(
r
) =
2
q/
(
²l
)
ln
(
R
2
/R
1
)
для
0
≤
r
≤
R
1
,
2
q/
(
²l
)
ln
(
R
2
/r
)
для
R
1
< r
≤
R
2
,
0
для
r > R
2
.
Емкость конденсатора – отношение заряда конденсатора к разности по-
тенциалов его обкладок:
C
=
q
∆
ϕ
=
²l
2
ln
(
R
2
/R
1
)
.
Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора
равна
E
=
2
q
²lr
.
29
Задача 2.36.
Вычислить потенциал электрического поля и емкость плос-
кого конденсатора, расстояние между обкладками у которого
d
запол-
нено диэлектриком с проницаемостью
²
, площадь каждой обкладки
S
.
Заряд конденсатора
q
. Краевым эффектом пренебречь.
Ответ:
ϕ
(
x
) =
4
πqd/
(
²S
)
для
x
≤
0
,
4
πq
(
d
−
x
)
/
(
²S
)
для
0
< x
≤
d
,
0
для
x > d
;
C
=
²S
4
πd
.
Задача 2.37.
Левая часть пространства (
z <
0
) занята диэлектриком с
проницаемостью
²
1
, правая (
z
≥
0
) – диэлектриком с проницаемостью
²
2
.
Во второй среде на расстоянии
d
от плоской границы раздела двух сред
находится точечный заряд
q
. Определить поле в обоих диэлектриках и
поверхностную плотность связанного заряда на границе раздела двух
сред методом изображений. Рассмотреть случай
²
2
= 1
(правое полу-
пространство – вакуум). Сравнить искажение поля точечного заряда,
вызываемое диэлектриком
²
1
, с тем искажением, которое было бы, если
бы в левом полупространстве находился проводник. При каком условии
искажение поля точечного заряда диэлектриком будет таким же, как и
бесконечной проводящей стенкой?
Ответ:
ϕ
(
z, r
)=
2
q/
[(
²
1
+
²
2
)
p
r
2
+ (
z
−
d
)
2
]
для
z
≤
0
,
q
²
2
·
½
1
p
r
2
+(
z
−
d
)
2
−
²
1
−
²
2
(
²
1
+
²
2
)
p
r
2
+(
z
+
d
)
2
¾
для
z >
0
;
σ
связ
.
=
qd
(
²
2
−
²
1
)
2
π²
2
(
²
1
+
²
2
)(
d
2
+
r
2
)
3
/
2
.
При
²
2
= 1
случай бесконечной проводящей стенки соответствует
²
1
=
∞
.
Задача 2.38.
Шар радиуса
a
из диэлектрика с проницаемостью
²
(
i
)
по-
мещен в однородное поле напряженности
E
0
. Найти потенциал и напря-
женность поля внутри и вне шара. Рассмотреть частные случаи: 1) шар в
пустоте; 2) шаровая полость в диэлектрике. Найти вектор поляризации
шара и плотность связанного заряда
σ
связ
на его поверхности. Диэлек-
трическая проницаемость среды
²
(
e
)
.
Решение.
Вне шара на внешнее однородное поле накладывается поле, создавае-
мое незаряженным поляризованным шаром. Ввиду симметрии шара по-
тенциал последнего поля может зависеть лишь от расстояния от центра
30