ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 521
Скачиваний: 1
f
−
1
(
f
(
x
)) =
x
äëÿ âñåõ
x
∈
X
è
f
(
f
−
1
(
y
)) =
y
äëÿ âñåõ
y
∈
Y.
Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé îòîáðàæå-
íèÿ
f
áóäåò äëÿ
f
−
1
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, è íàîáîðîò, îá-
ëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ
f
áóäåò äëÿ
f
−
1
îáëàñòüþ
çíà÷åíèé.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ è íàõîæ-
äåíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè, êîãäà
X
è
Y
ïîäìíîæåñòâà â
R
.
 ýòîì ñëó÷àå ïðîâåðèòü âçàèìíóþ îäíîçíà÷íîñòü ôóíê-
öèè
f
íàì ïîìîæåò ãðàôèê ôóíêöèè.
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè.
Îïðåäåëåíèå 7. Ãðàôèêîì ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî òî÷åê íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ñîñòîÿ-
ùåå èç òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè
(
x, f
(
x
))
.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè èçîáðàæåíèè ãðàôèêà ôóíêöèè
ìû ðàñïîëàãàåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ìíîæå-
ñòâî
X
íà îñè àáñöèññ, à îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè
ìíîæåñòâî
Y
íà îñè îðäèíàò.
x
1
x
2
x
3
x
4
(x)
f
y
=
)
(x
f
)
(x
f
)
(x
f
3
2
1
=
=
y
x
Ðèñ. 7
×òîáû ïðîâåðèòü, çàäàåò ëè ôóíêöèÿ
f
:
X
⊂
R
→
Y
⊂
R
11
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ïðîâåäåì ÷åðåç êàæ-
äóþ òî÷êó ìíîæåñòâà
Y
, êîòîðîå ìû îòìåòèëè íà îñè
Oy
, ãîðèçîíòàëüíóþ ïðÿìóþ (ðèñ. 7). Åñëè êàæäàÿ òàêàÿ
ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè ðîâíî â îäíîé òî÷-
êå, òî ýòà ôóíêöèÿ çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ (åñëè
êàêàÿ-íèáóäü ïðÿìàÿ íå ïåðåñåêàåò ãðàôèê, òî íå âûïîë-
íåíî óñëîâèå (1), åñëè êàêàÿ-íèáóäü ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ãðà-
ôèê â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ, òî íå âûïîëíåíî óñëîâèå (2)).
Êàê íàðèñîâàòü ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè?
Åñëè ìû íàïèøåì
y
=
f
(
x
)
−
ôóíêöèÿ
,
x
=
f
−
1
(
y
)
−
îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ
,
òî ãðàôèê ïðÿìîé è îáðàòíîé ôóíêöèè ñîñòîèò èç îäíèõ
è òåõ æå òî÷åê
(
x, y
)
, ãäå
y
=
f
(
x
)
èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,
x
=
f
−
1
(
y
)
. Íî ìû ïðèâûêëè îáîçíà÷àòü àðãóìåíò ôóíê-
öèè áóêâîé
x
è îòêëàäûâàòü åãî íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïî-
ýòîìó áóäåì èçîáðàæàòü ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
−
1
(
x
)
. Äëÿ
x
y
(x)
f
y
=
(x)
f
y
1
-
=
Ðèñ. 8
ýòîãî çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
, ãäå
y
0
=
f
(
x
0
)
, ëå-
æèò íà ãðàôèêå ôóíêöèè
f
, òî òî÷êà
(
y
0
, x
0
)
,
x
0
=
f
−
1
(
y
0
)
,
12
ëåæèò íà ãðàôèêå ôóíêöèè
f
−
1
(ðèñ. 8). Òàêèì îáðàçîì,
ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùåå ïðàâèëî.
×òîáû ïîëó÷èòü ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
−
1
(
x
)
èç
ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, íàäî îòîáðàçèòü ãðàôèê
ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî áèñ-
ñåêòðèñû ïåðâîãî è òðåòüåãî êîîðäèíàòíîãî óãëà.
Ïðèìåð 3
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
y
=
x
2
êàê îòîáðàæåíèå èç
R
â
R
.
Èçîáðàçèì ãðàôèê ôóíêöèè ïàðàáîëó è ïðîâåäåì ãî-
ðèçîíòàëüíûå ïðÿìûå (ðèñ. 9).
x
y
Ðèñ. 9
Âèäèì, ÷òî ôóíêöèÿ
y
=
x
2
íå çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå, íàðóøåíû îáà óñëîâèÿ:
1) íàïðèìåð, äëÿ
y
=
−
1
íå ñóùåñòâóåò òàêîãî
x
, ÷òî
−
1 =
x
2
;
2) äëÿ
x
1
=
−
2
è
x
2
= 2
ïîëó÷àåì:
f
(
x
1
) =
x
2
1
= 4
è
f
(
x
2
) =
x
2
2
= 4
.
×òîáû ôóíêöèÿ
y
=
x
2
çàäàâàëà âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå, íóæíî ñóçèòü å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è ðàñ-
ñìîòðåòü îòîáðàæåíèå èç
[0
,
+
∞
)
â
[0
,
+
∞
)
.
13
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû âîçüìåì òîëüêî ÷àñòü ãðàôèêà, ëå-
æàùóþ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Òîãäà ôóíêöèÿ
y
=
x
2
çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îáðàòíàÿ ôóíê-
öèÿ áóäåò
y
=
√
x
, å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
[0
,
+
∞
)
(ðèñ. 10).
y
x
2
x
y
=
x
y
=
Ðèñ. 10
Ïðèìåð 4
Ðàññìîòðèì ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ
y
=
a
x
, ãäå
a
ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå îäíîìó èç íåðà-
âåíñòâ:
a >
1
èëè
0
< a <
1
. Ãðàôèêè ïîêàçàòåëüíîé ôóíê-
öèè äëÿ îáîèõ ñëó÷àåâ
a >
1
è
0
< a <
1
èçîáðàæåíû íà
ðèñ. 11.
Ïðîâîäÿ ãîðèçîíòàëüíûå ïðÿìûå ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó
ìíîæåñòâà
(0
,
+
∞
)
íà îñè
Oy
, ìû âèäèì, ÷òî ïîêàçàòåëü-
íàÿ ôóíêöèÿ çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç
R
íà
(0
,
+
∞
)
. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ.
Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé è îáî-
çíà÷àåòñÿ:
y
= log
a
x
. Ãðàôèêè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè
14
äëÿ îáîèõ ñëó÷àåâ
a >
1
è
0
< a <
1
òàêæå èçîáðàæåíû íà
ðèñ. 11.
x
l
og
y
a
=
x
l
og
y
a
=
x
y
a
=
x
y
a
=
1
>
a
1
0
<
<
a
x
y
x
y
Ðèñ. 11
4. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
y
= sin
x
, îíà îïðåäåëåíà íà âñåé âå-
ùåñòâåííîé îñè
(
−∞
,
+
∞
)
, èìååò îáëàñòü çíà÷åíèé
[
−
1
,
+1]
è íå çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ (ðèñ. 12).
-2
p
-3
p
/
2
-
p
-
p
/
2
p
/
2
p
3
p
/
2
2
p
y
= sin x
1
–1
Ðèñ. 12
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îòðåçîê
[
−
π/
2
, π/
2]
. Òîãäà ôóíêöèÿ
y
= sin
x
çàäàåò âçàèìíî îä-
íîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ýòîãî îòðåçêà íà îòðåçîê
[
−
1
,
+1]
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, îíà íàçû-
âàåòñÿ àðêñèíóñ è îáîçíà÷àåòñÿ
y
= arcsin
x.
15