ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 524
Скачиваний: 1
Çàïèøåì íåèçâåñòíîå
ω
òàêæå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôîðìå:
ω
=
ρ
(cos
θ
+
i
sin
θ
)
.
(17)
Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ìóàâðà (4), ïåðåïèøåì ðàâåí-
ñòâî
ω
n
=
z
â âèäå
ρ
n
(cos
nθ
+
i
sin
nθ
) =
r
(cos
ϕ
0
+
i
sin
ϕ
0
)
.
Ïîñêîëüêó àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí ñ òî÷-
íîñòüþ äî
2
πk
, òî îòñþäà èìååì
ρ
n
=
r, nθ
=
ϕ
0
+ 2
πk.
(18)
Ïîñêîëüêó
r
ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, òî èç
ïåðâîãî èç ñîîòíîøåíèé (18) ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî
ρ
=
n
√
r,
ãäå êîðåíü ïîíèìàåòñÿ â àðèôìåòè÷åñêîì ñìûñëå. Èç âòî-
ðîãî ðàâåíñòâà (18) íàõîäèì
θ
=
ϕ
0
+ 2
πk
n
,
ãäå
k
∈
Z
.
Áóäåì ïðèäàâàòü
k
ðàçëè÷íûå öåëûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì
êîðíè ñòåïåíè
n
èç ÷èñëà
z
:
ω
k
=
n
√
r
µ
cos
ϕ
0
+ 2
πk
n
+
i
sin
ϕ
0
+ 2
πk
n
¶
.
(19)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè
k
= 0
,
1
,
2
, ..., n
−
1
ìû ïîëó÷àåì ðàçëè÷-
íûå çíà÷åíèÿ êîðíÿ, à ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ
k
, ïîëîæè-
òåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ, â ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ñèíóñà è
êîñèíóñà, ïîëó÷àòñÿ çíà÷åíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ óæå íàéäåí-
íûìè. Íàïðèìåð,
ω
n
=
ω
0
, ïîñêîëüêó
51
ω
n
=
n
√
r
µ
cos
ϕ
0
+ 2
πn
n
+
i
sin
ϕ
0
n
+ 2
π
¶
=
=
n
√
r
³
cos(
ϕ
0
n
+ 2
π
) +
i
sin(
ϕ
0
n
+ 2
π
)
´
=
=
n
√
r
³
cos
ϕ
0
n
+
i
sin
ϕ
0
n
´
=
ω
0
,
àíàëîãè÷íî,
ω
n
+1
=
ω
1
è ò. ä.
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ðîâíî
n
ðàçëè÷íûõ êîðíåé
ñòåïåíè
n
èç ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
6
= 0
, ýòè êîðíè
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (19) ïðè
k
= 0
,
1
,
2
, ..., n
−
1
. Èç
÷èñëà
z
= 0
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êîðåíü
ω
= 0
.
Ôîðìóëó (19) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêñïîíåíöèàëüíîé
ôîðìå:
ω
k
=
n
√
re
ϕ
0+2
πk
n
.
Ïðèìåð 12
 êà÷åñòâå ïðèìåðà âû÷èñëèì êîðíè ñòåïåíè
n
èç ÷èñëà
z
= 1
, òî åñòü íàéäåì òàêèå ÷èñëà
ω
k
, ÷òî
ω
n
k
= 1
. Äëÿ ýòîãî
÷èñëî
z
= 1
ïðåäñòàâèì â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
1 = cos 0 +
i
sin 0
.
Ïîýòîìó äëÿ êîðíåé ñòåïåíè
n
èç åäèíèöû ïîëó÷àåì ôîð-
ìóëó:
ω
k
= cos
2
πk
n
+
i
sin
2
πk
n
,
k
= 0
,
1
,
2
, ..., n
−
1
.
Íàïðèìåð, êîðíÿìè ÷åòâåðòîé ñòåïåíè èç åäèíèöû áóäóò
êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ω
0
= cos 0 +
i
sin 0 = 1;
ω
1
= cos
2
π
4
+
i
sin
2
π
4
= cos
π
2
+
i
sin
π
2
=
i
;
ω
2
= cos
4
π
4
+
i
sin
4
π
4
= cos
π
+
i
sin
π
=
−
1;
ω
3
= cos
6
π
4
+
i
sin
6
π
4
= cos
3
π
2
+
i
sin
3
π
2
=
−
i.
52
Äâà êîðíÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè èç åäèíèöû âåùåñòâåííûå,
ýòî ÷èñëà
1
è
−
1
, äâà êîðíÿ ÷èñòî ìíèìûå, ýòî ÷èñëà
i
è
−
i
.
Êîðíè øåñòîé ñòåïåíè èç åäèíèöû òàêèå:
ω
0
= cos 0 +
i
sin 0 = 1;
ω
1
= cos
2
π
6
+
i
sin
2
π
6
= cos
π
3
+
i
sin
π
3
=
1
2
+
i
√
3
2
;
ω
2
= cos
4
π
6
+
i
sin
4
π
6
= cos
2
π
3
+
i
sin
2
π
3
=
−
1
2
+
i
√
3
2
;
ω
3
= cos
6
π
6
+
i
sin
6
π
6
= cos
π
+
i
sin
π
=
−
1;
ω
4
= cos
8
π
6
+
i
sin
8
π
6
= cos
4
π
3
+
i
sin
4
π
3
=
−
1
2
−
i
√
3
2
;
ω
5
= cos
10
π
6
+
i
sin
10
π
6
= cos
5
π
3
+
i
sin
5
π
3
=
1
2
−
i
√
3
2
.
Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êè
ω
0
, ω
1
, ..., ω
5
áóäóò âåðøèíàìè ïðà-
âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â åäèíè÷íóþ îêðóæ-
íîñòü, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî òî÷êà
(1; 0)
(ñì. ðèñ. 30).
Óïðàæíåíèå 10
1. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâà òî-
÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì:
1)
Re
z >
0;
2)
Im
z
≤
1;
3)
0
≤
Re
z
≤
1;
4)
|
Im
z
|
<
1;
5)
|
z
| ≤
3;
6)
|
z
+ 2
i
|
<
4;
7)
|
z
−
i
|
>
1;
8)
1
<
|
z
−
1
|
<
2;
9)
|
z
+
i
|
=
|
z
−
1
|
;
10)
|
z
−
i
|
<
1
,
arg
z
≥
π
4
.
2. Çàïèøèòå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå êîìïëåêñíûå
÷èñëà:
1)
i
;
2)
−
2;
53
3
π
6
2π
=
1
1
1
-
1
-
y
x
0
ω
1
ω
2
ω
3
ω
4
ω
5
ω
Ðèñ. 30
3)
−
1
2
+
i
√
3
2
;
4)
i
121
+ 1;
5)
(
−
3 + 4
i
)
3
;
6)
(1 +
i
)
8
(1
−
i
√
3)
6
.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ:
1)
z
2
=
−
i
;
2)
z
3
= 1;
3)
z
6
= 64;
4)
z
7
=
−
1;
5)
z
8
= 1 +
i
;
6)
z
2
= 3
−
4
i.
54
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.
Ìîäóëü âåùåñòâåííîãî ÷èñëà . . . . . . . . . .
4
2.
Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ. Ôóíêöèè . . . . . . .
7
3.
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå (ôóíêöèÿ).
Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . .
9
4.
Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè . . . 15
5.
Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.
Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ãðàôèêîâ . . . . . . . 30
7.
Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè . . . . . . . 31
8.
Áèíîì Íüþòîíà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ . . . . 34
9.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . 39
10. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ è ïîêàçàòåëüíàÿ ôîð-
ìû êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
. . . . . . . . . . . . 45
11. Äåéñòâèÿ ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â òðèãî-
íîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ôîðìóëû Ìóàâðà è
Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî
÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
55