ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 522
Скачиваний: 1
à âñå ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà
bi
òî÷êàìè, ëåæàùèìè íà ìíè-
ìîé îñè. ×èñëî íîëü èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé
O
.
Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ñóììû è ðàçíîñòè
äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óäîáíî êîìïëåêñíîìó ÷èñëó
z
=
a
+
ib
ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íå òî÷êó
M
(
a, b
)
, à åå ðàäèóñ-
âåêòîð
OM
. Òîãäà ñóììå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë áóäåò
îòâå÷àòü ñóììà ðàäèóñ-âåêòîðîâ, à ðàçíîñòè ðàçíîñòü
ðàäèóñ-âåêòîðîâ (ñì. ðèñ. 28 è ðèñ. 29).
0
1
z
2
z
2
1
z
z
+
x
y
Ðèñ. 28
0
2
z
2
z
-
1
z
2
1
z
z
-
y
x
Ðèñ. 29
Ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàâàòü åå ïî-
ëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè
r
,
ϕ
. Òåì ñàìûì è êîìïëåêñíîå
÷èñëî àôôèêñ òî÷êè òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì
r
è
ϕ
. Èç ðèñ.27 ÿñíî, ÷òî
r
=
OM
=
p
x
2
+
y
2
=
|
z
|
, òàêèì
îáðàçîì, ïîëÿðíûé ðàäèóñ òî÷êè, èçîáðàæàþùèé ÷èñëî
z
,
46
ðàâåí ìîäóëþ ýòîãî ÷èñëà.
Ïîëÿðíûé óãîë òî÷êè
M
íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì ÷èñ-
ëà
z
, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî
÷èñëà (êàê è ïîëÿðíûé óãîë òî÷êè) îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷-
íî; åñëè
ϕ
0
îäíî èç åãî çíà÷åíèé, òî âñå åãî çíà÷åíèÿ
âûðàæàþòñÿ ôîðìóëîé
ϕ
=
ϕ
0
+ 2
πk,
(
k
= 0
,
±
1
,
±
2
, ...
)
.
Âñå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà â ñîâîêóïíîñòè îáîçíà÷àþòñÿ ñèì-
âîëîì
Arg
z
. Èòàê, âñÿêîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó ìîæåò
áûòü ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-
ñåë: ìîäóëü è àðãóìåíò äàííîãî ÷èñëà, ïðè÷åì àðãóìåíò
îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî. È íàîáîðîò, åñëè çàäàíû ìî-
äóëü
|
z
|
=
r
è àðãóìåíò
ϕ
, òî èì îòâå÷àåò åäèíñòâåííîå
÷èñëî
z
, èìåþùåå äàííûå ìîäóëü è àðãóìåíò. Îñîáûìè
ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ÷èñëî íóëü: åãî ìîäóëü ðàâåí íóëþ,
àðãóìåíòó íå ïðèïèñûâàåòñÿ íèêàêîãî îïðåäåëåííîãî çíà-
÷åíèÿ.
Äëÿ äîñòèæåíèÿ îäíîçíà÷íîñòè â îïðåäåëåíèè àðãóìåí-
òà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ìîæíî óñëîâèòüñÿ îäíî èç çíà÷å-
íèé àðãóìåíòà íàçûâàòü ãëàâíûì. Åãî îáîçíà÷àþò ñèì-
âîëîì
arg
z
. Îáû÷íî, â êà÷åñòâå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ àð-
ãóìåíòà âûáèðàåòñÿ çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåí-
ñòâàì
−
π <
arg
z
≤
π
(â äðóãèõ ñëó÷àÿõ íåðàâåíñòâàìè
0
≤
arg
z <
2
π
).
Çàïèñü ÷èñëà
z
â âèäå
z
=
a
+
bi
íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷å-
ñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíè-
ìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, êàê äåêàðòîâû êîîðäèíàòû
òî÷êè, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç åãî ìîäóëü è àðãóìåíò ïî ôîð-
ìóëàì:
½
a
=
r
cos
ϕ,
b
=
r
sin
ϕ.
(9)
Ïîýòîìó êîìïëåêñíîå ÷èñëî
z
=
a
+
bi
ìîæåò áûòü çàïè-
ñàíî â ñëåäóþùåì âèäå:
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
.
(10)
47
Ôîðìóëó (10) ïðèíÿòî íàçûâàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîð-
ìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
.
Îáðàòíûé ïåðåõîä îò çàïèñè ÷èñëà â àëãåáðàè÷åñêîé
ôîðìå ê åãî çàïèñè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ñîâåð-
øàåòñÿ ïî ôîðìóëàì:
r
=
|
z
|
=
√
a
2
+
b
2
,
cos
ϕ
=
a
r
,
sin
ϕ
=
b
r
,
tg
ϕ
=
b
a
(
åñëè
a
6
= 0)
.
(11)
Ïðè îïðåäåëåíèè ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà (ìû ïîëà-
ãàåì, ÷òî
−
π < ϕ
= arg
z
≤
π
) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäó-
þùåé ôîðìóëîé:
arg
z
=
arctg
b
a
äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê I, IV ÷åòâåðòåé,
arctg
b
a
+
π
äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê II ÷åòâåðòè,
arctg
b
a
−
π
äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê III ÷åòâåðòè.
Îòäåëüíî çàïèøåì ôîðìóëû äëÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ
äåéñòâèòåëüíûõ è ÷èñòî ìíèìûõ ÷èñåë:
arg
a
=
½
0
,
åñëè
a >
0
,
π,
åñëè
a <
0;
arg
bi
=
π
2
,
åñëè
b >
0
,
3
π
2
,
åñëè
b <
0
.
11. Äåéñòâèÿ ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â
òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ôîðìóëû
Ìóàâðà è Ýéëåðà
Çàäàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå
óäîáíî ïðè âûïîëíåíèè íàä ÷èñëàìè äåéñòâèé óìíîæåíèÿ,
äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ.
48
Íàéäåì ïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàïèñàí-
íûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
z
1
=
r
1
(cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
, z
2
=
r
2
(cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
.
Ïîëó÷àåì
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[(cos
ϕ
1
cos
ϕ
2
−
sin
ϕ
1
sin
ϕ
2
)+
+
i
(sin
ϕ
1
cos
ϕ
2
+ sin
ϕ
1
cos
ϕ
2
)]
.
Âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ, ïðåäñòàâëÿþò ñî-
áîé, ñîîòâåòñòâåííî, êîñèíóñ è ñèíóñ ñóììû
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
. Òà-
êèì îáðàçîì,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(
ϕ
1
+
ϕ
2
) +
i
sin(
ϕ
1
+
ϕ
2
)]
.
(12)
Ìû ïîëó÷èëè ïðàâèëî: ïðè óìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ
÷èñåë, çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäó-
ëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.
Ýòî ïðàâèëî îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî êîëè÷åñòâà ñî-
ìíîæèòåëåé.  ÷àñòíîñòè, åñëè ìû âîçüìåì
n
îäèíàêîâûõ
ìíîæèòåëåé, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü:
z
n
= [
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)]
n
=
r
n
(cos
nϕ
+
i
sin
nϕ
)
.
(13)
Ðàâåíñòâî (13) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà. Èç íåãî
ñëåäóåò, ÷òî ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â ëþáóþ
íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü, åãî ìîäóëü íóæíî âîçâåñòè â ýòó
ñòåïåíü, à àðãóìåíò óìíîæèòü íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè.
Åñëè ÷èñëî
z
çàäàíî â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå
a
+
ib
, òî
äëÿ âîçâåäåíèÿ åãî â ñòåïåíü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ìóàâ-
ðà íàäî ïðåäâàðèòåëüíî çàïèñàòü
z
â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôîðìå.
Ïîñêîëüêó äåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå
óìíîæåíèþ, òî ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàäàííûõ
â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãó-
ìåíòû âû÷èòàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
i
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
)]
.
(14)
49
Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò:
e
iϕ
= cos
ϕ
+
i
sin
ϕ.
(15)
Ôîðìóëó (15) ïðèíÿòî íàçûâàòü ïîêàçàòåëüíîé (ýêñïî-
íåíöèàëüíîé) ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà èëè ôîðìóëîé
Ýéëåðà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà, ïðîèçâîëüíîå êîì-
ïëåêñíîå ÷èñëî
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
z
=
re
iϕ
,
à ôîðìóëû äëÿ óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü
ïðèîáðåòàþò ñîâñåì ïðîñòîé âèä:
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
,
z
n
=
r
n
e
inϕ
,
÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñî ñâîéñòâàìè ñòåïåíåé è ïîëíî-
ñòüþ îïðàâäûâàåò ïðèíÿòîå îáîçíà÷åíèå (15).
12. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî
÷èñëà
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ íàòóðàëüíîé ñòåïåíè
n
èç ïðîèçâîëüíîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
, ïðè ýòîì áóäåì
èñêàòü âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîðíÿ, äåéñòâèòåëüíûå è
êîìïëåêñíûå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è â îáùåì âèäå èñïîëü-
çóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
6
= 0
â òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
z
=
r
(cos
ϕ
0
+
i
sin
ϕ
0
)
.
(16)
Êîðíåì
n
-é ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
íàçû-
âàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî
ω
, óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâó
ω
n
=
z
, òî åñòü
n
√
z
=
ω
, åñëè
ω
n
=
z
.
50