Файл: Первые понятия мат анализа .pdf

Ðèñ. 4

Óïðàæíåíèå 1

Ðåøèòå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ãåîìåòðè÷åñêè:

1.

|

x

−

4

|

= 1

;

2.

|

x

+ 3

|

= 0

;

3.

|

x

−

2

|

=

−

1

;

4.

|

x

+ 3

|

<

7

;

5.

|

x

−

2

|

>

3

;

6.

|

x

−

4

| ≤

4

;

7.

|

x

−

5

| ≥

2

;

8.

|

x

|

<

3

;

9.

0

<

|

x

−

4

|

<

4

.

Îïðåäåëåíèå 2. Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè

a

íàçûâàåòñÿ èí-

òåðâàë

(

a

−

r, a

+

r

)

.

×èñëî

r

íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ýòîé îêðåñòíîñòè.

 ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ÷àñòî èñïîëüçóþò áóêâû ãðå-

÷åñêîãî àëôàâèòà. Áóêâó

ε

(ýïñèëîí) ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ

îáîçíà÷åíèÿ ðàäèóñà îêðåñòíîñòè. Ãîâîðÿò, ÷òî èíòåðâàë

(

a

−

ε, a

+

ε

)

 ýòî

ε

-îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

.

Îïðåäåëåíèå 3. Ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòüþ òî÷êè

a

íà-

çûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå äâóõ èíòåðâàëîâ

(

a

−

ε, a

)

∪

(

a, a

+

ε

)

.

Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî

|

x

−

a

|

< ε

çàäàåò

ε

-îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

, à äâîéíîå íåðàâåíñòâî

0

<

|

x

−

a

|

< ε

 ïðîêîëîòóþ

ε

-îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

. Ïîíÿòèÿ îêðåñòíîñòè

è ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè èãðàþò âàæíóþ ðîëü â òåîðèè

6

ïðåäåëîâ. Îòìåòèì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà

ε

 ðà-

äèóñà îêðåñòíîñòè  îêðåñòíîñòü òî÷êè ìîæåò îêàçàòüñÿ

êàê î÷åíü ìàëåíüêîé, òàê è î÷åíü áîëüøîé.
Óïðàæíåíèå 2

Çàïèøèòå â âèäå èíòåðâàëà èëè îáúåäèíåíèÿ èíòåðâà-

ëîâ, à òàêæå â âèäå íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëåì ñëåäóþùèå

ïðåäëîæåíèÿ:

1. îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

= 10

ðàäèóñà

3

;

2. îêðåñòíîñòü òî÷êè

d

=

−

3

ðàäèóñà

0

,

5

;

3. ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

= 1

ðàäèóñà

2

;

4. ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ ðàäèóñà

100

;

5. óêàæèòå õîòÿ áû îäíó îêðåñòíîñòü òî÷êè

a

=

√

2

, êî-

òîðàÿ öåëèêîì ëåæèò â îòðåçêå

[1

,

2]

;

6. óêàæèòå õîòÿ áû îäíó îêðåñòíîñòü ÷èñëà

π

, êîòîðàÿ

öåëèêîì ëåæèò â îòðåçêå

[3

,

4]

.

2. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ. Ôóíêöèè

Ïóñòü

X

è

Y

 ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 4. Îòîáðàæåíèåì èç ìíîæåñòâà

X

â ìíî-

æåñòâî

Y

íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî èëè çàêîí, ïî êîòîðîìó

êàæäîìó ýëåìåíòó

x

ìíîæåñòâà

X

ñòàâèòñÿ â ñîîòâåò-

ñòâèå îäèí îïðåäåëåííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà

Y

.

 ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ ÷àñòî

íàçûâàþò òî÷êàìè.

Òîò ôàêò, ÷òî îòîáðàæåíèå

f

òî÷êå

x

∈

X

ñòàâèò â ñî-

îòâåòñòâèå òî÷êó

y

∈

Y

çàïèñûâàþò òàê:

y

=

f

(

x

)

.

(1)

7

Îäíàêî â ýòîé çàïèñè íå ïðèñóòñòâóåò ìíîæåñòâî

X

, íà

êîòîðîì çàäàíî îòîáðàæåíèå

f

, è ìíîæåñòâî

Y

, â êîòîðîå

äåéñòâóåò îòîáðàæåíèå

f

. Ïîýòîìó íàðÿäó ñ (1) èñïîëüçó-

þò òàêæå îáîçíà÷åíèÿ:

f

:

X

→

Y

èëè

X

f

→

Y,

â îáîèõ îáîçíà÷åíèÿõ ÿâíî ïðèñóòñòâóåò èìÿ ñàìîãî îòîá-

ðàæåíèÿ 

f

, ìíîæåñòâî

X

, ¾îòêóäà¿ äåéñòâóåò îòîáðàæå-

íèå, è ìíîæåñòâî

Y

, ¾êóäà¿ äåéñòâóåò îòîáðàæåíèå.

Êðîìå òîãî, èíîãäà óäîáíî èçîáðàæàòü óñëîâíóþ êàð-

òèíêó (ðèñ. 5).

X

Y

f

f(x)=y

.

x

.

Ðèñ. 5

Ìíîæåñòâî

X

íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîá-

ðàæåíèÿ

f

:

X

→

Y

. Îáëàñòüþ çíà÷åíèé

f

íàçûâàåòñÿ

ïîäìíîæåñòâî â

Y

, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òàêèõ

y

∈

Y

, ÷òî

y

=

f

(

x

)

äëÿ íåêîòîðîãî

x

∈

X

.

 ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, êàê ïðàâèëî, ìíîæåñòâà

X

è

Y

 ýòî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë,

÷àùå âñåãî èíòåðâàëû, îòðåçêè è ò. ä. Â ýòîì ñëó÷àå îòîá-

ðàæåíèå íàçûâàþò ôóíêöèåé.

Ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìíî-

æåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è åãî íàèáîëåå âàæíûõ ïîä-

ìíîæåñòâ:

R

 ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë;

Q

 ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;

Z

 ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë;

N

 ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;

8

[

a, b

]

 îòðåçîê, ò. å. ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

x

,

óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

a

≤

x

≤

b

;

(

a, b

]

 ìíîæåñòâî

x

, òàêèõ ÷òî

a < x

≤

b

;

[

a, b

)

 ìíîæå-

ñòâî

x

, òàêèõ ÷òî

a

≤

x < b

,  ïîëóèíòåðâàëû;

(

a, b

)

 èíòåðâàë

a < x < b

 ìíîæåñòâî

x

, òàêèõ ÷òî

a < x < b

;

ëó÷è:

[

a,

+

∞

) =

{

x

:

x

≥

a

}

;

(

a,

+

∞

) =

{

x

:

x > a

}

;

(

−∞

, b

] =

{

x

:

x

≤

b

}

;

(

−∞

, b

) =

{

x

:

x < b

}

;

(

−∞

,

+

∞

) =

R

.

3. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå (ôóíêöèÿ).

Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 5. Ïóñòü

f

:

X

→

Y

. Îáðàòíûì îòîáðà-

æåíèåì (ôóíêöèåé) ê

f

íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå

(ôóíêöèÿ)

g

:

Y

→

X

, ÷òî

g

(

f

(

x

)) =

x

äëÿ âñåõ

x

∈

X

è

f

(

g

(

y

)) =

y

äëÿ âñåõ

y

∈

Y.

Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîå ðàâåíñòâî â ïðåäûäóùåì îïðåäå-

ëåíèè îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ìû âçÿëè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó

x

âî ìíîæåñòâå

X

è ïåðåâåëè åå ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèÿ

f

â òî÷êó

y

=

f

(

x

)

ìíîæåñòâà

Y

, òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå

g

äîëæíî âåðíóòü òî÷êó

y

=

f

(

x

)

íàçàä â òî÷êó

x

(ðèñ. 6).

Âòîðîå ðàâåíñòâî, ïî ñóòè, îçíà÷àåò òî æå ñàìîå, òîëüêî òå-

ïåðü ìû ñòàðòóåì èç ìíîæåñòâà

Y

: áåðåì

y

∈

Y

, ïåðåâîäèì

ñ ïîìîùüþ

g

â

x

=

g

(

y

)

∈

X

, çàòåì íà òî÷êó

x

äåéñòâóåì

îòîáðàæåíèåì

f

, êîòîðîå âîçâðàùàåò

x

=

g

(

y

)

â òî÷êó

y

.

Âûÿñíèì, ó âñÿêîãî ëè îòîáðàæåíèÿ

f

:

X

→

Y

ñóùå-

ñòâóåò îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. ßñíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû

9

Ðèñ. 6

ñóùåñòâîâàëî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå, äîëæíû âûïîëíÿòü-

ñÿ äâà óñëîâèÿ:

1. äëÿ ëþáîãî

y

∈

Y

äîëæíî íàéòèñü òàêîå

x

∈

X

, ÷òî

y

=

f

(

x

)

;

2. åñëè

f

(

x

1

) =

f

(

x

2

)

, òî

x

1

=

x

2

(äðóãèìè ñëîâàìè, òî

x

,

êîòîðîå íàøëîñü äëÿ

y

â ñèëó ïóíêòà 1 äîëæíî áûòü

ðîâíî îäíî).

Îòîáðàæåíèå

f

:

X

→

Y

, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëî-

âèþ 1 íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûì; îòîáðàæåíèå, êîòîðîå

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 2 íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíûì; îòîá-

ðàæåíèå, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò îáîèì óñëîâèÿì íàçûâàåò-

ñÿ áèåêòèâíûì èëè âçàèìíî îäíîçíà÷íûì.

Òàêèì îáðàçîì, îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò òîãäà

è òîëüêî òîãäà, êîãäà

f

:

X

→

Y

 âçàèìíî îäíîçíà÷íîå

îòîáðàæåíèå.

Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì

f

−

1

:

Y

→

X

.

Âíèìàíèå: íå ïóòàéòå

f

−

1

è

1

f

, ýòî ðàçíûå ôóíêöèè.

Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðè-

íèìàåò ñëåäóþùèé âèä.
Îïðåäåëåíèå 6. Îòîáðàæåíèå

f

−

1

:

Y

→

X

íàçûâàåòñÿ

îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ

f

:

X

→

Y

, åñëè âûïîëíÿþòñÿ

äâà óñëîâèÿ:

10