ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1406
Скачиваний: 4
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
2
Численная
реализация
.
Для
дискретизации
уравнений
движения
дисперсионной
среды
используем
метод
конечных
разностей
на
прямоугольной
сетке
с
шахматным
расположением
узлов
(
сетка
МАС
-
типа
) –
давление
вычисляем
в
центрах
ячеек
,
а
составляющие
скорости
на
их
гранях
.
При
этом
строим
разностную
сетку
так
,
чтобы
граница
расчетной
области
проходила
через
точки
,
в
которых
вычисляется
нормальная
составляющая
скорости
,
а
для
задания
узловых
значений
касательной
составляющей
скорости
используем
линейную
интерполяцию
[9].
В
центрах
ячеек
вычисляем
также
и
потенциал
электрического
поля
.
На
разнесенной
сетке
поле
скоростей
и
давления
аппроксимируется
со
вторым
порядком
точности
с
использованием
значений
составляющих
скорости
и
значений
давления
в
соседних
точках
.
Такая
сетка
,
как
замечено
в
[10],
позволяет
связать
значения
скорости
и
давления
в
соседних
узлах
и
избежать
появления
осцилляций
в
решении
,
которые
возникают
при
использовании
центральных
разностей
на
неразнесенной
сетке
.
Для
интегрирования
по
времени
уравнений
движения
жидкой
дисперсионной
среды
используем
схему
типа
«
предиктор
-
корректор
».
На
первом
этапе
считаем
,
что
перенос
количества
движения
в
жидкости
осуществляется
за
счет
конвекции
,
диффузии
,
а
также
увлечения
жидкости
движущимися
частицами
твердой
дисперсной
фазы
и
определим
промежуточное
поле
скоростей
u
~
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
g
dwdr
f
w
u
r
u
u
u
t
u
u
r w
n
n
n
n
x
n
n
=
−
πν
+
∆
ν
−
∇
+
∆
−
∫∫
6
,
~
,
которое
сохраняет
во
внутренних
точках
вихревые
характеристики
,
но
не
удовлетворяет
условию
неразрывности
.
Будем
использовать
явную
схему
Адамса
-
Башфорта
второго
порядка
точности
.
Хотя
эта
схема
имеет
нестандартное
начало
счета
и
определенные
сложности
при
необходимости
изменить
шаг
в
процессе
счета
,
но
обладает
лучшей
устойчивостью
по
сравнению
,
например
,
с
методами
Рунге
-
Кутта
и
,
что
важно
,
отличается
меньшей
трудоемкостью
вычислений
[11, 12].
Дискретизация
уравнения
изменения
количества
движения
дисперсионной
среды
проводим
так
,
чтобы
разностные
операторы
наследовали
основные
свойства
исходных
дифференциальных
операторов
.
Для
обеспечения
свойства
транспортивности
и
консервативности
при
дискретизации
конвективных
членов
используем
схему
с
разностями
против
потока
,
направление
которого
определяется
средними
значениями
скоростей
на
границах
ячейки
[10, 11].
Для
дискретизации
диффузных
потоков
используем
обычную
схему
с
центральными
разностями
[10],
а
интегральный
член
в
уравнении
движения
,
учитывающий
влияние
частиц
на
жидкость
,
заменим
соответствующей
интегральной
суммой
.
Далее
предполагаем
,
что
перенос
количества
движения
осуществляется
за
счет
градиента
давления
,
и
определяем
новое
поле
скоростей
дисперсионной
среды
(
)
1
+
n
u
(
)
f
n
p
t
u
u
ρ
∇
−
=
∆
−
+
~
~
1
.
Так
как
вектор
скорости
(
)
1
+
n
u
должен
быть
соленоидальным
,
то
из
уравнения
изменения
количества
движения
для
давления
получим
уравнение
Пуассона
8’2012
145
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
t
u
p
f
∆
∇
ρ
=
∆
~
~
.
Однако
граничные
условия
для
давления
отсутствуют
в
физической
постановке
задачи
,
поэтому
для
их
задания
используем
уравнение
изменения
количества
движения
в
проекции
на
нормаль
к
границе
расчетной
области
[9].
Для
дискретизации
оператора
Лапласа
используем
обычные
схемы
с
центральными
разностями
,
а
решение
проводим
итерационным
методом
последовательной
верхней
релаксации
.
При
этом
нужно
,
иметь
в
виду
,
что
для
сходимости
итераций
градиентные
условия
должны
быть
непосредственно
подставлены
в
разностную
схему
при
расчете
внутренних
точек
,
смежных
с
граничными
[10].
И
,
разумеется
,
необходимо
согласование
градиента
давления
на
границе
с
источниковым
членом
в
уравнении
Пуассона
,
т
.
е
.
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
∂
ω
∇
∆
ρ
=
ω
∆
=
∂
∂
d
u
t
pd
ds
n
p
f
~
,
так
как
невыполнение
этого
условия
(
из
-
за
ошибок
аппроксимации
)
приводит
к
расходимости
или
к
сильному
замедлению
сходимости
итераций
[10].
Потенциал
электрического
поля
,
создаваемого
частицами
дисперсной
фазы
,
определяем
из
уравнения
Пуассона
(
)
( )
∫∫
−
=
ϕ
∆
+
r w
n
n
dwdr
rf
q
1
.
Для
дискретизации
оператора
Лапласа
используем
обычную
схему
с
центральними
разностями
,
а
интеграл
в
правой
части
заменяем
соответствующей
интегральной
суммой
.
Так
как
источники
зарядов
сосредоточены
в
ограниченной
области
Ω
,
то
находить
решение
во
всем
пространстве
нет
необходимости
.
Это
позволяет
заменить
исходную
задачу
задачей
во
вспомогательной
области
,
содержащей
Ω
,
на
границе
которой
поставлены
искусственные
граничные
условия
,
выбираемые
так
,
чтобы
решение
задачи
в
области
Ω
было
близко
к
решению
исходной
задачи
.
Уравнение
Фоккера
-
Планка
описывает
эволюцию
во
времени
плотности
распределения
в
фазовом
пространстве
частиц
твердой
дисперсной
фазы
в
вязкой
дисперсионной
среде
(
объемная
плотность
частиц
при
этом
предполагается
незначительной
,
так
что
их
столкновениями
можно
пренебречь
).
Для
его
решения
формируем
в
соответствии
с
начальным
значением
функции
распределения
ансамбль
модельных
частиц
,
имеющих
индивидуальные
радиусы
,
координаты
и
скорости
(
выбор
числа
модельных
частиц
зависит
от
решаемой
задачи
и
должен
быть
достаточным
для
расчета
значений
функции
распределения
с
допустимой
погрешностью
).
Эти
частицы
перемещаются
в
соответствии
со
своими
скоростями
и
действующими
на
них
силами
(
)
( )
( )
n
s
n
s
n
s
w
t
x
x
=
∆
−
+
1
;
(
)
( )
(
) ( )
( )
( )
[
]
(
) ( )
( )
{
}
i
n
i
s
n
x
n
i
s
n
i
s
n
i
s
p
n
i
s
n
i
s
g
x
w
x
u
r
t
w
w
ξ
+
+
ϕ
∇
−
−
πν
πρ
=
∆
−
+
+
+
,
1
,
,
1
2
,
,
1
,
6
4
3
,
8’2012
146
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
где
–
радиус
i
-
ой
частицы
(
i
= 1, 2, …,
N
i
s
r
,
s
);
i
s
x
,
–
ее
координаты
;
i
s
w
,
–
скорости
;
i
ξ
–
N
s
независимых
винеровских
процессов
(
t
D
∆
⋅
=
σ
2
).
Если
частица
достигла
границы
расчетной
области
,
то
в
зависимости
от
граничного
условия
,
она
должна
быть
исключена
из
дальнейшего
рассмотрения
или
продолжить
движение
после
зеркального
или
диффузного
отражения
.
При
этом
если
частицы
не
вносятся
потоком
в
расчетную
область
,
то
,
естественно
,
их
количество
в
расчетной
области
со
временем
будет
уменьшаться
.
Однако
ситуация
меняется
,
если
поток
вносит
частицы
в
расчетную
область
.
Для
моделирования
этого
процесса
необходимо
по
мере
того
,
как
те
или
иные
модельные
частицы
покидают
соответствующие
приграничные
ячейки
сетки
,
вводить
в
рассмотрение
новые
частицы
.
Их
количество
в
расчетной
области
при
этом
может
,
со
временем
недопустимо
возрасти
,
тогда
из
рассмотрения
приходится
исключать
частицы
,
переместившиеся
в
потоке
на
наибольшее
расстояние
(
из
-
за
чего
некоторая
часть
расчетной
области
может
остаться
без
рассмотрения
).
Для
вычисления
функции
распределения
разбиваем
фазовое
пространство
на
ячейки
.
Это
не
представляет
сложности
,
так
как
после
проведения
расчетов
диапазон
скоростей
частиц
известен
,
а
дискретизация
пространства
координат
уже
задана
.
Заметим
,
что
в
большинстве
случаев
интерес
представляет
только
плотность
распределения
частиц
,
радиусы
которых
лежат
в
заданном
диапазоне
,
в
той
или
иной
зоне
расчетной
области
.
Значения
сеточной
аппроксимации
этой
функции
распределения
определяются
как
отношение
числа
модельных
частиц
,
находящихся
в
соответствующей
ячейке
расчетной
области
(
т
.
е
.
учитываются
частицы
с
любыми
скоростями
),
к
суммарному
числу
модельных
частиц
.
3
Вычислительный
эксперимент
.
В
[6]
рассмотрена
задача
о
течении
вязкой
несжимаемой
жидкости
,
содержащей
множество
,
оседающих
под
действием
силы
тяжести
разнородных
частиц
,
в
канале
с
уступом
(
аналогичная
задача
для
чистой
жидкости
относится
к
классическим
[13]).
Наличие
уступа
,
как
известно
,
приводит
к
возникновению
за
ним
зоны
вихревого
движения
жидкости
.
На
рис
. 1
показаны
рассчитанные
в
[6]
типичные
линии
тока
чистой
жидкости
в
канале
с
уступом
при
Re
≈
1.
Оседающие
частицы
,
увлекают
жидкость
,
что
изменяет
картину
линий
тока
–
они
«
прижимаются
»
ко
дну
канала
и
зона
вихревого
движения
уменьшается
.
На
рис
. 2
показаны
типичные
линии
тока
суспензии
металлической
пыли
с
частицами
диаметрами
0,1–1
мм
в
вязком
масле
при
объемной
концентрации
частиц
на
входе
в
канал
10 %.
Рис
. 1.
Линии
тока
чистой
жидкости
Рис
. 2.
Линии
тока
жидкости
,
несущей
частицы
Таким
образом
,
наличие
уступа
может
существенно
изменить
распределение
выпавших
на
дно
частиц
по
длине
канала
–
за
уступом
возникает
«
тень
»,
где
на
дне
осевших
частиц
,
особенно
крупных
,
будет
немного
.
С
другой
стороны
,
вихревое
8’2012
147
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
движение
жидкости
за
уступом
приведет
к
тому
,
что
легкие
частицы
будут
увлекаться
противотоком
и
перемещаться
к
краю
уступа
,
а
более
крупные
в
той
или
иной
мере
теряют
горизонтальную
составляющую
скорости
и
оседают
почти
вертикально
(
на
рис
. 3, 4
показаны
типичные
траектории
оседания
крупных
и
мелких
частиц
).
Рис
. 3.
Траектории
оседания
крупных
частиц
Рис
. 4.
Траектории
оседания
мелких
частиц
Если
частицы
несут
электрический
заряд
,
то
на
них
дополнительно
действуют
Кулоновские
силы
,
частицы
отталкиваются
друг
от
друга
и
область
их
оседания
расширяется
–
крупных
в
меньшей
мере
,
мелких
в
значительно
большей
.
При
этом
сразу
после
уступа
крупные
частицы
,
опускающиеся
быстрее
под
действием
силы
тяжести
,
оказываются
ниже
мелких
и
из
-
за
наличия
электрических
сил
,
отталкивающих
частицы
друг
от
друга
,
оседание
мелких
частиц
замедляется
.
Это
приводит
к
дополнительному
сносу
мелких
частиц
вдоль
канала
и
соответствующему
смещению
области
их
оседания
рис
. 5, 6.
Рис
. 5.
Траектории
оседания
крупных
заряженных
частиц
Рис
. 6.
Траектории
оседания
мелких
заряженных
частиц
Заметим
,
что
,
приведенные
выше
описания
моделируемых
процессов
носят
чисто
качественный
,
иллюстративный
характер
–
их
реальное
протекание
существенно
зависит
от
диаметров
частиц
,
их
масс
,
концентрации
в
потоке
,
скорости
и
вязкости
среды
и
т
.
п
.
Заключение
.
Предложен
метод
численного
решения
системы
уравнений
Навье
-
Стокса
-
Пуассона
-
Фоккера
-
Планка
,
описывающей
нестационарное
течение
дисперсной
системы
с
вязкой
дисперсионной
средой
и
твердой
сильно
неоднородной
дисперсной
фазой
,
несущей
электрический
заряд
под
действием
гравитационного
и
электростатического
полей
.
Метод
основан
на
схеме
расщепления
по
физическим
факторам
и
использовании
конечных
разностей
на
прямоугольной
сетке
с
шахматным
расположением
узлов
для
дискретизации
уравнений
Навье
-
Стокса
и
моделировании
процесса
движения
частиц
методом
Монте
-
Карло
.
Выполнено
моделирование
процесса
оседания
сильно
разнородных
заряженных
частиц
,
вносимых
потоком
вязкой
жидкости
в
канал
с
уступом
.
Полученные
результаты
позволяют
количественно
описать
известные
,
наблюдаемые
в
экспериментах
,
эффекты
,
подтверждают
работоспособность
алгоритма
и
дают
основание
рассчитывать
на
8’2012
148
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
моделирование
достаточно
сложных
технологических
процессов
,
в
частности
,
процесса
электроклассификации
нанодисперсных
частиц
.
Список
литературы
: 1
.
Криогенная
технология
производства
ультрадисперсных
композиционных
добавок
к
смазочным
материалам
[
Текст
] /
О
.
В
.
Кравченко
,
И
.
Г
.
Суворова
,
В
.
И
.
Момот
,
Д
.
А
.
Велигоцкий
//
Восточно
-
Европейский
журнал
передовых
технологий
.
Современные
технологии
в
газотурбостроении
.
−
2010. –
Ч
.
І
, 3/2 (45).
−
С
. 55-59.
2
.
Кравченко
,
О
.
В
.
Энергетические
и
экологические
аспекты
использования
фенольних
сточных
вод
в
качестве
водоугольных
топлив
[
Текст
] /
О
.
В
.
Кравченко
,
Е
.
Ю
.
Андриенко
//
Экология
и
промышленность
. – 2011. –
№
3. –
С
. 67-71.
3.
Caflisch, R.
Dynamic theory
of suspensions with Brownian effects [Text] / R. Caflisch, G.C. Papanicolau // SIAM J. Appl. Math.
−
1983. –
43 (4).
−
P. 885-906.
4
.
Williams, F.A.
Combustion Theory: The Fundamental Theory of Chemically Reacting
Flow Systems – 2nd ed. [Text] / F.A. Williams. – Menlo Park, CA: Benjamin / Cummings Publishing, 1985. –
699 p.
5
.
Анощенко
,
О
.
Глобальные
слабые
решения
системы
Навье
-
Стокса
-
Власова
-
Пуассона
[
Текст
] /
О
.
Анощенко
,
Е
.
Хруслов
,
Х
.
Стефан
//
Журн
.
матем
.
физ
.,
анал
.,
геом
. – 2010. –
С
. 143-182.
6
.
Фенченко
,
В
.
Н
.
Моделирование
нестационарных
течений
взвеси
мелких
твердых
частиц
в
вязкой
несжимаемой
жидкости
[
Текст
] /
В
.
Н
.
Фенченко
//
Фізико
-
математичне
моделювання
та
інформаційні
технології
.
−
2010. –
Вип
. 11. –
С
. 189-199.
7.
Hamdache, K.
Global Existence and Large Time Behaviour for
the Vlasov-Stokes Equations [Text] / K. Hamdache // Japan J. Indust. Appl. Math., 15. – 1998.
−
P. 51-74.
8
.
Anoschenko, O.
Global existence of a generalized solution of a system of equations of motion of a suspension
[Text] / O. Anoschenko // Dynamical systems and complex analysis.
−
Kiev.
−
1992. –
С
. 112-119.
9
.
Волков
,
К
.
Н
.
Реализация
схемы
расщепления
на
разнесенной
сетке
для
расчета
нестационарных
течений
вязкой
несжимаемой
жидкости
[
Текст
] /
К
.
Н
.
Волков
//
Вычислительные
методы
и
программирование
. – 2005. –
Т
. 6.
−
С
. 269-281.
10
.
Роуч
,
А
.
Вычислительная
гидродинамика
[
Текст
] /
А
.
Роуч
. –
М
.:
Мир
. – 1980.
−
616
с
.
11
.
Андерсон
,
Д
.
Вычислительная
гидродинамика
и
теплообмен
.
Т
. 2.
[
Текст
] /
Д
.
Андерсон
. –
М
.:
Мир
, 1990. – 392
с
.
12
.
Ортега
,
Дж
.
Введение
в
численные
методы
решения
дифференциальных
уравнений
[
Текст
] /
Дж
.
Ортега
,
У
.
Пул
. –
М
.:
Наука
.
−
1986.
−
288
с
.
13
.
Лаврентьев
,
М
.
А
.
Проблемы
гидродинамики
и
их
математические
модели
[
Текст
] /
М
.
А
.
Лаврентьев
,
Б
.
В
.
Шабат
. –
М
.:
Наука
, 1977. – 407
с
.
©
Фенченко
В
.
Н
.,
Кравченко
О
.
В
.,
Момот
В
.
И
., 2012
Поступила
в
редколлегию
23.02.12
8’2012
149