ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1400
Скачиваний: 4
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
Інтенсифікація
енергетичних
і
технологічних
процесів
,
пов
’
язана
з
підвищенням
теплонапруженості
багатошарових
елементів
конструкцій
,
працюючих
часто
на
граничних
температурних
режимах
,
пред
’
являє
особливо
жорсткі
вимоги
до
повноти
і
точності
результатів
досліджень
теплообміну
.
Тому
розрахунок
теплового
і
теплонапруженого
стану
багатошарової
конструкції
вимагає
більш
строгої
постановки
задачі
,
а
також
підвищеної
точності
завдання
граничних
умов
і
інших
параметрів
тепло
-
і
масопереносу
.
Граничні
умови
можна
,
наприклад
,
визначити
експериментально
в
результаті
натурних
випробувань
(
чи
на
фізичних
моделях
)
або
розрахунковим
шляхом
за
емпіричними
формулами
,
що
є
узагальненням
експериментальних
даних
.
У
ряді
випадків
єдиним
шляхом
визначення
граничних
умов
є
розв
’
язання
обернених
задач
теплопровідності
[1–4].
Розв
’
язок
задач
нестаціонарної
теплопровідності
з
урахуванням
названих
чинників
нині
можливо
чисельними
,
чисельно
-
аналітичними
методами
.
Переваги
і
недоліки
кожного
з
цих
підходів
викладені
в
[3–8].
Застосування
чисельних
методів
може
виявитися
плідним
,
наприклад
,
після
попереднього
аналітичного
розв
’
язку
відповідної
задачі
.
Коли
розв
’
язок
вже
отриманий
у
вигляді
рядів
,
певних
інтегралів
і
т
.
д
.,
то
чисельне
підсумовування
рядів
,
обчислення
інтегралів
є
для
сучасної
ЕОМ
досить
простим
завданням
,
тоді
як
при
чисельному
розв
’
язку
початкової
(
часто
нелінійною
)
системи
диференціальних
рівнянь
в
часткових
похідних
виникають
певні
труднощі
.
Трудомісткість
і
тривалість
експериментального
підбору
необхідних
композицій
матеріалів
,
що
задовольняють
вимогам
надійності
і
економічності
,
ставлять
питання
про
аналітичний
розрахунок
їх
температурного
режиму
.
Аналітичний
метод
,
на
відміну
від
найбільш
розвинених
нині
чисельних
методів
,
дозволяє
представити
розв
’
язок
в
кінцевому
вигляді
і
надає
можливість
варіювати
теплофізичними
і
геометричними
параметрами
для
детального
аналізу
температурних
полів
.
Використання
чисельних
методів
вимагає
великих
витрат
часу
розрахунку
на
ЕОМ
при
проведенні
варіантних
розрахунків
,
необхідних
для
вибору
оптимальних
параметрів
цих
елементів
.
Цей
недолік
відсутній
при
застосуванні
аналітичного
розв
’
язку
задачі
.
Тому
доцільною
є
розробка
алгоритмів
,
заснованих
на
наближених
аналітичних
розв
’
язках
задачі
теплопровідності
.
Нині
в
розробці
теорії
і
методів
розв
’
язку
некоректних
обернених
задач
посилився
вплив
статистичного
підходу
[2, 4].
У
роботах
цього
напряму
конструюються
алгоритми
розв
’
язку
різних
класів
задач
при
деяких
припущеннях
про
похибки
в
початкових
даних
і
про
імовірнісні
властивості
шуканих
розв
’
язків
.
Основна
ідея
пропонованого
методу
розв
’
язку
обернених
задач
теплопровідності
полягає
в
тому
,
що
відому
з
експерименту
температуру
,
а
також
граничні
умови
,
що
визначаються
,
апроксимуємо
по
методу
найменших
квадратів
поліномами
Чебишева
,
тим
самим
вирівнюючи
помилку
в
завданні
і
визначенні
цих
функцій
,
отримуємо
кращу
в
сенсі
критерію
найменших
квадратів
відповідність
до
відповідної
дійсності
значенням
.
Поліноми
Чебишева
значно
спрощують
обчислення
,
а
головне
,
дають
високу
точність
визначення
апроксимуючого
полінома
,
тоді
як
система
Гауса
погано
обумовлена
і
при
її
розв
’
язку
зникають
знаки
.
Пропонований
метод
використовує
статистику
похибок
експериментальної
температури
і
статистики
похибок
визначуваних
граничних
умов
,
тобто
є
статистичним
у
своїй
основі
.
Відомо
,
що
ортогональні
поліноми
Чебишева
не
лише
не
вносять
похибки
апроксимації
,
але
і
,
при
відповідному
виборі
міри
полінома
,
вирівнюють
похибки
апроксимуючої
функції
.
За
допомогою
поліномів
Чебишева
можна
вирівнювати
навіть
8’2012
155
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
значні
похибки
даних
,
що
апроксимуються
.
Завдяки
цьому
вони
і
пропонуються
для
використання
при
розв
’
язку
обернених
задач
теплопровідності
.
Математична
постановка
задачі
нестаціонарної
теплопровідності
для
складеної
системи
з
неідеальним
тепловим
контактом
на
стиках
має
вигляд
:
)
Fo
,
(
)
Fo
(
)
Fo
,
(
)
Fo
,
(
*
2
2
x
w
x
T
x
x
T
ν
ν
ν
ν
ν
β
−
∂
∂
=
∂
∂
β
; (1)
)
(
)
Fo
,
(
0
Fo
x
x
T
ν
=
ν
ϕ
=
; (2)
[
]
[
]
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
∂
∂
α
−
=
∂
∂
α
=
=
=
=
;
)
Fo
,
(
)
Fo
(
Bi
)
Fo
,
(
;
)
Fo
,
(
)
Fo
(
Bi
)
Fo
,
(
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
x
m
x
m
x
x
x
T
M
f
h
x
x
T
x
T
M
f
h
x
x
T
(3)
[
]
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
µ
−
∂
∂
−
=
∂
∂
α
=
+
ν
ν
+
ν
=
ν
ν
+
ν
+
ν
ν
=
ν
),
Fo
(
)
Fo
,
(
)
Fo
,
(
;
)
Fo
,
1
(
)
Fo
,
0
(
)
Fo
,
(
2
0
1
,
1
1
1
*
1
,
1
2
f
x
x
T
x
x
T
T
T
R
x
x
T
x
x
x
(4)
де
2
2
0
0
ν
ν
ν
⋅
=
β
R
R
a
a
;
ν
ν
ν
ν
λ
⋅
β
=
β
2
*
R
;
1
1
,
1
+
ν
ν
ν
+
ν
ν
+
ν
λ
λ
=
µ
R
R
;
ν
+
ν
ν
ν
+
ν
ν
λ
⋅
=
1
,
*
1
,
R
R
R
;
τ
⋅
=
2
0
0
Fo
R
a
;
ν
ν
=
R
x
x
;
1
1
*
0
0
Bi
R
⋅
λ
α
=
;
m
m
R
⋅
λ
α
=
*
1
1
Bi
;
–
деякі
довільні
параметри
:
коефіцієнт
температуропровідності
і
лінійний
розмір
.
0
0
,
R
a
При
умови
(4)
відповідають
умовам
ідеального
теплового
контакту
на
стиках
шарів
;
при
0
)
Fo
(
,
0
2
2
=
=
α
f
)
Fo
,
(
)
Fo
(
)
Fo
(
,
1
1
,
*
1
,
2
2
ν
+
ν
ν
ν
ν
+
ν
ν
ω
λ
=
ω
=
=
α
R
R
f
умови
(4)
відповідають
умовам
неідеального
теплового
контакту
;
при
α
2
= 0,
0
1
1
,
2
Fo
)
Fo
,
(
)
=
Fo
(
=
+
ν
+
ν
ν
∂
∂
x
x
T
A
f
,
0
1
,
0
2
0
1
,
1
,
c
c
R
R
A
+
ν
ν
ν
ν
+
ν
ν
+
ν
ν
λ
λ
⋅
δ
=
умови
(4)
відповідають
умовам
неідеального
теплового
контакту
.
Потужність
внутрішніх
джерел
(
стоків
)
тепла
є
суперпозицією
потужності
джерел
тепла
,
що
є
наслідком
дії
на
конструкцію
полів
різної
фізичної
природи
:
.
∑
=
ν
ν
=
N
j
x
f
x
w
1
)
Fo
,
(
)
Fo
,
(
Застосовуючи
до
(1)
інтегральне
перетворення
Лапласа
по
змінній
Fo,
отримаємо
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
p
x
z
p
x
T
p
dx
p
x
T
d
ν
ν
ν
ν
+
β
=
,
(5)
8’2012
156
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
де
)
,
(
)
(
)
,
(
*
p
x
w
x
p
x
z
ν
ν
ν
ν
β
−
ϕ
−
=
.
Інтеграл
(5)
можна
записати
у
вигляді
:
)
,
(
sh
ch
)
,
(
*
p
x
z
x
P
D
x
P
C
p
x
T
ν
ν
ν
ν
ν
ν
+
β
+
β
=
, (6)
де
)
,
(
*
p
x
z
ν
–
частковий
розв
’
язок
неоднорідного
рівняння
(5),
,
–
константи
інтегрування
,
які
визначаються
з
умов
(3), (4),
записаних
в
полі
зображень
.
ν
C
ν
D
Функцію
)
,
(
*
p
x
z
ν
представимо
у
вигляді
нескінченного
ряду
по
похідних
від
)
,
(
p
x
z
ν
[3, 8]:
∑
∞
=
ν
+
ν
ν
β
=
0
2
2
1
*
)
,
(
)
,
(
n
n
n
n
n
p
x
z
dx
d
P
p
x
z
.
(7)
Згідно
теорії
лінійних
диференціальних
рівнянь
,
розв
’
язок
задачі
(1)–(4)
представимо
у
вигляді
суми
часткових
розв
’
язків
(
принцип
суперпозиції
),
які
формуються
під
впливом
наступних
компонент
впливу
:
зовнішніх
граничних
умов
,
умов
на
стику
пластин
,
джерел
тепла
по
перерізу
кожної
пластини
,
початкового
розподілу
температури
і
взаємного
теплового
впливу
пластин
.
Розв
’
язок
лінійних
задач
теорії
теплопровідності
відповідно
до
теореми
розкладання
про
розв
’
язок
задач
нестаціонарної
теплопровідності
операційним
методом
для
багатошарових
плоских
тіл
з
неідеальним
тепловим
контактом
[3, 4]
дозволяє
уникнути
недоліків
класичних
методів
[1].
Температурне
поле
складених
конструкцій
визначається
функцією
[
]
∑ ∑
=
∞
=
ν
ν
⎩
⎨
⎧
+
ϕ
µ
Ω
=
m
r
n
r
n
n
r
n
n
g
x
x
T
2
1
0
,
)
Fo
(
),
(
)
Fo
,
(
[
]
)
Fo
,
(
)
Fo
exp(
),
(
)
,
(
)
(
*
2
1
,
'
x
z
P
x
Q
P
P
g
k
k
r
n
k
n
k
r
ν
∞
=
ν
+
⎭
⎬
⎫
γ
µ
ϕ
Ψ
+
∑
, (8)
де
–
компоненти
впливу
;
)
Fo
(
r
g
[
]
[
]
0
,
1
0
,
,
),
(
)
(
),
(
ϕ
ϕ
ϕ
µ
Ω
−
ϕ
µ
=
ϕ
µ
Ω
−
ν
−
=
−
ν
ν
∑
j
j
n
r
j
n
n
j
j
n
r
n
n
r
n
n
x
x
x
–
рекурентне
співвідношення
;
[
]
∑
∞
=
ν
ν
µ
=
µ
0
,
,
),
(
),
(
n
n
r
n
k
r
n
P
x
P
x
Q
,
–
узагальнені
цілі
функції
;
∑
∞
=
ϕ
=
ϕ
Ψ
0
)
,
(
n
n
k
n
k
n
P
P
k
k
k
R
a
P
γ
γ
=
,
2
0
0
2
–
корені
трансцендентного
рівняння
,
0
)
,
(
=
γ
ϕ
Ψ
k
n
,
( )
θ
θ
∂
∂
θ
−
β
+
ϕ
β
=
∑ ∫
∑
∞
=
ν
ν
ν
∞
=
ν
ν
ν
d
x
w
x
n
β
x
n
x
z
n
F
n
n
n
n
n
n
n
n
o
0
0
2
2
*
0
)
2
(
*
)
,
(
)
Fo
(
!
!
Fo
)
Fo
,
(
–
частковий
розв
’
язок
неоднорідного
диференціального
рівняння
(5),
записаного
в
полі
зображень
,
точно
задовольняє
диференціальному
рівнянню
(1),
початковим
і
8’2012
157
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
граничним
умовам
(2)–(4),
якщо
послідовності
{ }
∞
ϕ
0
n
,
{
}
∞
ν
µ
0
,
)
(
x
r
n
відповідають
представленню
мероморфних
функцій
розв
’
язку
задачі
в
полі
зображень
.
Обернена
задача
теплопровідності
для
системи
тришарових
пластин
формулюється
наступним
чином
.
Вимагається
по
вимірах
температур
на
стику
другої
і
третьої
пластини
(
рис
. 1)
знайти
зміну
температури
і
теплового
потоку
на
зовнішній
поверхні
третьої
пластини
(
х
= 1).
2
2
)
,
(
)
,
(
x
x
T
x
T
∂
τ
∂
β
=
τ
∂
τ
∂
ν
;
2
,
1
=
ν
;
1
0
≤
≤
x
;
∞
≤
τ
≤
0
;
(9)
)
(
)
,
1
(
,
2
2
τ
=
τ
э
f
T
;
0
)
,
0
(
1
=
∂
τ
∂
x
T
;
(10)
0
)
0
,
(
=
x
T
v
.
(11)
Умови
на
стику
пластин
:
))
,
0
(
)
,
1
(
(
1
)
,
1
(
2
1
2
,
1
1
1
1
τ
−
τ
=
∂
τ
∂
λ
−
T
T
R
x
T
R
;
2
,
1
2
2
2
1
1
1
)
,
0
(
)
,
1
(
ω
=
∂
τ
∂
λ
−
∂
τ
∂
λ
x
T
R
x
T
R
. (12)
В
(9)–(12)
t
R
a
2
2
=
τ
ν
ν
=
R
x
x
–
безрозмірний
час
і
координата
;
2
2
2
2
ν
ν
ν
=
β
R
R
a
a
,
де
–
коефіцієнт
температуропровідності
та
товщина
ν
-
ой
пластини
.
ν
ν
R
a
,
Розв
’
язок
задачі
Коші
[6]
для
третьої
пластини
має
вигляд
)
(
)!
1
2
(
)
(
)
(
)!
2
(
)
(
)
,
(
)
(
2
0
2
)
(
2
0
2
3
τ
+
λ
−
τ
=
τ
∑
∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
n
g
n
x
x
f
n
x
x
T
,
(13)
де
x
R
g
∂
τ
Τ
∂
λ
−
=
τ
)
,
1
(
)
(
2
2
2
2
;
)
(
)
(
2
τ
=
τ
э
f
f
.
Розв
’
язок
задачі
(9)–(12)
операційним
методом
має
наступний
вигляд
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
∑
∑
∞
=
ν
∞
=
ν
ν
τ
ψ
+
τ
Ω
=
τ
1
'
,
2
0
,
2
,
exp
,
k
k
k
э
n
n
э
n
p
x
Q
p
p
f
f
x
x
T
,
(14)
де
комплекси
)
визначаються
за
співвідношеннями
[8].
(
),
(
),
(
n
,
k
p
x
Q
x
ψ′
Ω
ν
ν
Розв
’
язок
(13)
при
заданих
( )
τ
f
і
( )
τ
g
дозволяє
знайти
шукані
зміни
температури
і
теплового
потоку
w
T
).
(
τ
w
q
Проте
в
такій
інтерпретації
розв
’
язок
(13),
де
функції
,
відомі
з
експерименту
з
деякою
похибкою
,
необхідно
враховувати
і
той
факт
,
що
обчислення
операторів
диференціювання
,
нестійке
до
обурень
в
початкових
даних
[2, 6].
Таким
чином
,
маємо
типову
некоректну
задачу
,
для
побудови
стійкого
розв
’
язку
якої
потрібна
побудова
регуляризуючих
алгоритмів
.
( )
τ
f
( )
τ
g
)
(
)
(
τ
n
f
)
(
)
(
τ
n
g
8’2012
158
ЕНЕРГЕТИЧНІ
ТА
ТЕПЛОТЕХНІЧНІ
ПРОЦЕСИ
Й
УСТАТКУВАННЯ
Збережемо
в
розв
’
язку
(13)
кінцеве
число
доданків
N
.
Введемо
позначення
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
τ
f
τ
Ζ
,
,
τ
f
τ
Ζ
τ
f
τ
Ζ
N
n
=
′′
=
′
=
K
2
1
,
. (15)
Тоді
розв
’
язок
(13)
з
урахуванням
позначень
(15)
записується
у
вигляді
( )
( )
( )
( )
( )
τ
Ζ
N
x
τ
Ζ
x
τ
Ζ
x
τ
f
τ
x
Τ
N
N
!
2
!
4
!
2
,
2
2
4
1
2
+
+
+
+
=
K
.
(16)
Таким
чином
,
граничні
умови
при
X
= 1
відновлюються
співвідношенням
(16),
в
якому
функції
знаходяться
з
розв
’
язку
інтегральних
рівнянь
(15)
( )
τ
k
Z
),
(
)
(
)!
1
(
)
(
0
1
τ
=
η
η
−
η
−
τ
=
∫
τ
−
U
d
Z
k
AZ
k
k
k
(17)
де
права
частина
задається
приблизно
,
тобто
!
)
(
)
(
1
0
)
(
ν
τ
τ
−
τ
=
=
ν
−
=
ν
ν
δ
∑
k
f
f
U
U
.
Тут
δ
–
числовий
параметр
,
що
характеризує
похибку
правої
частини
рівняння
(17).
Інтегральне
рівняння
(17)
за
допомогою
методу
кінцевих
сум
(
формули
прямокутників
,
трапецій
Сімпсона
)
може
бути
зведене
до
системи
лінійних
рівнянь
алгебри
:
,
де
r
,
S
–
час
,
виражений
в
одиницях
дискретності
∆τ
.
∑
=
=
n
r
S
r
S
r
f
q
K
0
,
Задачу
апроксимації
експериментально
виміряної
температури
,
заданої
на
множині
поліномами
міри
0
{
n
T
τ
τ
τ
τ
τ
,
,
,
,
,
3
2
1
0
K
}
,
≤
ρ
ρ
зведемо
до
визначення
многочленів
( )
( )
( )
( )
τ
⋅
+
+
τ
⋅
+
τ
⋅
=
τ
ρ
ρ
ρ
H
a
H
a
H
a
U
K
1
1
0
0
, (18)
де
многочлени
( )
{
} (
)
ρ
=
τ
,
,
2
,
1
,
0
,
K
k
H
k
ортогональні
на
системі
точок
Т
.
Зокрема
,
якщо
(18)
складається
з
цілих
ненегативних
мір
змінної
τ
,
тобто
( )
( )
( )
,
,
1
,
1
,
1
2
1
0
K
=
τ
=
τ
=
τ
H
H
H
то
звичайний
поліном
міри
ρ
.
( )
ρ
ρ
ρ
τ
+
+
τ
+
=
τ
a
a
a
U
K
1
0
Для
шуканого
многочлена
квадратичне
відхилення
( ) ( )
[
]
.
min
2
0
=
τ
−
τ
=
Ω
∑
=
ρ
ρ
N
S
S
S
f
U
(19)
Таким
чином
,
праві
частини
інтегральних
рівнянь
–
відому
з
експерименту
температуру
–
апроксимуємо
по
методу
найменших
квадратів
многочленами
(18)
і
тим
самим
вирівнюючи
помилку
в
завданні
цих
функцій
,
отримуємо
кращу
в
сенсі
критерію
8’2012
159