ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 382
Скачиваний: 1
21
Вариант
№
12
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
где
D
–
область
,
лежащая
вне
окружности
2
2
2
a
y
x
=
+
и
внутри
кривой
2 (1 cos )
r
a
ϕ
=
+
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
2
2
cos (
)
D
x
y dxdy
+
∫∫
,
где
{
}
2
2
2
:
)
,
(
a
y
x
y
x
D
≤
+
=
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
4
4
4
4
6
6
6
6
k
y
h
x
b
y
a
x
+
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
bx
ay
x
≤
≤
2
,
2
2
2
2
2
2
y
x
hz
y
x
+
≤
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
Rz
z
y
x
2
2
2
2
=
+
+
,
если
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
≤
+
.
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
цилиндрической
системе
координат
,
если
{
,
1
x
0
:
)
,
,
(
≤
≤
=
z
y
x
D
,
1
0
≤
≤
y
}
1
0
≤
≤
z
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
3z
:
)
,
,
(
2
2
2
y
x
z
y
x
D
+
≤
=
}
2
2
2
2
≤
−
+
z
y
x
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
3
3
6
3
2
2
3
)
(
z
a
z
y
x
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
осей
координат
тела
плотно
-
стью
ρ
,
ограниченного
поверхностью
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородного
круга
массой
M
и
радиу
-
сом
R
относительно
точки
на
его
окружности
.
11.
Найти
массу
части
однородного
параболоида
),
(
2
1
2
2
y
x
z
+
=
1
0
≤
≤
z
плотности
.
ρ
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
zx
yz
xy
S
)
(
+
+
∫∫
,
где
{
,
:
)
,
,
(
2
2
y
x
z
z
y
x
S
+
=
=
}
ax
y
x
2
2
2
<
+
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
:
x
y
a
+
=
.
22
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
n
ds
y
x
)
(
2
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
cos ,
sin
x a
t y
a
t
=
=
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
ydx
xdy
,
где
L
–
часть
кривой
0
)
(
2
=
+
−
y
y
x
x
от
точки
A
= (0,0)
до
точки
B
= (2/5,–8/5).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
−
L
xdy
y
ydx
x
2
2
,
где
L
–
верхняя
часть
)
0
(
≥
y
правой
петли
)
0
(
≥
x
лемнискаты
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
y
x
a
y
x
−
=
+
от
точки
A
= (0,0)
до
точки
B
= ( , 0).
a
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
zdxdy
ydzdx
xdydz
,
где
S
–
внутренняя
сторона
поверхности
тела
1
3
2
≤
+
+
z
y
x
,
0
≥
x
,
0
≥
y
,
0
≥
z
.
18.
Найти
,
rot F
JG
если
( ),
F
rf r
=
JG
G
где
( , , ),
r
x y z
=
G
| |,
r
r
=
G
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
( )
[
]
rot uF
urot F
grad u F
=
+
×
G
G
G
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
x
j
y
x
i
z
x
F
G
G
G
+
−
+
+
=
)
(
)
(
вдоль
контура
L
,
положительно
ориентированного
на
верхней
стороне
плоскости
5
=
z
,
где
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
+
=
1
:
)
,
,
(
2
2
2
2
b
y
a
x
z
y
x
L
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
xy
i
x
F
G
G
G
+
−
=
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
,
где
S
–
часть
цилиндра
2
2
2
,
x
y
R
+
=
ограниченная
плоскостями
0
=
z
и
R
z
x
=
+
.
Вариант
№
13
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
область
,
лежащая
вне
окружности
2
2
2
a
y
x
=
+
и
внутри
кривой
2 sin 3
r
a
ϕ
=
,
перейти
к
по
-
лярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
ϕ
cos
r
x
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
)
1
ln(
2
2
,
где
{
}
2
2
2
:
)
,
(
a
y
x
y
x
D
≤
+
=
.
3.
Вычислить
площадь
области
,
ограниченной
кривыми
b
y
a
x
b
y
a
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
,
0
=
y
,
переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обобщенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
).
23
4.
Найти
объем
тела
x
y
x
≤
≤
−
,
2
2
2
2
2
2
y
x
az
y
x
+
≤
≤
+
,
h
z
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
a
x
z
+
=
,
если
2
2
2
2
2
)
2
(
a
x
y
a
x
≤
+
,
a
z
≤
≤
0
.
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
цилиндрической
системе
координат
,
если
{
,
x
:
)
,
,
(
2
2
z
y
z
y
x
D
≤
+
=
}
H
z
≤
≤
0
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
}
2
2
2
2
2
2
( , , ) : 3
3
0,
2
D
x y z
x
y
z
x
y
z
ay
=
−
+
≤
+
+
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
)
(
)
(
3
4
2
2
2
x
y
a
z
y
x
−
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
осей
координат
тела
плотно
-
стью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
0
2
2
=
−
+
ax
y
x
,
ax
z
2
2
=
,
0
=
z
(
0
>
z
).
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривой
2
2
2
R
y
x
=
+
,
относительно
прямой
,
проходящей
че
-
рез
центр
круга
и
лежащей
в
его
плоскости
.
11.
Найти
массу
части
цилиндра
az
z
x
2
2
2
=
+
,
лежащей
внутри
конуса
2
2
2
z
y
x
=
+
,
если
плотность
| |
y
ρ
=
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
y
x
S
)
(
2
2
+
∫∫
,
где
S
–
граница
тела
{
}
2
2
( , , ) : 1
x y z
x
y
z
+
≤ ≤
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
( , ) :
(
sin ),
(1 cos ),
L
x y x a t
t
y
a
t
=
=
−
=
−
}
π
2
0
≤
≤
t
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xyds
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
1 cos ,
1 sin , 0 t
2
y
t x
t
π
= −
= −
≤ ≤
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
ydx
xdy
,
где
L
–
петля
кривой
)
(
2
2
2
4
4
y
x
a
y
x
+
=
+
с
положительным
направлени
-
ем
обхода
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
вычислить
∫
−
+
L
dy
x
y
xdx
y
)
(
2
2
2
,
где
L
–
положительно
ориентированная
кривая
(1 cos )
r
a
ϕ
=
+
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdy
z
dzdx
y
dydz
x
2
2
2
,
где
S
–
внешняя
сторона
поверхности
тела
2
2
z
y
x
≤
+
,
H
z
≤
≤
0
.
24
18.
Найти
rot F
JG
,
если
]
)
(
[
r
r
f
c
F
G
G
×
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
G
,
| |
r
r
=
G
,
)
(
u
f
–
непре
-
рывно
дифференцируемая
функция
,
c
G
–
постоянный
вектор
.
19.
Найти
(
( ))
div gradf r
,
где
| |,
( , , )
r
r
r
x y z
=
=
G
G
,
)
(
r
f
–
непрерывно
диф
-
ференцируемая
функция
.
Выяснить
,
при
каких
условиях
(
( )) 0
div gradf r
=
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
i
y
j
x
F
G
G
−
=
вдоль
контура
:
)
,
{(
y
x
L
=
2
2
2
0
0
(
)
(
)
}
x x
y y
R
−
+
−
=
,
положительно
ориентированного
на
плоскости
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
yz
i
xz
F
G
G
G
2
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
S
,
где
S
–
часть
сферы
9
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
отсеченная
плоскостью
2
=
z
,
2
≥
z
.
Вариант
№
14
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
где
D
–
область
,
лежащая
вне
окружности
2
2
2
a
y
x
=
+
и
внутри
кривой
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
y
x
a
y
x
−
=
+
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
x
x
2
2
2
,
где
{
}
ax
y
x
y
x
D
≤
+
=
2
2
:
)
,
(
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
2
2
3
h
x
b
y
a
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
b
ay
x
≤
≤
,
2
2
0
y
x
bz
+
≤
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2 ,
z
y
ax
+
=
если
2
2
.
y
ax a
≤
≤
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
ци
-
линдрической
системе
координат
,
если
{
( , , ) : /2
/3
/ 4 1,
D
x y z
x
y
z
=
+
+
≤
}
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
x
y
x
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
}
2
2
2
2
2
2
( , , ) :
,
2
D
x y z
x
y
a
x
y
z
ax
=
+
≤
−
−
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
z
a
z
y
x
3
4
2
2
2
)
(
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
0X
тела
плотностью
ρ
,
ог
-
раниченного
поверхностями
)
(
2
1
2
2
y
x
z
+
=
,
1
=
z
.
25
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривой
2
2
2
R
y
x
=
+
,
относительно
касательной
к
границе
этого
круга
.
11.
Найти
массу
части
конуса
2
2
2
z
y
x
+
=
,
лежащей
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
если
плотность
x
=
ρ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
S
)
(
+
∫∫
,
где
S
–
часть
по
-
верхности
,
лежащая
в
первом
октанте
0
(
≥
x
,
0
≥
y
,
)
0
≥
z
,
получен
-
ная
вращением
арки
циклоиды
(
cos )
x a t
t
=
−
,
(1 cos )
y
a
t
=
−
,
π
2
0
≤
≤
t
,
вокруг
оси
OX
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
( , ) :
(
sin ),
(1 cos )
L
x y x a t
t
y
a
t
=
=
−
=
−
}
π
≤
≤
t
0
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
y
x
ds
2
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
cos
sin ,
sin – tcos , 0
2
y
t
t
x
t
t
t
π
=
+
=
≤ ≤
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
dy
y
x
xydx
3
3
,
где
L
–
контур
квадрата
|
| |
| 1
x y
x y
−
+
+
=
с
отрицательным
направ
-
лением
обхода
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
∫
−
L
dy
x
dx
y
)
3
5
3
5
,
где
L
–
по
-
ложительно
ориентированная
кривая
3
2
3
2
3
2
a
y
x
=
+
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdy
z
dzdx
y
dydz
x
2
2
2
,
где
S
–
часть
внешней
стороны
парабо
-
лоида
z
y
x
=
+
2
,
H
z
≤
≤
0
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
k
z
x
j
z
y
i
z
x
F
)
(
)
(
)
(
2
+
+
+
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Найти
( ( ) )
div f r c
G
,
где
| |,
( , , )
r
r
r
x y z
=
=
G
G
,
)
(
r
f
–
непрерывно
диффе
-
ренцируемая
функция
,
c
G
–
постоянный
вектор
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
x
j
z
i
y
F
G
G
G
+
−
=
2
вдоль
контура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
}
,
2
2
2
2
2
y
x
a
z
y
x
=
=
+
−
,
положительно
ориентированного
на
правой
стороне
плоскости
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
3
3
3
+
+
=
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
,
где
2
2
2
2
2
S {(x,y,z):
, 0
.
R
x
y
z
z H
H
=
+
=
≤ ≤