ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1487
Скачиваний: 1
Московский физико
-
технический институт
(
государственный университет
)
О
.
В
.
Бесов
ЛЕКЦИИ ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть
2
Москва
, 2005
Составитель О
.
В
.
Бесов
УДК
517.
Методические указания по математическому анализу
.
Ч
. 2.
Курс лекций по математическому анализу
(
для студентов
2-
го
курса
).
Ч
. 2.
МФТИ
.
М
., 2005. 213
с
.
Учебное пособие соответствует программе
2-
го курса МФТИ и
содержит теорию кратных
,
криволинейных и поверхностных инте
-
гралов
,
тригонометрических рядов Фурье
,
нормированных и гиль
-
бертовых пространств
,
преобразований Фурье и элементы теории об
-
общенных функций
.
Оно написано на основе лекций
,
читаемых в течение многих лет
в МФТИ автором
(
профессором МФТИ
,
чл
.-
корреспондентом РАН
,
зав
.
отделом теории функций Математического института им
.
В
.
А
.
Стеклова РАН
).
Предназначено для студентов физико
-
математических и инже
-
нерно
-
физических специальностей вузов с повышенной подготовкой
по математике
.
c
Московский физико
-
технический институт
(
государственный университет
), 2005
c
О
.
В
.
Бесов
, 2005
3
Оглавление
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклидовом
пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
§
18.1.
Определение меры по Жордану
. . . . . . . . . . . . . . .
7
§
18.2.
Свойства измеримых по Жордану множеств
. . . . . . . 13
Глава
19.
Кратные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . 19
§
19.1.
Определение кратного интеграла и критерий
интегрируемости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§
19.2.
Свойства кратного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . 24
§
19.3.
Сведение кратного интеграла к повторному
. . . . . . . 28
§
19.4.
Геометрический смысл модуля якобиана отображения
. 31
§
19.5.
Замена переменных в кратном интеграле
. . . . . . . . . 36
Глава
20.
Криволинейные интегралы
. . . . . . . . . . 43
§
20.1.
Криволинейные интегралы первого рода
. . . . . . . . . 43
§
20.2.
Криволинейные интегралы второго рода
. . . . . . . . . 45
§
20.3.
Формула Грина
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§
20.4.
Геометрический смысл знака якобиана плоского
отображения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§
20.5.
Потенциальные векторные поля
. . . . . . . . . . . . . . 68
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
. . . . . . . 74
§
21.1.
Гладкие поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§
21.2.
Касательная плоскость и нормальная прямая
. . . . . . . 77
§
21.3.
Преобразование параметров гладкой поверхности
. . . . 79
§
21.4.
Ориентация гладкой поверхности
. . . . . . . . . . . . . 82
§
21.5.
Первая квадратичная форма гладкой поверхности
. . . . 83
§
21.6.
Неявно заданные гладкие поверхности
. . . . . . . . . . 84
§
21.7.
Кусочно гладкие поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . 85
Глава
22.
Поверхностные интегралы
. . . . . . . . . . . 89
§
22.1.
Поверхностные интегралы первого рода
. . . . . . . . . . 89
§
22.2.
Поверхностные интегралы второго рода
. . . . . . . . . . 92
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
. . . . . . . . . 96
§
23.1.
Скалярные и векторные поля
. . . . . . . . . . . . . . . . 96
§
23.2.
Формула Остроградского
–
Гаусса
. . . . . . . . . . . . . . 99
§
23.3.
Формула Стокса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§
23.4.
Потенциальные векторные поля
(
продолжение
)
. . . . . 106
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
. . . . . . 110
§
24.1.
Определение ряда Фурье и принцип локализации
. . . . 110
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§
24.3.
Приближение непрерывных функций многочленами
. . . 124
§
24.4.
Почленное дифференцирование и интегрирование
тригонометрических рядов
.
Скорость стремления к нулю
коэффициентов и остатка ряда Фурье
. . . . . . . . . . . 127
§
24.5.
Ряды Фурье
2
l
-
периодических функций
.
Комплексная
форма рядов Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Глава
25.
Метрические
,
нормированные
и гильбертовы пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . 139
§
25.1.
Метрические и нормированные пространства
. . . . . . 139
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
. . . . . . . . 146
§
25.3.
Евклидовы и гильбертовы пространства
. . . . . . . . . 154
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
. . . . . . 159
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
. . . . 171
§
26.1.
Интегралы Римана
,
зависящие от параметра
. . . . . . . 171
§
26.2.
Равномерная сходимость на множестве
. . . . . . . . . . 174
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
. . 177
Глава
27.
Интеграл Фурье и преобразование Фурье
. 188
§
27.1.
Интеграл Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§
27.2.
Преобразование Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Глава
28.
Обобщенные функции
. . . . . . . . . . . . . . 198
§
28.1.
Пространства
D
,
D
0
основных и обобщенных функций
. 198
§
28.2.
Дифференцирование обобщенных функций
. . . . . . . . 203
§
28.3.
Пространства
S
,
S
0
основных и обобщенных функций
. . 205
Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209