ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1491
Скачиваний: 1
§
18.1.
Определение меры по Жордану
11
Лемма
3.
Нижняя и верхняя меры ограниченных мно
-
жеств обладают следующими свойствами
:
1.
◦
0
6
µ
∗
E
6
µ
∗
E <
+
∞
;
2.
◦
(
монотонность нижней и верхней мер
).
Если
E
⊂
F
,
то
0
6
µ
∗
E
6
µ
∗
F
,
0
6
µ
∗
E
6
µ
∗
F
.
3.
◦
(
полуаддитивность верхней меры
).
µ
∗
(
E
∪
F
)
6
µ
∗
E
+
µ
∗
F
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Свойство
1
◦
очевидно
,
свойства
2
◦
,
3
◦
следуют соответственно из
(3), (4).
Определение
4.
Ограниченное множество
E
⊂
R
n
назы
-
вается
измеримым по Жордану
,
если
µ
∗
E
=
µ
∗
E
,
т
.
е
.
если его
нижняя и верхняя меры совпадают
.
Общее значение этих мер
называется
мерой Жордана
множества
E
и обозначается
µE
.
Таким образом
,
для измеримого по Жордану множества
E
µ
∗
E
=
µ
∗
E
=
µE.
З а м е ч а н и е
1.
Множество
,
измеримое по Жор
-
дану
,
в случае
n
= 2
называют также
квадрируемым
,
а в слу
-
чае
n
= 3 —
кубируемым
.
Очевидно
,
любое элементарное множество измеримо по
Жордану и его мера Жордана совпадает с его мерой как эле
-
ментарного множества
.
З а м е ч а н и е
2.
В дальнейшем вместо «измери
-
мость по Жордану»
,
«мера Жордана» будем говорить «изме
-
римость»
,
«мера»
,
поскольку другие понятия измеримости и
меры в данном курсе не изучаются
.
Упражнение
1.
Пусть
E
—
измеримое множество
.
По
-
казать
,
что
µE >
0
тогда и только тогда
,
когда
E
имеет вну
-
тренние точки
.
Пример
1.
Пусть при
a
i
,
b
i
∈
R
,
a
i
< b
i
,
n
Y
i
=1
(
a
i
, b
i
)
⊂
P
⊂
n
Y
i
=1
[
a
i
, b
i
]
.
Тогда прямоугольник
P
(
замкнутый
,
или без части границы
,
или открытый
)
измерим и
µP
=
n
Q
i
=1
(
b
i
−
a
i
).
12
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
В частности
,
внутренность
int
P
=
n
Q
i
=1
(
a
i
, b
i
)
и замыкание
P
=
n
Q
i
=1
[
a
i
, b
i
]
измеримы и
µ
(int
P
) =
µP
=
µP.
Для доказательства достаточно рассмотреть п
-
прямоугольни
-
ки
P
m
,
Q
m
:
P
m
=
n
Y
i
=1
a
i
+
1
m
, b
i
−
1
m
⊂
P
⊂
n
Y
i
=1
a
i
−
1
m
, b
i
+
1
m
=
Q
m
и учесть
,
что
lim
m
→∞
µP
m
= lim
m
→∞
µQ
m
=
n
Q
i
=1
(
b
i
−
a
i
).
Упражнение
2.
Пусть
A
—
элементарное множество
.
До
-
казать
,
используя предыдущий пример
,
что
int
A
и
A
являются
измеримыми множествами и
µ
(int
A
) =
µA
=
µA.
Пример
2.
Множество в
R
,
состоящее из конечного числа
точек
,
измеримо
,
и мера его равна нулю
.
Пример
3.
Множество
E
⊂
R
рациональных точек от
-
резка
[0
,
1]
неизмеримо
,
т
.
к
.
µ
∗
E
= 0,
µ
∗
E
= 1.
Пример
4.
Множество точек
E
× {
0
} ⊂
R
2
,
где
E
то же
,
что в примере
3,
измеримо
,
и двумерная мера его равна нулю
.
Пример
5.
Всякое подмножество множества меры нуль
измеримо и также имеет меру
,
равную нулю
.
Пример
6
(
ограниченной неизмеримой области
).
Пусть
{
r
j
}
∞
1
—
каким
-
либо образом занумерованная последователь
-
ность рациональных точек интервала
(0
,
1), 0
< ε <
1
2
,
D
=
∞
[
j
=1
r
j
−
ε
2
j
, r
j
+
ε
2
j
⊂
R
1
,
G
= (
D
×
[0
,
1))
∪
(0
,
1)
×
(
−
1
,
0)
⊂
R
2
.
Очевидно
,
что
G
является областью
.
Покажем
,
что
G
не из
-
мерима по Жордану
.
Достаточно установить неизмеримость
§
18.2.
Свойства измеримых по Жордану множеств
13
G
+
=
D
×
(0
,
1).
Она следует из того
,
что
µ
∗
G
+
= 1
,
µ
∗
G
+
=
∞
X
j
=1
2
ε
2
j
= 2
ε <
1
.
Упражнение
3.
Доказать
,
что для измеримости множе
-
ства
E
⊂
R
n
необходимо и достаточно
,
чтобы для любого
ε >
>
0
существовали такие два измеримых множества
F
ε
,
G
ε
,
что
F
ε
⊂
E
⊂
G
ε
,
µ
(
G
ε
\
F
ε
)
< ε
.
§
18.2.
Свойства измеримых по Жордану
множеств
Упражнение
1.
Доказать
,
что если множества
E, F
⊂
R
n
измеримы
,
то
:
1.
◦
Измеримы множества
E
∪
F
,
E
∩
F
и
µ
(
E
∪
F
) +
µ
(
E
∩
F
) =
µE
+
µF.
2.
◦
Измеримо множество
E
\
F
и
µ
(
E
\
F
) =
µE
−
µF,
если
F
⊂
E.
У к а з а н и е
.
Получить сначала эти равенства для эле
-
ментарных множеств
.
Затем оценить снизу нижние и сверху
верхние меры множеств из левых частей равенств
.
Лемма
1.
Пусть
E
⊂
R
n
,
x
(0)
∈
E
,
y
(0)
6∈
E
.
Тогда на
отрезке
,
соединяющем точки
x
(0)
,
y
(0)
,
найдется точка
z
(0)
∈
∈
∂E
.
Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить путем последова
-
тельного деления пополам отрезка с концами в точках
x
(0)
,
y
(0)
,
отбирая на каждом шаге тот отрезок
,
для которого один конец
принадлежит
E
,
а другой
—
не принадлежит
E
.
Пусть
z
(0)
—
общая точка для всех отрезков построенной стягивающейся си
-
стемы вложенных отрезков
.
Тогда всякая окрестность
U
(
z
(0)
)
содержит как точки из
E
,
так и точки не из
E
.
Следовательно
,
z
(0)
∈
∂E
.
14
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
Лемма
2.
Пусть ограниченное множество
E
⊂
R
n
,
D
—
элементарное множество
,
∂E
⊂
D
.
Тогда
B
B
E
∪
D
—
эле
-
ментарное множество
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть п
-
прямоугольник
Q
⊃
E
∪
D
.
Тогда элементарное множество
Q
\
D
=
l
[
k
=1
P
k
!
∪
m
[
k
=
l
+1
P
k
!
,
где
P
k
(1
6
k
6
m
) —
попарно непересекающиеся п
-
прямо
-
угольники
,
E
∩
P
k
6
=
∅
(1
6
k
6
l
)
,
E
∩
P
k
=
∅
(
l
+ 1
6
k
6
m
)
.
На самом деле
P
k
⊂
E
при
1
6
k
6
l
в силу леммы
1.
Из
l
S
k
=1
P
k
⊂
E
,
m
S
k
=
l
+1
P
k
!
∩
E
=
∅
следует
,
что
B
=
E
∪
D
=
l
[
k
=1
P
k
!
∪
D,
а значит
,
и утверждение леммы
.
Теорема
1 (
критерий измеримости
).
Для измери
-
мости ограниченного множества
E
⊂
R
n
необходимо и доста
-
точно
,
чтобы мера его границы
µ∂E
= 0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. 1
◦
.
Пусть множество
E
измеримо
.
Тогда для
∀
ε >
0
существуют элементарные множества
A
ε
,
B
ε
такие
,
что
A
ε
⊂
E
⊂
B
ε
,
µB
ε
−
µA
ε
< ε.
Тогда
∂E
⊂
B
ε
\
int
A
ε
.
Сужая п
-
прямоугольники
,
соста
-
вляющие
A
ε
,
и расширяя п
-
прямоугольники
,
составляющие
B
ε
(
как это делалось в примере
18.1.1),
без ограничения общности
можем считать
,
что
∂E
⊂
B
ε
\
A
ε
.
В силу монотонности верх
-
ней меры
,
леммы
18.1.1
и
(18.1.6)
µ
∗
∂E
6
µ
∗
(
B
ε
\
A
ε
) =
µ
(
B
ε
\
A
ε
) =
µB
ε
−
µA
ε
< ε.
Поэтому
µ
∗
∂E
= 0.
Следовательно
,
∂E
измеримо и
µ∂E
= 0.
§
18.2.
Свойства измеримых по Жордану множеств
15
2
◦
.
Пусть множество
E
ограничено и
µ∂E
= 0.
Пусть
ε >
>
0.
Тогда существует элементарное множество
D
ε
такое
,
что
∂E
⊂
D
ε
,
µD
ε
< ε
.
Построим множества
B
ε
=
E
∪
D
ε
,
A
ε
=
B
ε
\
D
ε
.
Множества
B
ε
,
A
ε
элементарны в силу лемм
2
и
18.1.1.
Кроме того
,
A
ε
⊂
E
⊂
B
ε
,
µA
ε
6
µ
∗
E
6
µ
∗
E
6
µB
ε
.
Отсюда
0
6
µ
∗
E
−
µ
∗
E
6
µB
ε
−
µA
ε
=
µD
ε
< ε.
Следовательно
,
µ
∗
E
=
µ
∗
E
,
т
.
е
.
множество
E
измеримо
.
Теорема
2.
Совокупность измеримых множеств замкнута
относительно операций объединения
,
пересечения и разности
,
т
.
е
.
если множества
E
,
F
измеримы
,
то измеримы и
E
∪
F
,
E
∩
F
,
E
\
F
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Легко проверить
,
что
∂
(
E
∪
F
)
⊂
∂E
∪
∂F, ∂
(
E
∩
F
)
⊂
∂E
∪
∂F, ∂
(
E
\
F
)
⊂
∂E
∪
∂F.
Сделаем это лишь в первом случае
.
Пусть
x
(0)
∈
∂
(
E
∪
F
).
То
-
гда в каждой окрестности
U
(
x
(0)
)
находятся как точки из
E
∪
F
,
так и не из
E
∪
F
.
Следовательно
,
либо в каждой окрестности
U
(
x
(0)
)
находятся точки из
E
(
и тогда
x
(0)
∈
∂E
),
либо в ка
-
ждой окрестности находятся точки из
F
(
и тогда
x
(0)
∈
∂F
).
Поэтому
x
(0)
∈
∂E
∪
∂F
,
а значит
,
∂
(
E
∪
F
)
⊂
∂E
∪
∂F
.
В силу критерия измеримости
(
теорема
1)
µ∂E
= 0,
µ∂F
=
= 0.
Используя монотонность и полуаддитивность верхней
меры
,
имеем
µ
∗
∂
(
E
∪
F
)
6
µ
∗
(
∂E
∪
∂F
)
6
µ
∗
∂E
+
µ
∗
∂F
=
µ∂E
+
µ∂F
= 0
.
Следовательно
,
µ∂
(
E
∪
F
) = 0
и в силу критерия измеримости
объединение
E
∪
F
измеримо
.
Аналогично устанавливается измеримость
E
∩
F
и
E
\
F
.