ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1488
Скачиваний: 1
206
Глава
28.
Обобщенные функции
При
x
→ ±∞
функция
ϕ
∈
S
и каждая из ее производных
убывает быстрее любой степени функции
1
|
x
|
.
Такую функцию
называют
быстро убывающей
.
Заметим
,
что
C
∞
0
⊂
S
,
однако
S
не совпадает с
C
∞
0
.
Так
,
функция
ϕ
(
x
) =
e
−
x
2
принадлежит
S
,
но не
C
∞
0
.
Введем в
S
понятие сходимости
.
Определение
2.
Последовательность
{
ϕ
k
}
∞
k
=1
функций
ϕ
k
∈
S
называется сходящейся к функции
ϕ
∈
S
,
если
k
ϕ
k
−
ϕ
k
n,m
→
0
при
k
→ ∞
для
∀
n, m
∈
N
0
.
(2)
В других терминах сходимость
(2)
означает
,
что для любых
n, m
∈
N
0
x
n
ϕ
(
m
)
k
(
x
)
⇒
x
n
ϕ
(
m
)
(
x
)
на
(
−∞
,
+
∞
)
при
k
→ ∞
.
Определение
3.
Линейное пространство
S
с введен
-
ной сходимостью
(2)
называется
пространством
S
основных
функций
.
Определение
4.
Линейный непрерывный функционал над
S
называется обобщенной функцией
медленного роста
.
Пример
1.
Пусть функция
f
локально абсолютно инте
-
грируема и при некоторых
A >
0,
n
∈
N
|
f
(
x
)
|
6
A
(1 +
|
x
|
n
)
,
x
∈
(
−∞
,
∞
)
.
Тогда
(
f, ϕ
)
B
Z
∞
−∞
f
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
∀
ϕ
∈
S
является обобщенной функцией медленного роста
.
Определение
5.
Пространством
S
0
обобщенных функ
-
ций
(
медленного роста
)
называется множество
(
линейное про
-
странство
)
всех обобщенных функций медленного роста с вве
-
денными в нем операциями сложения
,
умножения на комплекс
-
ные числа и сходимостью по следующим правилам
:
1.
◦
(
αf
+
βg, ϕ
) =
α
(
f, ϕ
) +
β
(
g, ϕ
),
f, g
∈
S
0
,
α, β
∈
C
,
ϕ
∈
S
,
2.
◦
последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
,
f
k
∈
S
0
∀
k
∈
N
,
называется
сходящейся в
S
0
к
f
∈
S
0
при
k
→ ∞
,
если
(
f
k
, ϕ
)
→
(
f, ϕ
)
при
k
→ ∞
∀
ϕ
∈
S.
§
28.3.
Пространства
S
,
S
0
основных и обобщенных функций
207
В пространстве
S
0
определена операция дифференцирова
-
ния равенством
(
f
0
, ϕ
)
B
−
(
f, ϕ
0
)
∀
ϕ
∈
S.
Эта операция является непрерывной в
S
0
в том смысле
,
что
(
при
k
→ ∞
)
ϕ
k
→
ϕ
в
S
0
⇒
ϕ
0
k
→
ϕ
0
в
S
.
Отсюда следует
,
что при
f
k
,
f
∈
S
0
∞
X
k
=1
f
k
S
0
=
f
⇒
∞
X
k
=1
f
0
k
S
0
=
f
0
.
В пространстве
S
0
определена операция умножения на мно
-
гочлен
p
(
x
)
формулой
(
pf, ϕ
)
B
(
f, pϕ
)
∀
ϕ
∈
S,
∀
f
∈
S
0
.
Преобразование Фурье
F
[
ϕ
]
и обратное преобразование Фу
-
рье
F
−
1
[
ϕ
]
для
ϕ
∈
S
записывается в виде
F
[
ϕ
](
x
) =
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
y
)
e
−
ixy
dy,
F
−
1
[
ϕ
](
x
) =
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
y
)
e
ixy
dy.
Упражнение
1.
Установить следующие свойства пре
-
образования Фурье
:
1.
◦
ϕ
∈
S
⇒
F
[
ϕ
]
, F
−
1
[
ϕ
]
∈
S
;
2.
◦
преобразование Фурье взаимно однозначно отображает
S
на
S
;
3.
◦
операции преобразования Фурье
F
[
ϕ
] (
и обратного пре
-
образования Фурье
F
−
1
[
ϕ
])
непрерывны в
S
в том смы
-
сле
,
что при
k
→ ∞
ϕ
k
→
ϕ
⇒
F
[
ϕ
k
]
S
=
F
[
ϕ
]
(
F
−
1
[
ϕ
k
]
S
=
F
−
1
[
ϕ
])
.
Равенство
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f
(
y
)
e
−
ixy
dy
ϕ
(
x
)
dx
=
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
ϕ
(
x
)
e
−
iyx
dx
f
(
y
)
dy
для функций
ϕ
∈
S
,
f
—
абсолютно интегрируемой на
(
−∞
,
+
∞
)
делает естественным
208
Глава
28.
Обобщенные функции
Определение
6.
Преобразованием
(
обратным преобразо
-
ванием
)
Фурье обобщенной функции
f
∈
S
0
называется обоб
-
щенная функция
F
[
f
] (
F
−
1
[
f
]),
определенная равенством
(
F
[
f
]
, ϕ
)
B
(
f, F
[
ϕ
])
((
F
−
1
[
f
]
, ϕ
)
B
(
f, F
−
1
[
ϕ
]))
∀
ϕ
∈
S.
Упражнение
2.
Установить следующие свойства пре
-
образования Фурье обобщенных функций
:
1.
◦
f
∈
S
0
⇒
F
[
f
]
∈
S
0
,
F
−
1
[
f
]
∈
S
;
2.
◦
S
0
F
↔
S
0
;
3.
◦
непрерывность
—
при
k
→ ∞
f
k
→
f
в
S
0
⇒
F
[
f
k
]
→
F
[
f
]
в
S
0
, F
−
1
[
f
k
]
→
F
−
1
[
f
]
в
S
0
;
4.
◦
F
[
f
(
n
)
] = (
ix
)
n
F
[
f
]
∀
f
∈
S
0
;
5.
◦
(
F
[
f
])
(
n
)
=
F
[(
−
ix
)
n
f
]
∀
f
∈
S
0
.
Предметный указатель
δ
-
образная последовательность
203–204
δ
-
функция
. . . . . . . . . 199–200
Абеля
признак
см
.
Признак
,
Абеля
Аксиомы расстояния
. . . . . 140
Базис
. . . . . . . . . . . . . . . . . 170
ортогональный
. . . . . . . . . 7
Бесселя
неравенство
. . . . . . 128, 164
Бета
-
функция Эйлера
. . . . 188
Вейерштрасса
признак
. . . . .
см
.
Признак
,
Вейерштрасса
теорема
. . . . . . . . . . 125–127
Вектор
. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
единичный
. . . . . . . . . . . . 7
Векторы
ортогональные
. . . . . . . . . 7
Гамильтона оператор
см
.
набла
Гамма
-
функция Эйлера
. . . 187
Главное значение интеграла
194
Гладкий кусок поверхности
86
явно заданный
. . . . . . . . 95
Градиент поля
. . . . . . . . . . 98
Гёльдера
условие
. . . . . . . . . . 118, 121
Дарбу
интегральная сумма
. . . . 22
Дивергенция поля
. . . . 98, 102
Дирака
δ
-
функция
. . .
см
.
δ
-
функция
Дирихле
интеграл
. . . . . . . . . 115–116
признак
. . . . .
см
.
Признак
,
Дирихле
ядро
. . . . . . . . . . . . . . . . 115
Жордана
мера
. . . . . . . . . . . . . . 10, 11
Замена переменных в кратном
интеграле
. . . . . . . . 37, 43
Замыкание множества
143–144
Измельчение разбиения
. . . 19
Интеграл
Дирихле
. . . . .
см
.
Дирихле
,
интеграл
Лебега
см
.
Лебега
,
интеграл
Римана
см
.
Римана
,
интеграл
кратный
. . . . . . . . . . . . . 20
криволинейный
второго рода
. . . . . . . . 47
первого рода
. . . . . . . . 44
поверхностный
второго рода
. . . . . . . . 94
первого рода
. . . . . . . . 90
повторный
. . . . . . . . . . . 28
Интегрируемость по Риману
20
Квадратичная форма поверхно
-
сти
первая
. . . . . . . . . . . . . . . 84
Комплексная форма рядов Фу
-
рье
. . . . . . . . . . . . 137–139
Контур
ориентированный
. . . . . . 52
Коши
критерий равномерной сходи
-
мости
. . . . . . . . . . 175–176
несобственного интеграла
179
210
Приложение
Коши
–
Буняковского
неравенство
. . . . . . 155–156
Кривая
плоская
. . . . . . . . . . . . . . 51
Критерий
измеримости
. . . . . . . . . . 14
интегрируемости
. . . . . . 21
Лебега
интеграл
. . . . . . . . . . . . . 153
Лежандра
многочлен
(
полином
) 161, 169
Лейбница
правило
(
теорема
) . . . . . . 173
Линейное
пространство
. . . . . . . . .
см
.
Пространство
,
линейное
Линия
координатная
. . . . . . . . . 77
Липшица
условие
. . . . . . . . . . 118, 121
Лист Мёбиуса
. . . . . . . . . . 87
Ломаная вписаная
. . . . . . . 50
Мелкость разбиения
. . . . . . 19
Мера
множества
. .
см
.
Жордана
,
мера
Минимальное свойство коэффи
-
циентов Фурье
. . . . . . 163
Многочлен
тригонометрический
. . . . 125
Многочлен Лежандра
. . . . .
см
.
Лежандра
,
многочлен
Множество
замкнутое
. . . . . . . . . . . . 144
измеримое по Жордану
. 11
квадрируемое
. . . . . . . . . 11
кубируемое
. . . . . . . . . . . 11
ограниченное
. . . . . . . . . 143
открытое
. . . . . . . . . . . . 144
плотное
. . . . . . . . . . . . . . 145
элементарное
. . . . . . . . . . 8
Набла
. . . . . . . . . . . . . . . 69, 97
Неравенство
Бесселя
. . . . . . .
см
.
Бесселя
,
неравенство
Коши
–
Буняковского
. . . .
см
.
Коши
–
Буняковского
,
нера
-
венство
треугольника
. . . . . . . . . 140
Норма
. . . . . . . . . . . . . . . . 142
Нормаль
. . . . . . . . . . . . . . . 79
Носитель функции
. . . . . . . 201
Область
выпуклая
. . . . . . . . . . . . 109
допустимая
. . . . . . . . . . . 103
объемно односвязная
. . . . 103
односвязная
. . . . . . . . . . 74
поверхностно односвязная
109
простая относительно оси
52,
100
элементарная
. . . . . . . . . 30
относительно оси
. . . . . 31
Ориентация края
. . . . . . . . 89
Ориентация поверхности
83, 89
положительная
(
отрицатель
-
ная
) . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ортогонализация
. . . . . . . . 171
Ортогональная
последователь
-
ность
. . . . . .
см
.
Система
,
ортогональная
Ортогональные элементы
. . 160
Ортонормированная последова
-
тельность
. . .
см
.
Система
,
ортонормированная
Остроградского
–
Гаусса
формула
. . . . . . . . . . . . . 100
Параметры поверхности
. . . 76