ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1537

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

Глава

18

МЕРА МНОЖЕСТВ В

n

-

МЕРНОМ

ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Как и в

§

10.1,

символом

R

n

(

n

N

)

будем обозначать

n

-

мерное евклидово пространство

,

т

.

е

.

множество всевоз

-

можных упорядоченных наборов действительных чисел

x

=

= (

x

1

, . . . , x

n

),

называемых точками

(

с координатами

x

1

, . . . ,

x

n

),

в котором введено понятие расстояния

:

dist(

x, y

)

B

v
u
u
t

n

X

i

=1

(

x

i

y

i

)

2

при

x

= (

x

1

, . . . , x

n

),

y

= (

y

1

, . . . , y

n

)

R

n

.

Уже отмечалось

,

что в

R

n

можно ввести сложение

,

x

+

y

B

(

x

1

+

y

1

, . . . , x

n

+

y

n

)

x, y

R

n

,

и умножение на действительное число

λ

,

λx

B

(

λx

1

, . . . , λx

n

)

x

R

n

,

λ

R

.

Операции сложения и умножения на действительное число
обладают теми же свойствами

,

что и операции сложения и

умножения в

R

.

В частности

,

нулевым элементом в

R

n

явля

-

ется

~

0 = (0

, . . . ,

0),

определена разность

(

как операция

,

обрат

-

ная сложению

),

имеющая вид

x

y

= (

x

1

y

1

, . . . , x

n

y

n

)

x, y

R

n

,

и т

.

д

.

Таким образом

,

R

n

превращается в линейное

(

век

-

торное

)

пространство

.

Элементы

(

точки

)

R

n

будем называть

также векторами

.

В

R

n

можно ввести понятие скалярного произведения двух

векторов

:

(

x, y

) =

n

X

i

=1

x

i

y

i

x, y

R

n

.

Оно согласовано с уже имеющимся понятием расстояния в

R

n

в том смысле

,

что

dist(

x, y

) =

|

x

y

|

x, y

R

n

,


background image

§

18.1.

Определение меры по Жордану

7

где

|

x

|

B

s

n

P

i

=1

x

2

i

=

p

(

x, x

) —

длина вектора

x

.

Два вектора

x

,

y

называют

ортогональными

друг другу

(

пишут

x

y

),

если

(

x, y

) = 0.

Вектор

x

R

n

называют единичным вектором

,

если

|

x

|

= 1.

Единичными

,

например

,

являются векторы

e

i

= (0

, . . . ,

0

,

1

,

0

, . . . ,

0)

R

n

,

(1

6

i

6

n

)

(

единица стоит на

i

-

м месте

).

Набор векторов

e

1

,

e

2

,

. . . ,

e

n

называют ортогональным

базисом единичных векторов

.

Он обладает двумя свойствами

:

1.

e

i

e

j

при

i

6

=

j

,

2.

x

=

n

P

i

=1

x

i

e

i

x

R

n

.

Последнее равенство называют разложением вектора

x

по ба

-

зису

{

e

i

}

n

1

.

Ортогональный базис

{

e

i

}

n

1

определяет в

R

n

ортогональную

систему координат

.

Точка

~

0

называется началом координат

,

прямые

{

x

:

x

=

te

i

,

−∞

< t <

+

∞}

,

i

= 1

, . . . , n,

координатными осями

,

числа

x

1

, . . . ,

x

n

координатами

вектора

x

= (

x

1

, . . . , x

n

).

§

18.1.

Определение меры по Жордану

Введем и изучим понятие меры в

R

n

,

обобщающее понятие

длины

(

n

= 1),

площади

(

n

= 2),

объема

(

n

= 3).

Будет изло

-

жена теория меры множеств

,

предложенная Жорданом

.

Определение

1.

Множество

P

= (

a

1

, b

1

]

×

(

a

2

, b

2

]

×

. . .

×

(

a

n

, b

n

]

R

n

,

(1)

где

a

i

, b

i

R

,

a

i

6

b

i

(

i

=

1

, . . . , n

),

будем назы

-

вать

полуоткрытым прямоугольником

,

или сокращенно

п

-

прямоугольником

.

В случае

n

= 1

P

представляет собой полуинтервал или

пустое множество

.

В случае

n

= 2

P

прямоугольник без


background image

8

Глава

18.

Мера множеств в

n

-

мерном евклид

.

пространстве

левой и нижней сторон или пустое множество

.

В случае

n

=

= 3

P

прямоугольный параллелепипед без трех граней или

пустое множество

.

Меру

пустого множества

положим равной нулю

.

Для каждого из п

-

прямоугольников

(1)

определим его меру

равенством

µP

B

n

Y

i

=1

(

b

i

a

i

)

.

(2)

Таким образом

,

каждому п

-

прямоугольнику

P

вида

(1)

по

-

ставлено в соответствие число

его мера

µP

;

при этом вы

-

полнены следующие условия

:

1.

µP

>

0;

2.

мера

µP

аддитивна

,

т

.

е

.

если

P

=

m

S

k

=1

P

k

(

P

,

P

i

п

-

прямоугольники

)

и

P

i

P

k

=

при

i

6

=

k

,

то

µP

=

m

X

i

=1

µP

k

.

Определение

2.

Множество

A

R

n

назовем

элементар

-

ным

,

если оно представимо в виде объединения конечного чи

-

сла попарно непересекающихся п

-

прямоугольников

.

Лемма

1.

Совокупность элементарных множеств за

-

мкнута относительно операций объединения

,

пересечения и

разности

,

т

.

е

.

объединение

,

пересечение и разность двух эле

-

ментарных множеств также являются элементарными множе

-

ствами

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Ясно

,

что пересечение двух п

-

пря

-

моугольников есть п

-

прямоугольник

.

Поэтому пересечение

двух элементарных множеств является элементарным множе

-

ством

.

Разность двух п

-

прямоугольников является

,

как легко про

-

верить

,

элементарным множеством

.

Отсюда следует

,

что раз

-

ность двух элементарных множеств также является элемен

-

тарным множеством

.


background image

§

18.1.

Определение меры по Жордану

9

Если

A

,

B

элементарные множества

,

то их объединение

можно представить в виде

A

B

= (

A

\

B

)

(

B

\

A

)

(

A

B

)

,

т

.

е

.

в виде объединения трех попарно непересекающихся эле

-

ментарных множеств

.

Отсюда следует

,

что

A

B

элемен

-

тарное множество

.

Определим теперь меру

µA

для элементарного множества

A

=

m

[

k

=1

P

k

,

P

i

P

k

=

при

i

6

=

k,

(

где

P

k

п

-

прямоугольники

)

равенством

µA

B

m

X

k

=1

µP

k

.

Покажем

,

что это определение корректно

,

т

.

е

.

что

µA

не зави

-

сит от способа представления

A

в виде объединения конечного

числа попарно непересекающихся п

-

прямоугольников

.

Пусть

A

=

[

k

P

k

=

[

j

Q

j

,

P

i

P

k

=

,

Q

j

Q

k

=

при

i

6

=

k,

где

P

k

и

Q

j

п

-

прямоугольники

.

Так как пересечение двух

п

-

прямоугольников есть п

-

прямоугольник

,

то в силу аддитив

-

ности меры для п

-

прямоугольников

X

k

µP

k

=

X

k,j

µ

(

P

k

Q

j

) =

X

j

µQ

j

.

В частности

,

если п

-

прямоугольник

P

(1)

представить в

виде

P

=

m

S

k

=1

P

k

,

то мера его как элементарного множества

совпадет с

(2).

Лемма

2.

Пусть

A

,

B

элементарные множества

.

Тогда

1.

(

Монотонность меры

)

0

6

µA

6

µB,

если

A

B.

(3)

2.

(

Полуаддитивность меры

)

µ

(

A

B

)

6

µA

+

µB.

(4)


background image

10

Глава

18.

Мера множеств в

n

-

мерном евклид

.

пространстве

3.

(

Аддитивность меры

)

µ

(

A

B

) =

µA

+

µB,

если

A

B

=

.

(5)

µ

(

A

\

B

) =

µA

µB,

при

B

A.

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о

. (3)

очевидно

.

Установим

(5).

Мно

-

жество

A

B

элементарно в силу леммы

1.

Если

A

=

m

[

k

=1

P

k

,

B

=

r

[

j

=1

Q

j

,

P

k

, Q

j

п

-

прямоугольники

,

P

i

P

k

=

при

i

6

=

k,

Q

i

Q

k

=

при

i

6

=

k,

то

A

B

=

 

m

[

k

=1

P

k

!

r

[

j

=1

Q

j

,

причем

P

k

Q

j

=

k, j

.

Тогда по определению меры элементарного множества

µ

(

A

B

) =

m

X

k

=1

µP

k

+

r

X

j

=1

µQ

j

,

µA

=

m

X

k

=1

µP

k

,

µB

=

r

X

j

=1

µQ

j

,

откуда следует

(5).

Из

(5)

и

(3)

следует

(4):

µ

(

A

B

) =

µ

(

A

\

(

A

B

)) +

µB

6

µA

+

µB.

Из

(5)

следует

(6).

Определение

3.

Пусть

E

R

n

ограниченное множе

-

ство

.

Числа

µ

E

= sup

A

E

µA,

µ

E

= inf

B

E

µB,

где верхняя и нижняя грани берутся по всем элементарным
множествам

A

,

B

(

A

E

,

B

E

),

называются соответ

-

ственно

нижней

(

или

внутренней

)

и

верхней

(

или

внешней

)

мерой Жордана

множества

E

.