ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1537
Скачиваний: 1
Глава
18
МЕРА МНОЖЕСТВ В
n
-
МЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Как и в
§
10.1,
символом
R
n
(
n
∈
N
)
будем обозначать
n
-
мерное евклидово пространство
,
т
.
е
.
множество всевоз
-
можных упорядоченных наборов действительных чисел
x
=
= (
x
1
, . . . , x
n
),
называемых точками
(
с координатами
x
1
, . . . ,
x
n
),
в котором введено понятие расстояния
:
dist(
x, y
)
B
v
u
u
t
n
X
i
=1
(
x
i
−
y
i
)
2
при
x
= (
x
1
, . . . , x
n
),
y
= (
y
1
, . . . , y
n
)
∈
R
n
.
Уже отмечалось
,
что в
R
n
можно ввести сложение
,
x
+
y
B
(
x
1
+
y
1
, . . . , x
n
+
y
n
)
∀
x, y
∈
R
n
,
и умножение на действительное число
λ
,
λx
B
(
λx
1
, . . . , λx
n
)
∀
x
∈
R
n
,
∀
λ
∈
R
.
Операции сложения и умножения на действительное число
обладают теми же свойствами
,
что и операции сложения и
умножения в
R
.
В частности
,
нулевым элементом в
R
n
явля
-
ется
~
0 = (0
, . . . ,
0),
определена разность
(
как операция
,
обрат
-
ная сложению
),
имеющая вид
x
−
y
= (
x
1
−
y
1
, . . . , x
n
−
y
n
)
∀
x, y
∈
R
n
,
и т
.
д
.
Таким образом
,
R
n
превращается в линейное
(
век
-
торное
)
пространство
.
Элементы
(
точки
)
R
n
будем называть
также векторами
.
В
R
n
можно ввести понятие скалярного произведения двух
векторов
:
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
y
i
∀
x, y
∈
R
n
.
Оно согласовано с уже имеющимся понятием расстояния в
R
n
в том смысле
,
что
dist(
x, y
) =
|
x
−
y
|
∀
x, y
∈
R
n
,
§
18.1.
Определение меры по Жордану
7
где
|
x
|
B
s
n
P
i
=1
x
2
i
=
p
(
x, x
) —
длина вектора
x
.
Два вектора
x
,
y
называют
ортогональными
друг другу
(
пишут
x
⊥
y
),
если
(
x, y
) = 0.
Вектор
x
∈
R
n
называют единичным вектором
,
если
|
x
|
= 1.
Единичными
,
например
,
являются векторы
e
i
= (0
, . . . ,
0
,
1
,
0
, . . . ,
0)
∈
R
n
,
(1
6
i
6
n
)
(
единица стоит на
i
-
м месте
).
Набор векторов
e
1
,
e
2
,
. . . ,
e
n
называют ортогональным
базисом единичных векторов
.
Он обладает двумя свойствами
:
1.
◦
e
i
⊥
e
j
при
i
6
=
j
,
2.
◦
x
=
n
P
i
=1
x
i
e
i
∀
x
∈
R
n
.
Последнее равенство называют разложением вектора
x
по ба
-
зису
{
e
i
}
n
1
.
Ортогональный базис
{
e
i
}
n
1
определяет в
R
n
ортогональную
систему координат
.
Точка
~
0
называется началом координат
,
прямые
{
x
:
x
=
te
i
,
−∞
< t <
+
∞}
,
i
= 1
, . . . , n,
—
координатными осями
,
числа
x
1
, . . . ,
x
n
—
координатами
вектора
x
= (
x
1
, . . . , x
n
).
§
18.1.
Определение меры по Жордану
Введем и изучим понятие меры в
R
n
,
обобщающее понятие
длины
(
n
= 1),
площади
(
n
= 2),
объема
(
n
= 3).
Будет изло
-
жена теория меры множеств
,
предложенная Жорданом
.
Определение
1.
Множество
P
= (
a
1
, b
1
]
×
(
a
2
, b
2
]
×
. . .
×
(
a
n
, b
n
]
⊂
R
n
,
(1)
где
a
i
, b
i
∈
R
,
a
i
6
b
i
(
i
=
1
, . . . , n
),
будем назы
-
вать
полуоткрытым прямоугольником
,
или сокращенно
—
п
-
прямоугольником
.
В случае
n
= 1
P
представляет собой полуинтервал или
пустое множество
.
В случае
n
= 2
P
—
прямоугольник без
8
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
левой и нижней сторон или пустое множество
.
В случае
n
=
= 3
P
—
прямоугольный параллелепипед без трех граней или
пустое множество
.
Меру
пустого множества
положим равной нулю
.
Для каждого из п
-
прямоугольников
(1)
определим его меру
равенством
µP
B
n
Y
i
=1
(
b
i
−
a
i
)
.
(2)
Таким образом
,
каждому п
-
прямоугольнику
P
вида
(1)
по
-
ставлено в соответствие число
—
его мера
µP
;
при этом вы
-
полнены следующие условия
:
1.
◦
µP
>
0;
2.
◦
мера
µP
аддитивна
,
т
.
е
.
если
P
=
m
S
k
=1
P
k
(
P
,
P
i
—
п
-
прямоугольники
)
и
P
i
∩
P
k
=
∅
при
i
6
=
k
,
то
µP
=
m
X
i
=1
µP
k
.
Определение
2.
Множество
A
⊂
R
n
назовем
элементар
-
ным
,
если оно представимо в виде объединения конечного чи
-
сла попарно непересекающихся п
-
прямоугольников
.
Лемма
1.
Совокупность элементарных множеств за
-
мкнута относительно операций объединения
,
пересечения и
разности
,
т
.
е
.
объединение
,
пересечение и разность двух эле
-
ментарных множеств также являются элементарными множе
-
ствами
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Ясно
,
что пересечение двух п
-
пря
-
моугольников есть п
-
прямоугольник
.
Поэтому пересечение
двух элементарных множеств является элементарным множе
-
ством
.
Разность двух п
-
прямоугольников является
,
как легко про
-
верить
,
элементарным множеством
.
Отсюда следует
,
что раз
-
ность двух элементарных множеств также является элемен
-
тарным множеством
.
§
18.1.
Определение меры по Жордану
9
Если
A
,
B
—
элементарные множества
,
то их объединение
можно представить в виде
A
∪
B
= (
A
\
B
)
∪
(
B
\
A
)
∪
(
A
∩
B
)
,
т
.
е
.
в виде объединения трех попарно непересекающихся эле
-
ментарных множеств
.
Отсюда следует
,
что
A
∪
B
—
элемен
-
тарное множество
.
Определим теперь меру
µA
для элементарного множества
A
=
m
[
k
=1
P
k
,
P
i
∩
P
k
=
∅
при
i
6
=
k,
(
где
P
k
—
п
-
прямоугольники
)
равенством
µA
B
m
X
k
=1
µP
k
.
Покажем
,
что это определение корректно
,
т
.
е
.
что
µA
не зави
-
сит от способа представления
A
в виде объединения конечного
числа попарно непересекающихся п
-
прямоугольников
.
Пусть
A
=
[
k
P
k
=
[
j
Q
j
,
P
i
∩
P
k
=
∅
,
Q
j
∩
Q
k
=
∅
при
i
6
=
k,
где
P
k
и
Q
j
—
п
-
прямоугольники
.
Так как пересечение двух
п
-
прямоугольников есть п
-
прямоугольник
,
то в силу аддитив
-
ности меры для п
-
прямоугольников
X
k
µP
k
=
X
k,j
µ
(
P
k
∩
Q
j
) =
X
j
µQ
j
.
В частности
,
если п
-
прямоугольник
P
(1)
представить в
виде
P
=
m
S
k
=1
P
k
,
то мера его как элементарного множества
совпадет с
(2).
Лемма
2.
Пусть
A
,
B
—
элементарные множества
.
Тогда
1.
◦
(
Монотонность меры
)
0
6
µA
6
µB,
если
A
⊂
B.
(3)
2.
◦
(
Полуаддитивность меры
)
µ
(
A
∪
B
)
6
µA
+
µB.
(4)
10
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
3.
◦
(
Аддитивность меры
)
µ
(
A
∪
B
) =
µA
+
µB,
если
A
∩
B
=
∅
.
(5)
µ
(
A
\
B
) =
µA
−
µB,
при
B
⊂
A.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о
. (3)
очевидно
.
Установим
(5).
Мно
-
жество
A
∪
B
элементарно в силу леммы
1.
Если
A
=
m
[
k
=1
P
k
,
B
=
r
[
j
=1
Q
j
,
P
k
, Q
j
—
п
-
прямоугольники
,
P
i
∩
P
k
=
∅
при
i
6
=
k,
Q
i
∩
Q
k
=
∅
при
i
6
=
k,
то
A
∪
B
=
m
[
k
=1
P
k
!
∪
r
[
j
=1
Q
j
,
причем
P
k
∩
Q
j
=
∅
∀
k, j
.
Тогда по определению меры элементарного множества
µ
(
A
∪
B
) =
m
X
k
=1
µP
k
+
r
X
j
=1
µQ
j
,
µA
=
m
X
k
=1
µP
k
,
µB
=
r
X
j
=1
µQ
j
,
откуда следует
(5).
Из
(5)
и
(3)
следует
(4):
µ
(
A
∪
B
) =
µ
(
A
\
(
A
∩
B
)) +
µB
6
µA
+
µB.
Из
(5)
следует
(6).
Определение
3.
Пусть
E
⊂
R
n
—
ограниченное множе
-
ство
.
Числа
µ
∗
E
= sup
A
⊂
E
µA,
µ
∗
E
= inf
B
⊃
E
µB,
где верхняя и нижняя грани берутся по всем элементарным
множествам
A
,
B
(
A
⊂
E
,
B
⊃
E
),
называются соответ
-
ственно
нижней
(
или
внутренней
)
и
верхней
(
или
внешней
)
мерой Жордана
множества
E
.