ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1489
Скачиваний: 1
§
28.1.
Пространства
D
,
D
0
основных и обобщенных функций
201
1.
◦
(
αf
+
βg, ϕ
) =
α
(
f, ϕ
) +
β
(
g, ϕ
),
f, g
∈
D
0
,
α, β
∈
R
,
ϕ
∈
D
;
2.
◦
последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
,
f
k
∈
D
0
∀
k
∈
N
,
называ
-
ется сходящейся в
D
0
к
f
∈
D
0
при
k
→ ∞
,
если
(
f
k
, ϕ
)
→
(
f, ϕ
)
при
k
→ ∞
∀
ϕ
∈
D.
Сходимость в
D
0
записывается в виде
f
k
→
f
в
D
0
при
k
→ ∞
.
Приведем некоторые примеры
.
Пример
1.
При
∀
a >
0
функция
ϕ
(
x
) =
e
a
2
x
2
−
a
2
при
|
x
|
< a,
0
при
|
x
|
>
0
∈
C
∞
0
(
ср
.
с примером функции
ϕ
из начала
§
17.3).
Этот пример показывает
,
что
C
∞
0
содержит функции
,
от
-
личные от тождественного нуля
.
Пример
2.
Пусть функция
f
:
R
→
R
локально абсо
-
лютно интегрируема
(
т
.
е абсолютно интегрируема на каждом
отрезке
[
a, b
]
⊂
(
−∞
,
+
∞
)).
Тогда функционал
,
определенный
равенством
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
∀
ϕ
∈
D,
(1)
является обобщенной функцией
,
т
.
е
.
элементом
D
0
.
Определение
7.
Обобщенная функция называется
регу
-
лярной
,
если ее значения на
∀
ϕ
∈
D
представимы в виде
(1)
с
некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией
f
.
В противном случае обобщенная функция называется
син
-
гулярной
.
Регулярная обобщенная функция
,
определяемая форму
-
лой
(1),
обозначается тем же символом
f
и отождествляется с
локально абсолютно интегрируемой функцией
f
.
Можно ска
-
зать
,
таким образом
,
что
D
0
содержит все локально абсолютно
интегрируемые функции
.
202
Глава
28.
Обобщенные функции
Пример
3.
δ
-
функция
,
определяемая формулой
(
δ, ϕ
) =
ϕ
(0)
∀
ϕ
∈
D,
является сингулярной обобщенной функцией
.
Покажем это
.
Допустив противное
,
предположим
,
что
δ
-
функция является
регулярной обобщенной функцией
,
т
.
е
.
что при некоторой ло
-
кально абсолютно интегрируемой функции
f
(
δ, ϕ
) =
Z
∞
−∞
f
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
∀
ϕ
∈
D.
Тогда для
ϕ
из примера
1
Z
a
−
a
f
(
x
)
e
a
2
x
2
−
a
2
dx
=
ϕ
(0) =
e
−
1
∀
a
∈
(0
,
1)
.
Но это равенство не выполняется при малых значениях
a
,
т
.
к
.
его левая часть ограничена интегралом
Z
a
−
a
|
f
(
x
)
|
dx
→
0
при
a
→
0 + 0
.
Следовательно
,
δ
-
функция не является регулярной
,
а зна
-
чит
,
является сингулярной обобщенной функцией
.
Пример
4.
Последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
неотрицательных
абсолютно интегрируемых на
(
−∞
,
+
∞
)
функций называется
δ
-
образной последовательностью
,
если
1.
◦
R
+
∞
−∞
f
k
(
x
)
dx
= 1
∀
k
∈
N
;
2.
◦
lim
k
→∞
R
+
ε
−
ε
f
k
(
x
)
dx
= 1
∀
ε >
0.
Примером
δ
-
образной последовательности функций явля
-
ется последовательность функций
f
k
(
x
) =
1
2
k
при
|
x
|
6
1
k
,
0
при
|
x
|
>
1
k
.
Упражнение
1.
Показать
,
что если
{
f
k
}
∞
k
=1
—
δ
-
образная
последовательность
,
то
f
k
→
δ
в
D
0
при
k
→ ∞
,
§
28.2.
Дифференцирование обобщенных функций
203
т
.
е
. (
в соответствии с определением сходимости в
D
0
)
Z
∞
−∞
f
k
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
→
ϕ
(0)
при
k
→ ∞
∀
ϕ
∈
D.
§
28.2.
Дифференцирование обобщенных функций
Если
функция
f
непрерывно
дифференцируема
на
(
−∞
,
+
∞
),
то для
∀
ϕ
∈
D
Z
+
∞
−∞
f
0
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
=
−
Z
∞
−∞
f
(
x
)
ϕ
0
(
x
)
dx.
Это соотношение делает естественным следующее
Определение
1.
Пусть
f
∈
D
0
.
Обобщенная функция
f
0
,
задаваемая формулой
(
f
0
, ϕ
)
B
−
(
f, ϕ
0
)
∀
ϕ
∈
D,
(1)
называется
производной
обобщенной функции
f
.
Читателю предлагается проверить
,
что функционал
,
стоя
-
щий в правой части
(1),
является линейным и непрерывным
на
D
,
т
.
е
.
обобщенной функцией
.
Переход от обобщенной функции к ее производной называ
-
ется
операцией дифференцирования
.
Теорема
1.
Справедливы следующие свойства операции
дифференцирования
:
1.
◦
линейность
,
т
.
е
.
(
αf
+
βg
)
0
=
αf
0
+
βg
0
∀
f, g
∈
D
0
,
∀
α, β
∈
R
;
2.
◦
непрерывность
,
т
.
е
.
при
k
→ ∞
f
k
→
f
в
D
0
⇒
f
0
k
→
f
0
в
D
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. 1
◦
.
Для
∀
ϕ
∈
D
имеем
((
αf
+
βg
)
0
, ϕ
) =
−
(
αf
+
βg, ϕ
0
) =
−
α
(
f, ϕ
0
)
−
β
(
g, ϕ
0
) =
=
α
(
f
0
, ϕ
) +
β
(
g
0
, ϕ
) = (
αf
0
+
βg
0
, ϕ
)
.
2
◦
.
Пусть при
k
→ ∞
f
k
→
f
в
D
0
.
Тогда для
∀
ϕ
∈
D
(
f
0
k
, ϕ
) =
−
(
f
k
, ϕ
0
)
→ −
(
f, ϕ
0
) = (
f
0
, ϕ
)
.
204
Глава
28.
Обобщенные функции
Пример
1.
Пусть
θ
—
функция Хевисайда
θ
(
x
) =
(
0
при
x <
0
,
1
при
x
>
0
.
Рассматривая
θ
как обобщенную функцию
,
найдем ее про
-
изводную
.
Пусть
ϕ
∈
D
.
Тогда
(
θ
0
, ϕ
) =
−
(
θ, ϕ
0
) =
−
Z
+
∞
0
ϕ
0
(
x
)
dx
=
ϕ
(0) = (
δ, ϕ
)
.
Следовательно
,
θ
0
=
δ
.
Определение
2.
Пусть
f
∈
D
0
,
n
∈
N
.
Обобщенная функ
-
ция
f
(
n
)
,
задаваемая формулой
(
f
(
n
)
, ϕ
)
B
(
−
1)
n
(
f, ϕ
(
n
)
)
∀
ϕ
∈
D,
(2)
называется производной порядка
n
от обобщенной функции
f
.
Так же
,
как для
n
= 1,
проверяется
,
что функционал
(
f, ϕ
(
n
)
)
из правой части
(2)
является линейным и непрерыв
-
ным на
D
,
т
.
е
.
обобщенной функцией
.
Упражнение
1.
Вычислить вторую производную функ
-
ции
f
(
x
) =
|
x
|
.
Мы видим
,
что каждую обобщенную функцию
f
(
∈
D
0
)
можно дифференцировать и притом сколько угодно раз
,
а ее
производная
f
(
n
)
любого порядка
n
также является обобщен
-
ной функцией
(
элементом
D
0
).
Определение
3.
Пусть
f
k
∈
D
0
∀
k
∈
N
.
Ряд
∞
P
k
=1
f
k
называется
рядом обобщенных функций
.
Этот ряд называется
сходящимся
в
D
0
к
f
∈
D
0
,
если
S
n
B
n
X
k
=1
f
k
→
f
в
D
0
при
n
→ ∞
.
При этом пишут
∞
X
k
=1
f
k
=
f.
(3)
§
28.3.
Пространства
S
,
S
0
основных и обобщенных функций
205
Из непрерывности операции дифференцирования
(
свойство
2
◦
теоремы
1)
следует
,
что всякий сходящийся в
D
0
ряд обоб
-
щенных функций
(3)
можно почленно дифференцировать
:
∞
X
k
=1
f
0
k
=
f
0
,
и полученный ряд также будет сходиться в
D
0
.
Определение
4.
Пусть
f
∈
D
0
и функция
λ
бесконечно
дифференцируема на
(
−∞
,
+
∞
).
Произведением
λf
называ
-
ется обобщенная функция
,
задаваемая формулой
(
λf, ϕ
)
B
(
f, λϕ
)
∀
ϕ
∈
C
∞
0
.
Упражнение
2.
Показать
,
что
λf
—
линейный непрерыв
-
ный функционал на
D
,
т
.
е
.
обобщенная функция из
D
0
.
§
28.3.
Пространства
S
,
S
0
основных и
обобщенных функций
Наряду с парой
D
,
D
0
основных и обобщенных функций
важнейшей в математическом анализе и теории дифферен
-
циальных уравнений в частных производных является пара
пространств
S
,
S
0
(
называемых пространствами Л
.
Шварца
)
основных и обобщенных функций
.
Эти пространства замеча
-
тельны тем
,
что они инвариантны относительно преобразова
-
ния Фурье
:
ϕ
∈
S
⇒
F
[
ϕ
]
∈
S,
f
∈
S
0
⇒
F
[
f
]
∈
S
0
.
Определение
1.
Линейным пространством
S
называется
множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых
на
(
−∞
,
+
∞
)
функций
ϕ
,
для которых конечна каждая из по
-
лунорм
k
ϕ
k
n,m
B
sup
−∞
<x<
+
∞
|
x
n
ϕ
(
m
)
(
x
)
|
<
∞
∀
n, m
∈
N
0
,
(1)
при естественном определении сложения функций и умножения
функции на комплексное число
.