ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1493
Скачиваний: 1
196
Глава
27.
Интеграл Фурье и преобразование Фурье
2.
◦
ˆ
f
=
F
[
f
] —
непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
),
ˆ
f
(
y
)
→
0
при
y
→ ±∞
,
3.
◦
ˆ
f
—
ограничена на
(
−∞
,
+
∞
).
Д о к а з а т е л ь с т в о
. 1
◦
.
Линейность преобразования
Фурье следует из линейности несобственного интеграла
.
2
◦
следует из леммы
27.1.2,
т
.
к
.
√
2
π
ˆ
f
(
y
) =
a
(
y
) +
ib
(
y
).
3
◦
является следствием
2
◦
или устанавливается простой
оценкой
sup
−∞
<y<
+
∞
|
ˆ
f
(
y
)
|
6
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
|
f
(
x
)
|
dx <
∞
.
Изучим преобразование Фурье производных и производные
преобразования Фурье
.
Теорема
2.
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема
на
(
−∞
,
+
∞
)
и
f
0
непрерывна и абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
.
Тогда
F
[
f
0
](
y
) = (
iy
)
F
[
f
](
y
)
,
y
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Представим функцию
f
в виде
f
(
x
) =
f
(0) +
Z
x
0
f
0
(
t
)
dt.
Из сходимости интеграла
R
+
∞
0
f
0
(
t
)
dt
следует существова
-
ние пределов
lim
x
→
+
∞
f
(
x
),
lim
x
→−∞
f
(
x
).
Они не могут быть от
-
личными от нуля в силу сходимости интеграла
R
∞
−∞
|
f
(
x
)
|
dx
.
С помощью интегрирования по частям получаем
F
[
f
0
](
y
) =
1
√
2
π
Z
∞
−∞
f
0
(
x
)
e
−
ixy
dx
=
=
1
√
2
π
f
(
x
)
e
−
ixy
+
∞
x
=
−∞
+
iy
√
2
π
Z
∞
−∞
f
(
x
)
e
−
ixy
dy
=
iyF
[
f
](
y
)
.
§
27.2.
Преобразование Фурье
197
Следствие
1.
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема
на
(
−∞
,
+
∞
)
вместе со своими производными до порядка
n
включительно и
f
(
n
)
—
непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
)
.
Тогда
F
[
f
(
n
)
](
y
) = (
iy
)
n
F
[
f
](
y
)
,
при
y
∈
(
−∞
,
+
∞
)
,
(6)
|
F
[
f
](
y
)
|
6
M
|
y
|
n
,
где
M
=
sup
(
−∞
,
+
∞
)
|
F
[
f
(
n
)
]
|
.
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о равенства
(5)
сводится к последо
-
вательному применению
n
раз теоремы
2.
Оценка
(7)
следует
из равенства
(6).
Теорема
3.
Пусть функция
f
непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
)
,
а функция
f
1
(
f
1
(
x
) =
xf
(
x
)
)
абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
.
Тогда
d
dy
F
[
f
](
y
) =
F
[
−
if
1
](
y
) =
F
[
−
ixf
(
x
)](
y
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Дифференцируя первый из инте
-
гралов
(4)
по параметру
y
,
получаем на основании тео
-
ремы
26.3.7
d
dy
F
[
f
](
y
) =
1
√
2
π
d
dy
Z
∞
−∞
f
(
x
)
e
−
iyx
dx
=
=
1
√
2
π
Z
∞
−∞
(
−
ix
)
f
(
x
)
e
−
iyx
dx.
Заметим
,
что последний интеграл сходится равномерно на
(
−∞
,
+
∞
)
по признаку Вейерштрасса с мажорантой
ϕ
(
x
) =
=
|
xf
(
x
)
|
.
Следствие
2.
Пусть функция
f
непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
)
,
а функция
f
n
(
f
n
(
x
) =
x
n
f
(
x
)
)
при некотором
n
∈
N
абсолютно
интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
.
Тогда при
y
∈
(
−∞
,
+
∞
)
суще
-
ствует
d
n
dy
n
F
[
f
](
y
) =
F
[(
−
i
)
n
f
n
](
y
) =
F
[(
−
ix
)
n
f
(
x
)](
y
)
.
Глава
28
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§
28.1.
Пространства
D
,
D
0
основных
и обобщенных функций
Понятие обобщенной функции обобщает классическое по
-
нятие функции и дает возможность выразить в математиче
-
ской форме такие понятия
,
как плотность материальной точки
,
плотность точечного заряда
,
интенсивность мгновенного то
-
чечного источника и т
.
п
.
Реально можно измерить лишь сред
-
нюю плотность вещества в данной точке
.
Обобщенная функ
-
ция определяется своими средними значениями в окрестности
каждой точки
.
Возьмем
,
например
,
стержень
,
совпадающий
с отрезком
[
−
1
,
1]
действительной прямой
.
Пусть требуется
охарактеризовать его плотность
,
создаваемую материальной
точкой массы
1,
расположенной в точке
x
= 0.
Будем считать
сначала
,
что эта масса равномерно распределена на отрезке
h
−
ε
2
,
ε
2
i
,
где
ε >
0
мало
.
Тогда плотность стержня
δ
ε
(
x
)
зада
-
ется формулой
δ
ε
(
x
) =
(
1
ε
при
|
x
|
6
ε
2
,
0
при
|
x
|
>
ε
2
.
Как видим
,
масса стержня
m
=
Z
ε/
2
−
ε/
2
δ
ε
(
x
)
dx
= 1
.
Перейдем к пределу при
ε
→
0.
Тогда получим «функцию»
δ
(
x
)
B
lim
ε
→
0
δ
ε
(
x
) =
(
+
∞
при
x
= 0
,
0
при
x
6
= 0
.
В то же время хотелось бы
,
чтобы
Z
1
−
1
δ
(
x
)
dx
= 1
.
§
28.1.
Пространства
D
,
D
0
основных и обобщенных функций
199
Как видим
,
наши требования к предельной «функции»
δ
(
x
)
противоречивы
,
если понимать их в классических математи
-
ческих терминах
.
Этот
(
в частности
)
вопрос разрешим в рам
-
ках теории обобщенных функций
,
созданной С
.
Л
.
Соболевым
и Л
.
Шварцем
.
В рассмотренном примере можно использованное понятие
поточечного предельного перехода заменить другим
.
Если
ϕ
—
произвольная непрерывная на
(
−∞
,
+
∞
)
функция
,
то суще
-
ствует
lim
ε
→
0
Z
+
∞
−∞
δ
ε
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
=
ϕ
(0)
.
Формально это записывают так
:
(
δ, ϕ
) =
ϕ
(0)
или
Z
+
∞
−∞
δ
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx
=
ϕ
(0)
.
Отображение
,
которое каждой функции некоторого класса
ставит в соответствие число
,
называется
функционалом
.
По
-
следнее равенство означает
,
что
δ
(
x
) —
функционал
,
опреде
-
ленный на множестве всех непрерывных на
(
−∞
,
+
∞
)
функ
-
ций и ставящий в соответствие каждой непрерывной функции
ее значение в точке
0.
Функционал
δ
(
x
)
называют
δ
-
функцией
Дирака
.
Функцию
δ
ε
(
x
)
также можно рассматривать как функ
-
ционал на множестве всех непрерывных функций
,
действую
-
щий по формуле
ϕ
→
Z
∞
−∞
δ
ε
(
x
)
ϕ
(
x
)
dx,
в которой интеграл можно понимать как интеграл Римана
по отрезку
h
−
ε
2
,
ε
2
i
,
а предельный переход
δ
ε
→
δ
(
называ
-
емый слабой сходимостью
)
понимать как предельный переход
на множестве функционалов
.
Перейдем к точным формулировкам
.
Будем далее рассма
-
тривать лишь одномерный случай
.
Функция
f
:
R
→
R
называется
финитной
,
если
f
= 0
вне
некоторого отрезка
.
200
Глава
28.
Обобщенные функции
Носителем функции
f
:
R
→
R
называется замыкание мно
-
жества точек
x
∈
R
,
в которых
f
(
x
)
6
= 0.
Он обозначается
символом
supp
f
.
В силу данных определений функция
f
:
R
→
R
финитна
тогда и только тогда
,
когда ее носитель компактен
(
т
.
е
.
явля
-
ется замкнутым ограниченным множеством
).
Символом
C
∞
0
обозначается множество бесконечно диффе
-
ренцируемых финитных функций
.
Оно является линейным пространством при естественном
определении операций сложения функций и умножения функ
-
ции на число
.
Введем в
C
∞
0
понятие сходимости
.
Определение
1.
Последовательность
{
ϕ
k
}
∞
k
=1
функций
ϕ
k
∈
C
∞
0
называется
сходящейся к функции
ϕ
∈
C
∞
0
,
если
1.
◦
∃
[
a, b
]: supp
ϕ
k
⊂
[
a, b
]
∀
k
∈
N
,
2.
◦
sup
|
ϕ
(
s
)
k
−
ϕ
(
s
)
| →
0
при
k
→ ∞
,
∀
s
∈
N
0
.
Определение
2.
Линейное пространство
C
∞
0
с введенным
определением
1
понятием сходимости называется
простран
-
ством
D
основных функций
.
Пусть
f
—
функционал на пространстве
D
основных функ
-
ций
.
Значение
f
на
ϕ
∈
D
обозначается через
(
f, ϕ
).
Определение
3.
Функционал
f
на
D
называется линей
-
ным
,
если
(
f, αϕ
+
βψ
) =
α
(
f, ϕ
) +
β
(
f, ψ
)
∀
ϕ, ψ
∈
D,
∀
α, β
∈
R
.
Определение
4.
Функционал
f
на
D
называется непре
-
рывным
,
если при
k
→ ∞
из
ϕ
k
→
ϕ
в
D
следует
(
f, ϕ
k
)
→
(
f, ϕ
)
.
Определение
5.
Всякий линейный непрерывный функци
-
онал на
D
называется обобщенной функцией
.
Определение
6.
Пространством обобщенных функций
D
0
называется множество
(
линейное пространство
)
всех обобщен
-
ных функций с введенными в нем операциями сложения
,
умно
-
жения на число и сходимостью по следующим правилам
: