ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 954
Скачиваний: 2
11
Ранг линейного оператора
81
Задача 11.1.
(
e
1
, . . . , e
n
)
— базис пространства
E
.
Векторы
f
1
:=
A
e
1
, . . . , f
r
:=
A
e
r
образуют базис в
Im
A
. Допол-
ним эту систему векторами
f
r
+1
, . . . , f
m
до базиса в
F
. Матрица
A
ef
оператора
A
в построенных базисах такова:
A
ef
=
1 0
. . .
0 0
. . .
0
0 1
. . .
0 0
. . .
0
..
.
..
.
· · ·
..
.
..
.
· · ·
..
.
0 0
. . .
1 0
. . .
0
0 0
. . .
0 0
. . .
0
..
.
..
.
· · ·
..
.
..
.
· · ·
..
.
0 0
. . .
0 0
. . .
0
=
I
r
0
0
0
.
(34)
Очевидно, что
rk A
ef
=
r
=
rk
A
(в матрице
A
ef
есть единственный
ненулевой минор порядка
r
а любой минор порядка
r
+ 1
содержит ну-
левую строку и поэтому равен 0).
Задача 11.2.
Матрица оператора
A
в любых базисах имеет ранг
rk
A
.
Для вида матрицы (34) интересны следующие частные случаи.
1.
r
=
m
. Матрица (34) выглядит следующим образом:
A
ef
=
1 0
. . .
0 0
. . .
0
0 1
. . .
0 0
. . .
0
..
.
..
.
· · ·
..
.
..
.
· · ·
..
.
0 0
. . .
1 0
. . .
0
=
I
r
0
.
(35)
2.
r
=
n
. Матрица (34) имеет вид
A
ef
=
1 0
. . .
0
0 1
. . .
0
..
.
..
.
· · ·
..
.
0 0
. . .
1
0 0
. . .
0
..
.
..
.
· · ·
..
.
0 0
. . .
0
=
I
r
0
.
(36)
Контрольное упражнение 11.1.
Матрица линейного оператора в
некоторых базисах имеет вид (35) тогда и только тогда, когда этот
оператор является эпиморфизмом. Матрица линейного оператора в
некоторых базисах имеет вид (36) тогда и только тогда, когда этот
оператор является мономорфизмом.
11
Ранг линейного оператора
82
Теорема 11.2
(критерий изоморфности линейного оператора)
.
Пусть
E
и
F
— линейные пространства, и
dim E
=
dim F
. Линейный опера-
тор
A
:
E
→
F
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда
определитель его матрицы в произвольных базисах не равен 0:
det A
ef
6
= 0
.
Контрольное упражнение 11.2.
Доказать теорему
(
Указание
:
теорема быстро следует из утверждений задачи 11.2 и упражнения
11.1).
11.2
Взгляд на системы линейных уравнений с точки зре-
ния теории линейных операторов
Рассмотрим уравнение
ax
+
by
=
c
(
a, b, c
∈
R
, x, y
— неизвестные). Как известно, оно определяет прямую
в плоскости
x, y
, если только
a
2
+
b
2
6
= 0
. Две прямые на плоскости
могут пересекаться в одной точке, совпадать или быть параллельными:
на языке уравнений это означает, что система
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
имеет единственное решение
(
x
0
, y
0
)
(координаты точки пересечения),
бесконечное множество решений (прямая), или вовсе не имеет решений.
Теперь рассмотрим систему линейных уравнений общего вида
a
11
x
1
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
· · ·
a
m
1
x
1
+
· · ·
+
a
mn
x
n
=
b
m
.
Ее можно записать в форме
Ax
=
b,
где
A
= (
a
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
—
матрица системы
,
x
= (
x
1
, . . . x
n
)
T
—
вектор
неизвестных
,
b
= (
b
1
, . . . b
m
)
T
—
вектор правой части
.
Система с нулевой правой частью
Ax
=
θ
(37)
называется
однородной
. Она всегда имеет решение
x
=
θ
. Множество
всех решений (37) — это ядро оператора
A
. Напомним, что
Ker
A
—
подпространство в
R
n
.
11
Ранг линейного оператора
83
Базис пространства решений однородной системы называется
фун-
даментальной системой решений
. Если
rk A
=
r
, то фундаментальная
система решений состоит из
n
−
r
векторов
x
1
, . . . , x
n
−
r
, и любое другое
решение записывается в виде
x
=
n
−
r
X
j
=1
λ
j
x
j
,
(38)
где
λ
1
, . . . , λ
n
−
r
произвольны. Формулу (38) назовем
формулой общего
решения
однородной системы.
Рассмотрим теперь неоднородную систему
Ax
=
b, b
6
=
θ.
(39)
Она разрешима в том и только том случае, когда
b
∈
Im A
.
Пусть
b
∈
Im
A
, и
x
0
∈
R
n
— некоторое конкретное решение систе-
мы (39):
Ax
0
=
b
. Тогда для любого другого решения
b
x
верно равенство
A
(
b
x
−
x
0
) =
b
−
b
=
θ
. Следовательно, произвольное решение
b
x
пред-
ставляется в виде
b
x
=
x
0
+
x
, где
x
— произвольное решение однород-
ной системы. Если
{
x
1
, . . . , x
n
−
r
}
— фундаментальная система решений
однородной системы (37), то общее решение
b
x
системы (39) дается фор-
мулой
b
x
=
x
0
+
n
−
r
X
j
=1
λ
j
x
j
,
(40)
в которой
x
0
называется
частным решением
.
12
Собственные значения и собственные векторы
84
12
Собственные значения и собственные векто-
ры линейных операторов
Не умеешь сам – научи другого.
Неизвестный мыслитель
прошлого тысячелетия.
Теория собственных векторов и собственных значений линейных
операторов очень активно эксплуатируется как в математических
дисциплинах (теория дифференциальных уравнений), так и в фи-
зике (для обслуживания которой, впрочем, и существует теория
дифференциальных уравнений). Все встречались с выражением
“собственная частота колебаний”, а между тем в этом выражении
как раз имеется в виду собственное значение некоторого линейного
оператора. Из учебников, которые могут помочь в изучении данной
темы, укажу на [1], [2], [3].
12.1
Определения
Пусть
A
:
E
→
E
— линейный оператор.
Определение.
Пусть для некоторого
λ
∈
R
и некоторого ненуле-
вого вектора
x
∈
E
выполняетя равенство
A
x
=
λx.
(41)
Тогда число
λ
называется
собственным значением
оператора
A
, а век-
тор
x
—
собственным вектором
оператора
A
, соответствующим соб-
ственному значению
λ
.
Примеры.
1. Оператор умножения на константу
A
c
:
E
→
E
,
A
c
x
=
cx
. Из
определения этого оператора следует, что все ненулевые векторы
являются для него собственными с собственным значением
c
.
2. Оператор поворота
R
ϕ
:
R
2
→
R
2
. Из геометрических соображе-
ний (см. рис. 7.3) ясно, что при любом
ϕ
, не являющимся целым
кратным
π
, ни один вектор плоскости не является собственным для
R
ϕ
.
3. Проекция
π
1
:
R
2
→
R
2
,
π
1
x
1
x
2
=
x
1
0
.
Переписывая равен-
ство
π
1
x
=
λx
в координатах:
x
1
0
=
λx
1
λx
2
,
12
Собственные значения и собственные векторы
85
мы видим, что оно выполняется (при
ϕ
6
=
kπ, k
∈
Z
) ровно в
двух следующих случаях: (1)
x
2
= 0
, λ
= 1
, (2)
x
1
= 0
, λ
= 0
.
То есть собственными векторами проектора являются, во-первых,
“горизонтальные” векторы вида
(
x
1
0)
T
с собственным значением
1
,
и, во-вторых, “вертикальные” векторы вида
(0
x
2
)
T
с собственным
значением
0
.
К тому же выводу легко придти, рассматривая рис. 7.2.
Мы определили понятие “собственный вектор” только для ненулевых
векторов. А что же нулевой вектор? Определение с помощью формулы
(41) для него не годится, потому что оказывается бессодержательным:
равенство
A
θ
=
λθ
выполняется для
любого
оператора
A
и
любого
λ
.
Поэтому нулевой вектор находится на особом положении: сам он соб-
ственным не считается, но его удобно включать в “компанию” ненулевых
собственных векторов, как показывает следующее утверждение.
Теорема 12.1.
Пусть
λ
— собственное значение оператора
A
:
E
→
E
.
Множество
E
λ
:=
{
x
∈
E
:
A
x
=
λx
}
является подпространством в
E
.
Замечание.
Множество
E
λ
, по определению, содержит нулевой век-
тор и все собственные векторы оператора
A
.
Доказательство.
Пусть
x, y
∈
E
λ
, c
∈
R
. Тогда
A
(
x
+
y
) =
A
x
+
A
y
=
λx
+
λy
=
λ
(
x
+
y
)
⇒
x
+
y
∈
E
λ
,
A
(
cx
) =
c
A
x
=
c λx
=
λ
(
cx
)
⇒
cx
∈
E
λ
.
Теорема доказана.
Множество
E
λ
, определенное в теореме, называется
собственным
подпространством
оператора
A
, соответствующим собственному зна-
чению
λ
.
12.2
Характеристическое уравнение
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении собственных значений и соб-
ственных векторов для произвольного линейного оператора
A
:
E
→
E, dim E
=
n
.
Зафиксируем произвольное число
λ
. Если
λ
не
является собственным
значением, то равенство (41), понимаемое как уравнение относительно
x
, которое мы перепишем в виде
(
A −
λI
)
x
=
θ
(42)
(здесь
I
— единичный оператор
E
→
E
), имеет
только
нулевое решение.
Напротив, если
λ
— собственное значение, то уравнение (42) имеет нену-
левые решения. Это означает, что
λ
является собственным значением
оператора
A
тогда и только тогда, когда
Ker
(
A −
λI
)
6
=
{
θ
}