ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 976
Скачиваний: 2
2
Полиномы. Комплексные числа
21
2.8
Многочлены от нескольких переменных
Полином (многочлен)
от переменных
x
1
, . . . , x
s
— это конечная сумма
мономов
вида
ax
k
1
1
·
. . .
·
x
k
s
s
(
a
— константа).
Степенью
, или
порядком
монома
ax
k
1
1
·
. . .
·
x
k
s
s
объявляется число
k
1
+
. . .
+
k
s
, степенью многочлена
— наибольшая степень входящих в него мономов.
Пример.
x
4
1
+ 2
x
1
x
2
2
— полином степени 4 от переменных
x
1
, x
2
;
x
3
−
2
x
2
y
2
+ 10
y
3
— полином от переменных
x, y
степени 4;
xyz
−
w
2
—
полином от переменных
x, y, z, w
степени 3.
3
Кривые второго порядка на плоскости
22
3
Кривые второго порядка на плоскости
Человек образованный – тот, кто знает, где
найти то, чего он не знает.
Георг Зиммель, немецкий социолог.
Этот раздел — единственный в нашем курсе, который целиком и
полностью принадлежит дисциплине, называемой
Аналитической
Геометрией
. Аналитическая геометрия изучает свойства кривых
2
на плоскости и поверхностей
3
в пространстве, оперируя
уравнени-
ями
этих кривых и поверхностей. Следовательно, основой анали-
тической геометрии является координатный метод. За знаниями в
области аналитической геометрии можно обратиться к книгам [1],
[3], [6], [7], [8], [9], [10], [15], [16], [21] и многим другим, которые не
попали в наш библиографический список.
Рассмотрим плоскость со стандартной прямоугольной системой ко-
ординат
(
x, y
)
.
Определение.
Кривой второго порядка
на плоскости называется
множество решений уравнения
Ax
2
+
Bxy
+
Cy
2
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0
,
(7)
где
A, B, C, D, E, F
— числа,
A
2
+
B
2
+
C
2
>
0
.
Контрольный вопрос 3.1.
В чем смысл условия
A
2
+
B
2
+
C
2
>
0
?
Примеры.
1. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат —
кривая второго порядка, определяемая уравнением
x
2
+
y
2
−
1 = 0
.
2. График квадратичной функции
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(парабола) — это
тоже кривая второго порядка.
Нашей задачей в этом разделе будет выяснить, какой вид могут
иметь кривые второго порядка, то есть — построить их классификацию.
Для этого, рассмотрев общее уравнение (7), постараемся упростить его.
Пример.
На рис. 3.1 изображена кривая, уравнение которой в си-
стеме координат
(
x, y
)
выглядит отнюдь не приятно:
x
2
−
2
√
3
xy
+ 3
y
2
−
6
x
+ (6
√
3
−
8)
y
+ 14 = 0
.
2
В том числе — прямых. В математике объект, именуемый
прямой
, во многих
случаях случаев является частным случаем
кривой
.
3
В том числе — плоскостей.
3
Кривые второго порядка на плоскости
23
Рис. 3.1.
Но по уравнению в координатах
(
x
′
, y
′
) :
x
′
= (
y
′
)
2
в этой кривой легко узнать параболу.
Этот пример может подсказать общий метод упрощения уравнения
кривой второго порядка: нужно
двигать систему координат.
Можно
представлять себе кривую нарисованной на листе бумаги, а систему ко-
ординат — нанесенной на прозрачную пленку, которая лежит поверх
бумаги. Вот эту-то пленку мы и будем двигать, чтобы привести уравне-
ние (7) к наиболее удобному виду. Слово «движение» в данном контек-
сте является математическим термином — у него вполне определенный
смысл. Именно, с пленкой мы обязаны обходиться как с твердым телом:
растягивать и сжимать ее нельзя (это исказило бы форму кривой, да и
уравнение могло бы в этом случае утратить форму (7), то есть кривая
перестала бы быть кривой второго порядка). В рассмотренном примере
с параболой упрощение уравнения при переходе от координат
x, y
к ко-
ординатам
x
′
, y
′
достигается, во-первых, переносом начала координат в
удобную точку — вершину параболы, и, во-вторых, таким поворотом си-
стемы координат, после которого одна из координатных осей совпадает
с осью симметрии параболы.
Задача 3.1.
Доказать, что любое движение плоскости можно реали-
зовать, выполнив всего два действия — поворот вокруг начала коорди-
нат и параллельный перенос.
Очевидно, что при параллельном переносе начала координат в точку
(
a, b
)
старые
(
x, y
)
и новые
(
x, y
)
координаты любой точки плоскости
3
Кривые второго порядка на плоскости
24
связаны соотношениями
(
x
=
x
+
a,
y
=
y
+
b.
(8)
Если же повернуть координатные оси на угол
ϕ
вокруг начала (см.
рис. 3.2), то связь между старыми
(
x, y
)
и новыми
(
e
x,
e
y
)
координатами
запишется так:
(
x
= (cos
ϕ
)
e
x
−
(sin
ϕ
)
e
y,
y
= (sin
ϕ
)
e
x
+ (cos
ϕ
)
e
y.
(9)
-
6
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
Y
AK
ϕ
ϕ
r
x
y
ppp
ppp
ppp
ppp
p
e
y
pp
pp
pp
pp
pp
e
x
рис. 3.2
Контрольное упражнение 3.2.
Проверить формулы (9) для точки с
координатами
(
x, y
) = (1
,
√
3)
и угла поворота
ϕ
=
π/
3
.
Задача 3.2.
Доказать эти формулы для произвольного угла
ϕ
.
Мы увидим, что движения системы координат не меняют
формы
об-
щего уравнения кривой второго порядка, то есть от уравнения
Ax
2
+
Bxy
+
Cy
2
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0
,
выполнив параллельный перенос или поворот, мы обязательно придем к
уравнению вида
A
′
(
x
′
)
2
+
B
′
x
′
y
′
+
C
′
(
y
′
)
2
+
D
′
x
′
+
E
′
y
′
+
F
′
= 0
.
Итак, рассмотрим общее уравнение (7). Сначала повернем оси ко-
ординат на угол
ϕ
. Подставив формулы (9) в (7) и приведя подобные
слагаемые, получим уравнение
3
Кривые второго порядка на плоскости
25
(
A
cos
2
ϕ
+
B
cos
ϕ
sin
ϕ
+
C
sin
2
ϕ
)(
e
x
2
)+
+(
B
cos 2
ϕ
+ (
C
−
A
) sin 2
ϕ
)
e
x
e
y
+
+(
A
sin
2
ϕ
−
B
cos
ϕ
sin
ϕ
+
C
cos
2
ϕ
)(
e
y
2
)+
+(
D
cos
ϕ
+
E
sin
ϕ
)
e
x
+ (
E
cos
ϕ
−
D
sin
ϕ
)
e
y
+
F
= 0
.
Подберем теперь угол
ϕ
так, чтобы коэффициент при
e
x
e
y
стал нуле-
вым. Если
B
= 0
, этого делать не надо (годится
ϕ
= 0
), иначе положим
ϕ
=
1
2
arcctg
A
−
C
B
. Уравнение примет вид
e
A
e
x
2
+
e
C
e
y
2
+
e
D
e
x
+
e
E
e
y
+
F
= 0
.
Теперь рассмотрим отдельно два возможных случая:
1)
e
A
6
= 0
,
e
C
6
= 0
;
2) один из коэффициентов
e
A,
e
C
нулевой.
Контрольный вопрос 3.3.
Почему невозможен случай
e
A
=
e
C
= 0
?
1.
Пусть
e
A
6
= 0
,
e
C
6
= 0
. Сдвинем начало координат: новые коорди-
наты
b
x,
b
y
введем с помощью формул
e
x
=
b
x
+
α,
e
y
=
b
y
+
β
. Подберем
α
и
β
так, чтобы убрать из уравнения
первые степени
переменных. Это
легко сделать, выделяя полные квадраты:
e
A
e
x
2
+
e
C
e
y
2
+
e
D
e
x
+
e
E
e
y
+
F
=
=
e
A
(
e
x
+
e
D
2
e
A
)
2
+
e
C
(
e
y
+
e
E
2
e
C
)
2
+ (
F
−
e
D
2
4
e
A
−
e
E
2
4
e
C
)
.
Обозначив
b
x
=
e
x
+
e
D
2
e
A
,
b
y
=
e
y
+
e
E
2
e
C
,
b
F
=
−
F
+
e
D
2
4
e
A
+
e
E
2
4
e
C
, получим
уравнение
e
A
b
x
2
+
e
C
b
y
2
=
b
F .
(10)
Тип множества решений уравнения (10) зависит от знаков коэффи-
циентов
e
A,
e
C,
b
F
. Все случаи, которые могут представиться, показаны на
схеме: