ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 689
Скачиваний: 5
011.png)
Теорема. Для того чтобы функция
z
=
ϕ
(
x
,
y
)
удовле-
творяла уравнению
(27)
, необходимо и достаточно, чтобы
соотношение
ϕ
(
x
,
y
) =
C
(28)
было общим интегралом уравнения
a
11
(
dy
)
2
−
2a
12
dxdy
+
a
22
(
dx
)
2
=
0
(29)
Докажем необходимость. Пусть функция
z
=
ϕ
(
x, y
)
удовлетво-
ряет уравнению (27). Тогда из (27) получаем:
a
11
ϕ
x
ϕ
y
2
−
2
a
12
−
ϕ
x
ϕ
y
+
a
22
= 0
(30)
Из (28) находим:
dy
dx
=
−
ϕ
x
ϕ
y
(31)
11
012.png)
и подставляем в уравнение (30):
a
11
dy
dx
2
−
2
a
12
dy
dx
+
a
22
= 0
(32)
и отсюда получаем уравнение (29).
Докажем достаточность. Пусть
ϕ
(
x, y
) =
C
— общий интеграл
уравнения (29), которое мы перепишем еще раз:
a
11
(
dy
)
2
−
2
a
12
dxdy
+
a
22
(
dx
)
2
= 0
Отсюда получаем
a
11
dy
dx
2
−
2
a
12
dy
dx
+
a
22
= 0
.
Подставляя сюда (31), находим
a
11
ϕ
x
ϕ
y
2
−
2
a
12
−
ϕ
x
ϕ
y
+
a
22
= 0
12
013.png)
Отсюда,
a
11
ϕ
2
x
+ 2
a
12
ϕ
x
ϕ
y
+
a
22
ϕ
2
y
= 0
,
что и требовалось доказать.
Таким образом, если
ξ
=
ϕ
(
x, y
)
и
ϕ
(
x, y
) =
const
есть
общий интеграл уравнения
a
11
(
dy
)
2
−
2
a
12
dxdy
+
a
22
(
dx
)
2
= 0
(33)
то коэффициент при
u
ξξ
= 0
.
Если
ξ
=
ψ
(
x, y
)
и
ψ
(
x, y
) =
const
есть другой незави-
симый интеграл этого уравнения, то коэффициент при
u
ηη
= 0
.
Уравнение
(33)
называется характеристическим, а его
интегралы – характеристиками.
13
014.png)
Уравнение (33) распадается на два:
dy
dx
=
a
12
+
q
a
2
12
−
a
11
a
22
a
11
(34)
dy
dx
=
a
12
−
q
a
2
12
−
a
11
a
22
a
11
(35)
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения
a
11
u
xx
+ 2
a
12
u
xy
+
a
22
u
yy
+
F
= 0
(36)
√√
Если
a
2
12
−
a
11
a
22
>
0
, то уравнение (36) — уравнение
ги-
перболического типа
.
В этом случае правые части (34) и (35) действительны и различ-
ны. Получаем соответствующие общие интегралы
ϕ
(
x, y
) =
C
и
ψ
(
x, y
) =
C
. Далее выполняем замену переменных
ξ
=
ϕ
(
x, y
)
,
η
=
ψ
(
x, y
)
(37)
14
015.png)
и разделив на коэффициент при
u
ξη
получаем уравнение вида
u
ξη
=
G
(
ξ, η, u, u
ξ
, u
η
)
(38)
Полученное уравнение – каноническая форма уравнений гипербо-
лического типа.
Далее выполним замену
ξ
=
α
+
β
η
=
α
−
β
или
α
=
ξ
+
η
2
β
=
ξ
−
η
2
15