ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 695
Скачиваний: 5
096.png)
или с учетом
cos
λ
(
ξ
−
x
) = cos
λξ
cos
λx
+ sin
λξ
sin
λx
(188)
получаем
f
(
x
) =
∞
Z
−∞
1
2
π
Z
∞
−∞
f
(
ξ
) cos
λξ dξ
cos
λx
+
+
1
2
π
Z
∞
−∞
f
(
ξ
) sin
λξ dξ
sin
λx
dλ
(189)
Сравнивая (186) и (189), находим
A
(
λ
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
f
(
ξ
) cos
λξ dξ,
B
(
λ
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
f
(
ξ
) sin
λξ dξ.
(190)
96
097.png)
Подставляя (190) в (185) получаем
u
(
x, τ
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
dλ
∞
Z
−∞
f
(
ξ
) cos
λ
(
x
−
ξ
)
e
−
λ
2
τ
dξ
(191)
Т.о. мы получили решение задачи о теплопроводности в беско-
нечном стержне. Для его физической интерпретации, необходимо
провести следующие преобразования. Сначала изменим порядок
интегрирования:
u
(
x, τ
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
f
(
ξ
)
∞
Z
−∞
e
−
λ
2
τ
cos
λ
(
x
−
ξ
)
dλ
dξ
(192)
Преобразуем внутренний интеграл в (192). Для этого сделаем за-
мену переменной
λ
=
σ
√
τ
, введем обозначение
x
−
ξ
√
τ
=
ω
, и в
97
098.png)
результате получим
∞
Z
−∞
e
−
λ
2
τ
cos
λ
(
x
−
ξ
)
dλ
=
1
√
τ
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
cos
σω dσ
=
1
√
τ
I
(
ω
)
Для вычисления
I
(
ω
) =
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
cos
σω dσ
найдем его производную
I
0
(
ω
) =
−
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
σ
sin
σω dσ
98
099.png)
и выполним интегрирование по частям
I
0
(
ω
) =
−
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
σ
sin
σω dσ
=
=
1
2
e
−
σ
2
sin
σω
∞
−∞
−
1
2
ω
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
cos
σω dσ
=
−
1
2
ωI
(
ω
)
Т.о., для функции
I
(
ω
)
получаем дифференциальное уравнение
I
0
(
ω
) =
−
1
2
ωI
(
ω
)
⇒
I
0
(
ω
)
I
(
ω
)
=
−
ω
2
Отсюда находим
ln
I
(
ω
) =
−
ω
2
4
+ ln
C
I
(
ω
) =
Ce
−
ω
2
/
4
99
100.png)
Т.к.,
I
(0) =
∞
Z
−∞
e
−
σ
2
dσ
=
√
π
(интеграл Пуассона), то
I
(
ω
) =
√
πe
−
ω
2
/
4
и возвращаясь к старым переменным находим
∞
Z
−∞
e
−
λ
2
τ
cos
λ
(
x
−
ξ
)
dλ
=
1
√
τ
I
(
ω
) =
r
π
τ
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
τ
Окончательно получаем
u
(
x, τ
) =
1
2
√
πτ
∞
Z
−∞
f
(
ξ
)
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
τ
dξ
(193)
100