ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1038
Скачиваний: 1
76
менее ограничительным, чем
условие существования
эффективной оценки.
Пример
. Случайная величина
имеет нормальное
распределение
~N(m,
). Найти достаточную статистику для
оценки M
.
Решение:
f(x,
)=
1
2
2
2
2
e
x
Запишем функцию правдоподобия и применим критерий
факторизации (2.15)
L
(
x
;
)=
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
n
x
i
n
n
e
Ae
e
e
i
xi
xi
/
h(x)=
e
xi
2
2 2
- зависит только от выборки;
g(T(x);
)=
e
e
xi
n
2
2
2
2
– зависит от выборочного значения
через статистику.
T(X)=
X
i
i
n
1
сумма элементов выборки – это статистика,
достаточная для оценки математического ожидания.
Задачи и решения
Точечные оценки и их свойства
Точечной
оценкой
θ
~
неизвестного
параметра
называется
приближенное
значение
этого
параметра,
полученное по выборке. Оценка
есть некоторая функция
=
(x
1
,…,x
n
). Любую функцию элементов выборки называют
статистикой.
θ
~
называется состоятельной оценкой параметра
77
, если она сходится по вероятности к параметру
,
т.е.
θ
θ
~
P
n
n
. Иначе это можно записать так M[
n
θ
~
]
,
D[
n
θ
~
]=0.
Т=Т(х) называется несмещенной оценкой для параметра
, если выполняются условия
Θ
θ
θ
[T(x)]
M
θ
. Разность
M[
θ
~
] -
называется смещением. Для несмещенных оценок
систематическая ошибка оценивания равна нулю.
Несмещенная оценка с равномерно минимальной
дисперсией называется оптимальной оценкой. Для дисперсии
несмещенной оценки выполняется неравенство Рао-Крамера
θ
i
1
]
θ
~
D[
n
,
где i
n
(
) информация Фишера, содержащаяся в выборке
объема n относительно неизвестного параметра
, и
вычисляемая по следующим формулам:
для непрерывной случайной величины:
]
θ))}
ln(f(x,
θ
nM [{
)
(
i
2
n
θ
,
для дискретной случайной величины:
]
θ))}
ln(p(x,
θ
nM [{
)
(
i
2
n
θ
,
где p(x,
)=P{X=x}.
Эффективной оценкой называется несмещенная оценка
0
θˆ
параметра
, дисперсия которой достигает своего наименьшего
возможного значения
θ
i
1
]
θ
~
D[
n
Несмещенная оценка
n
θ
~
θ
~
называется асимптотически
эффективной оценкой параметра
, если
1
]
n
θ
~
)D[
θ
(
n
i
1
Lim
n
.
78
Оценка
называется
асимптотически
нормально
распределенной если
dt
e
2π
1
x
]
θˆ
D[
θˆ
θ
x
2
t
n
2
P
Lim
n
Простейший метод статистического оценивания –
метод
подстановки или аналогии
– состоит в том, что в качестве
оценки той или иной числовой характеристики (среднего,
дисперсии
и
др.)
генеральной
совокупности
берут
соответствующую характеристику распределения выборки –
выборочную характеристику.
Задача 18
Пусть x
1
,…,x
n
выборка из генеральной совокупности с
конечным математическим ожиданием m и дисперсией
2
.
Используя метод подстановки, найти оценку m. Проверить
несмещенность и состоятельность полученной оценки.
Решение:
По методу подстановки в качестве оценки
m
~
математического ожидания надо взять математическое
ожидание распределения выборки – выборочное среднее.
Таким образом, получаем
n
1
i
i
x
n
1
x
m
~
.
Чтобы
проверить
несмещенность
и
состоятельность
выборочного среднего как оценки m, рассмотрим эту
статистику как функцию выборочного вектора (x
1
,…,x
n
). По
определению выборочного вектора имеем: M[X
i
]=m и
D[X
i
]=
2
, i=1,…,n , причем X
i
– независимые в совокупности
случайные величины.
Следовательно,
m
nm
n
1
]
X
[
M
n
1
X
n
1
M
]
X
[
M
n
1
i
i
n
1
i
i
79
n
σ
nσ
n
1
]
X
[
D
n
1
X
n
1
D
]
X
[
D
2
2
2
n
1
i
i
2
n
1
i
i
Отсюда по определению получаем, что
X
- несмещенная
оценка m, и так как D[
X
]
0 при n
, то в силу теоремы
является состоятельной оценкой математического ожидания m
генеральной совокупности.
Задача 19
Предположим, что выборка
n
x
x
x
,...,
,
2
1
получена из
генеральной совокупности с конечным математическим
ожиданием m и дисперсией
2
Показать, что выборочная
дисперсия
n
j
j
x
x
x
n
D
1
2
*
)
(
1
является смещѐнной оценкой
дисперсии генеральной совокупности, и найти это смещение.
Решение:
n
i
n
i
i
i
x
x
x
n
M
x
x
n
M
D
M
1
1
2
2
*
))
~
(
)
((
1
(
)
)
~
(
1
(
]
[
n
i
i
i
x
x
x
x
n
M
1
2
2
)
)
~
(
)
~
)(
(
2
)
((
1
(
n
i
n
i
i
i
x
x
x
n
x
n
M
1
2
1
2
)
)
~
(
)
~
)(
(
2
)
(
1
(
80
n
n
n
x
n
D
x
D
x
M
n
n
n
x
M
x
M
n
x
M
x
M
x
M
n
x
x
n
x
x
n
M
n
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
]
1
[
~
)
~
(
1
)
~
(
)
(
1
)
~
(
)
~
(
2
)
(
1
)
)
~
(
)
(
1
)
~
(
2
)
(
1
(
Оценка
*
x
D
является смещѐнной оценкой, так как
2
*
]
[
x
D
M
n
2
- смещение оценки
Ответ:
n
2
Задача 20
В условиях предыдущей задачи показать, что
несмещѐнная оценка дисперсии генеральной совокупности
задаѐтся статистикой:
n
j
j
x
x
n
S
1
2
2
)
(
1
1
Доказательство:
*
2
1
x
D
n
n
S
2
2
2
*
2
1
1
]
[
1
S
n
n
n
n
D
M
n
n
MS
x
является
несмещѐнной оценкой дисперсии генеральной совокупности.
Она задается статистикой