ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1038

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

76 

 

менее  ограничительным,  чем 

условие  существования 

эффективной оценки. 

Пример

.  Случайная  величина 

  имеет  нормальное 

распределение 

~N(m,

).  Найти  достаточную  статистику  для 

оценки M

Решение: 

f(x,

)=

1

2

2

2

2



e

x

 

Запишем функцию правдоподобия и применим критерий 
факторизации (2.15) 

 

L

(

x

;

)=

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2 2

2

2

2



n

x

i

n

n

e

Ae

e

e

i

xi

xi

/

 

h(x)= 

e

xi

2

2 2

- зависит только от выборки; 

g(T(x);

)= 

e

e

xi

n

2

2

2

2

 – зависит от выборочного значения 

через статистику. 

T(X)=

X

i

i

n

1

сумма  элементов  выборки  –  это  статистика, 

достаточная для оценки математического ожидания. 
 

Задачи и решения 

 

Точечные оценки и их свойства 

 

Точечной 

оценкой 

θ

~

неизвестного 

параметра 

 

называется 

приближенное 

значение 

этого 

параметра, 

полученное  по  выборке.  Оценка 

  есть  некоторая  функция 

=

(x

1

,…,x

n

).  Любую  функцию  элементов  выборки  называют 

статистикой. 

θ

~

называется  состоятельной  оценкой  параметра 


background image

 

77 

 

,  если  она  сходится  по  вероятности  к  параметру 

т.е.

θ

θ

~

P

n

n

.  Иначе  это  можно  записать  так  M[

n

θ

~

]



,     

D[

n

θ

~

]=0. 

Т=Т(х) называется несмещенной оценкой для параметра 

,  если  выполняются  условия 

Θ

θ

  

θ

[T(x)]

M

θ

.  Разность 

M[

θ

~

]  - 

  называется  смещением.  Для  несмещенных  оценок 

систематическая ошибка оценивания равна нулю. 

Несмещенная  оценка  с  равномерно  минимальной 

дисперсией  называется  оптимальной  оценкой.  Для  дисперсии 
несмещенной оценки выполняется неравенство Рао-Крамера 

 

θ

i

1

]

θ

~

D[

n

где  i

n

(

)  информация  Фишера,  содержащаяся  в  выборке 

объема  n  относительно  неизвестного  параметра 

,  и 

вычисляемая по следующим формулам: 

для непрерывной случайной величины: 

]

θ))}

ln(f(x,

θ

nM [{

)

(

i

2

n

θ

для дискретной случайной величины: 

]

θ))}

ln(p(x,

θ

nM [{

)

(

i

2

n

θ

где p(x, 

)=P{X=x}. 

Эффективной  оценкой  называется  несмещенная  оценка 

0

θˆ

 

параметра 

, дисперсия которой достигает своего наименьшего 

возможного значения 

 

θ

i

1

]

θ

~

D[

n

 

Несмещенная  оценка 

n

θ

~

θ

~

  называется  асимптотически 

эффективной оценкой параметра  

, если  

1

]

n

θ

~

)D[

θ

(

n

i

1

Lim

n


background image

 

78 

 

Оценка 

 

называется 

асимптотически 

нормально 

распределенной если 

       

dt

e

1

x

]

θˆ

D[

θˆ

θ

 

x

2

t

n

2

P

Lim

n

 

Простейший метод статистического оценивания  – 

метод 

подстановки  или  аналогии

  –  состоит  в  том,  что  в  качестве 

оценки  той  или  иной  числовой  характеристики  (среднего, 
дисперсии 

и 

др.) 

генеральной 

совокупности 

берут 

соответствующую  характеристику  распределения  выборки  – 
выборочную характеристику. 

 
 

Задача 18 

Пусть  x

1

,…,x

выборка  из  генеральной  совокупности  с 

конечным  математическим  ожиданием  m  и  дисперсией 

2

Используя  метод  подстановки,  найти  оценку  m.  Проверить 
несмещенность и состоятельность полученной оценки. 

Решение: 

По методу подстановки в качестве оценки 

m

~

 

математического  ожидания  надо  взять  математическое 
ожидание  распределения  выборки  –  выборочное  среднее. 
Таким образом, получаем 

n

1

i

i

x

n

1

x

m

~

.

 

Чтобы 

проверить 

несмещенность 

и 

состоятельность 

выборочного  среднего  как  оценки  m,  рассмотрим  эту 
статистику  как  функцию  выборочного  вектора  (x

1

,…,x

n

).  По 

определению  выборочного  вектора  имеем:  M[X

i

]=m  и 

D[X

i

]=

2

,  i=1,…,n , причем  X

i

 –  независимые в совокупности 

случайные величины. 
Следовательно, 

m

nm

n

1

]

X

[

M

n

1

X

n

1

M

]

X

[

M

n

1

i

i

n

1

i

i





 


background image

 

79 

 

n

σ

n

1

]

X

[

D

n

1

X

n

1

D

]

X

[

D

2

2

2

n

1

i

i

2

n

1

i

i





 

Отсюда  по  определению  получаем,  что 

X

-  несмещенная 

оценка m, и так как D[

X

 0 при n 

 

, то в силу теоремы 

является состоятельной оценкой математического ожидания m 
генеральной совокупности. 
 
 

Задача 19 

Предположим,  что  выборка 

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  получена  из 

генеральной  совокупности  с  конечным  математическим 
ожиданием  m  и  дисперсией 

2

  Показать,  что  выборочная 

дисперсия 

n

j

j

x

x

x

n

D

1

2

*

)

(

1

  является  смещѐнной  оценкой 

дисперсии генеральной совокупности, и найти это смещение. 

Решение:  

n

i

n

i

i

i

x

x

x

n

M

x

x

n

M

D

M

1

1

2

2

*

))

~

(

)

((

1

(

)

)

~

(

1

(

]

[

 

n

i

i

i

x

x

x

x

n

M

1

2

2

)

)

~

(

)

~

)(

(

2

)

((

1

(

 

n

i

n

i

i

i

x

x

x

n

x

n

M

1

2

1

2

)

)

~

(

)

~

)(

(

2

)

(

1

(

 


background image

 

80 

 

n

n

n

x

n

D

x

D

x

M

n

n

n

x

M

x

M

n

x

M

x

M

x

M

n

x

x

n

x

x

n

M

n

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

]

1

[

~

)

~

(

1

)

~

(

)

(

1

)

~

(

)

~

(

2

)

(

1

)

)

~

(

)

(

1

)

~

(

2

)

(

1

(

 

Оценка 

*

x

D

 является смещѐнной оценкой, так как 

2

*

]

[

x

D

M

 

n

2

 - смещение оценки 

Ответ: 

n

2

 

 
 
 
 
 

Задача 20 

В  условиях  предыдущей  задачи  показать,  что 

несмещѐнная  оценка  дисперсии  генеральной  совокупности 

задаѐтся статистикой:

 

n

j

j

x

x

n

S

1

2

2

)

(

1

1

 

Доказательство: 

*

2

1

x

D

n

n

S

 

2

2

2

*

2

1

1

]

[

1

S

n

n

n

n

D

M

n

n

MS

x

 

является 

несмещѐнной оценкой дисперсии генеральной совокупности. 
Она задается статистикой