ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 987
Скачиваний: 1
81
n
j
j
n
j
j
x
x
n
x
x
n
n
n
S
1
2
1
2
2
)
(
1
1
)
(
1
1
Доказано.
Задача 21
Показать, что оценки
*
x
D
и
2
S
, полученные в задачах 19
и 20 соответственно, являются состоятельными оценками
дисперсии генеральной совокупности.
Доказательство:
По задаче 19
n
i
n
i
i
i
x
m
x
x
n
x
x
n
D
1
1
2
2
*
,
))
~
(
)
((
1
)
~
(
1
.
По теореме Чебышева:
n
m
x
M
m
x
n
n
i
i
P
i
,
]
)
[(
)
(
1
1
2
2
2
n
m
x
p
,
~
( неравенство Чебышева)
n
m
x
P
,
0
)
~
(
2
Т.о.
n
D
P
x
,
2
*
, т.е.
*
x
D
является состоятельной
оценкой дисперсии.
По задаче 20:
*
2
1
x
D
n
n
S
,
n
S
P
,
2
2
, т.к.
n
D
P
x
,
2
*
,
n
n
n
n
P
n
n
P
P
n
,
1
1
0
}
|
1
1
{|
}
|
1
1
{|
.
Доказано.
Задача 22
Пусть
n
x
x
x
,...,
,
2
1
выборка из генеральной совокупности
с известным средним m и неизвестной дисперсией
2
.
Показать, что несмещѐнной оценкой
2
будет статистика
82
n
i
i
m
x
n
1
2
2
0
)
(
1
Доказательство:
1)
2
1
2
2
0
)
(
1
n
i
i
m
x
M
n
M
2)
2
1
1
2
2
1
1
2
2
0
2
1
)
2
2
1
(
m
x
M
n
m
Mx
n
n
nm
x
n
m
x
M
M
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
2
2
2
2
2
2
i
i
i
Dx
m
Mx
m
m
Mx
Таким образом,
2
0
является несмещѐнной оценкой
2
.
Доказано.
Задача 23
Пусть
)
,
(
),...,
,
(
),
,
(
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x
- выборка из двумерной
генеральной совокупности. Методом подстановки найти
оценку ковариации. Показать, что получаемая оценка является
смещѐнной и состоятельной. Найти несмещѐнную оценку
Решение:
n
i
i
i
xy
xy
y
y
x
x
n
k
k
1
*
)
)(
(
1
,
n
i
i
i
xy
y
y
x
x
n
k
1
)
)(
(
1
1
~
-
несмещѐнная оценка,.
n
i
i
i
n
i
x
i
x
i
i
x
n
x
m
x
n
m
x
x
x
1
1
1
)
(
1
)
(
.
Аналогично
n
i
i
i
i
y
n
y
y
y
1
1
.
Тогда
xy
xy
xy
xy
i
i
k
n
n
k
n
k
n
k
y
y
x
x
M
1
1
2
)]
)(
[(
,
так как
0
i
i
y
x
k
при
xy
y
x
k
k
j
i
i
i
,
0
)]
)(
[(
1
]
[
1
2
*
n
i
n
i
i
xy
y
y
x
x
D
n
k
D
83
Доказано.
Задача 24
Пусть
~
- несмещѐнная оценка параметра
]
[
,
D
.
Показать, что
2
~
является смещѐнной оценкой
2
, и
вычислить смещение.
Решение:
2
2
2
]
~
[
]
[
]
~
[
]
~
[
D
M
D
M
-
смещѐнная оценка
2
,
смещение
2
~
равно
]
~
[
D
.
Доказано.
Задача 25
Показать, что выборочное среднее, вычисленное по
выборке
из
генеральной
совокупности,
имеющей
распределение Пуассона с параметром
, будет несмещѐнной
и состоятельной оценкой этого параметра.
Доказательство:
~
)
(
0
p
n
i
i
M
n
M
x
M
D
1
*
*
1
,
,
,
–
оценка является
несмещѐнной,
n
i
n
n
i
i
n
i
i
i
n
D
n
D
n
n
D
D
1
1
2
1
2
*
0
1
1
)
1
(
оценка является состоятельной.
Доказано.
Задача 26
Показать. что выборочное среднее является эффективной
оценкой параметра
распределения Пуассона.
Доказательство:
по задаче 25 выборочное среднее
является несмещѐнной и состоятельной оценкой.
84
,
!
ln
ln
)
,
(
ln
,
!
}
{
)
,
(
,
1
1
*
f
e
P
f
n
x
n
i
i
,
3
1
3
)
,
(
ln
f
.
)
)
,
(
ln
(
1
,
1
1
)
3
(
1
)
3
(
)
)
,
(
ln
{
2
2
2
2
2
2
2
n
f
nM
M
M
f
M
Так как
2
*
D
, то выборочное среднее является
эффективной оценкой
Доказано.
Задача 27
Пусть
n
x
x
x
,...,
,
2
1
-
выборка
из
нормального
распределения генеральной совокупности
)
,
(
m
N
. Найти
информацию Фишера
)
(
2
In
.
Решение:
2
2
2
)
(
2
1
)
(
m
x
e
x
f
,
2
Dx
.
85
,
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
ln
)
(
,
)
(
2
1
)
(
)
(
ln
,
2
)
(
2
1
2
)
(
ln
)
(
ln
),
(
)
(
,
)
,
(
ln
)
(
,
2
)
(
ln
2
ln
2
)
(
2
ln
ln
2
1
ln
)
(
ln
4
6
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
m
x
M
x
f
M
I
m
x
x
f
m
x
m
x
x
f
nI
In
x
f
M
I
m
x
m
x
e
x
f
i
m
x
4
2
2
)
(
n
In
.
Ответ:
4
2
n
.
Задача 28
В условиях предыдущей задачи при известном
математическом ожидании m оценивается дисперсия
2
.
Показать, что статистика
2
2
0
)
(
1
m
x
n
S
i
является эффективной оценкой
2
.
Решение:
2
2
2
0
)
(
1
]
[
m
x
M
n
S
M
i
оценка является
несмещѐнной.