ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 985
Скачиваний: 1
86
.
2
2
)
(
2
)
)
1
(
3
(
1
]
)
(
)
(
)
(
[
1
)]
)
(
)
(
)
(
(
1
[
]
)
)
(
(
1
[
]
[
)
](
[
]
[
]
[
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
n
n
n
n
n
n
n
m
x
M
m
x
M
m
x
M
n
m
x
m
x
m
x
n
М
m
x
n
M
S
M
S
M
S
M
S
D
j
i
j
i
i
j
i
j
i
i
i
n
S
4
2
0
2
(26)
]
[
2
0
2
0
S
D
S
оценка является эффективной
Доказано.
Лабораторная работа № 2
Целью лабораторной работы является получение
точечных оценок параметров распределений в пакете
MATHCAD.
Точечная оценка математического ожидания
Доказано, что эффективной оценкой математического
ожидания нормально распределенной случайной величины
является оценка
n
ˆ
=(x
1
+x
2
+…+x
n
)/n. Именно поэтому
последняя оценка так широко используется в математической
статистике. Для оценки неизвестного математического
ожидания
случайной
величины
будем
использовать
выборочное среднее
, т. е:
1
2
...
ˆ
.
n
n
x
x
x
x
n
Точечные оценки дисперсии
Для дисперсии
2
случайной величины X можно
предложить следующую оценку:
n
i
i
x
x
n
DX
1
2
,
)
(
1
где
x
– выборочное среднее.
Доказано, что эта оценка состоятельная, но
смещенная
.
87
В
качестве
состоятельной
несмещенной
оценки
дисперсии используют величину
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
.
1
1
n
n
i
i
i
i
s
x
x
x
nx
n
n
Именно несмещенностью оценки
s
2
объясняется ее более
частое использование в качестве оценки величины DX.
Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии
величину DX
,
а не
s
2
: функция var(x) вычисляет величину:
1
2
1
n
x
mean x
i
i
n
( )
, где mean(x) - выборочное среднее:
1
1
.
n
i
i
x
n
Задание
Найдите
состоятельные
несмещенные
оценки
математического ожидания МX и дисперсии DX случайной
величины X по приведенным в задании выборочным
значениям x
1
, x
2
, .., x
n
.
Порядок выполнения задания
1. Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные
значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.
2. Вычислите точечные оценки МX и DX.
Пример выполнения задания
Найдите
состоятельные
несмещенные
оценки
математического ожидания МX и дисперсии DX случайной
величины X по выборочным значениям, заданным следующей
таблицей.
X
904.3
910.2
916.6
928.8
935.0
941.2
N
1
3
1
1
1
1
X
947.4
953.6
959.8
966.0
972.2
978.4
N
2
1
1
1
2
1
Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено
выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это
значение встречается в выборке), формулы для состоятельных
несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии
имеют вид:
88
x
n
n x s
n
n x
x
n
n
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
n
1
1
1
1
2
2
1
1
,
(
) ,
,
где
k
– количество значений в таблице; n
i
– количество
значений x
i
в выборке, n – объем выборки.
Фрагмент рабочего документа MATHCAD с вычислениями
точечных оценок приведен ниже.
89
3. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК
3.1. Метод максимального правдоподобия (ММП)
Одним
из
универсальных
методов
оценивания
параметров распределения является
метод максимального
правдоподобия
. Оценку параметра
, получаемого с помощью
этого метода, будем обозначать
( )
X
, а оценку
параметрической функции
( )
X
. .
Пусть задана выборка
X
=(X
1
,...,X
n
) из распределения
L
(
)
F
={F(x;
);
}, и
L
(
x
;
) функция правдоподобия для
реализации
x
=(x
1
,...,x
n
) выборки
X
.
По определению оценкой максимального правдоподобия
(о.м.п.)
параметра
называется
такая
точка
параметрического множества
, в которой функция
правдоподобия
L
(
x
;
) при заданном
x
достигает максимума.
Таким образом
L
(
x
;
)
L
(
x
;
),
или
L
(
x
;
)=
sup
L
(
x
;
).
Замечание.
Если
L
(
x
;
1
)>
L
(
x
;
2
), то говорят, что значение
параметра
1
более правдоподобно, чем
2
. Таким образам,
оценка максимального правдоподобия
является наиболее
правдоподобным значением параметра
.
Если для каждого
x
из выборочного пространства
X
максимум
L
(
x
;
) достигается во внутренней точке
и
L
(
x
;
)
дифференцируема по
, то о.м.п.
удовлетворяет уравнению
L(x
; )
0
или
ln
; )
L(x
0
.
Если
векторный параметр:
=(
1
,...,
r
), то это
уравнение заменяется системой уравнений
90
ln
; )
L(x
i
0
, i=1,...,r.
Последние
уравнения
называются
уравнениями
правдоподобия
.
3.2. Свойства оценок максимального правдоподобия
1. Эффективность.
Теорема 3.1. Если существует эффективная оценка Т(
X
)
для скалярного параметра
, то
= Т(
X
).
Доказательство: Это очевидное следствие критерия
эффективности Рао-Крамера
ln
; )
( )
( )
L(x
a
T X
1
.
Приравняем к 0 и получим
= Т(
X
).
2. Достаточность.
Теорема 3.2. Если имеется достаточная статистика
Т=Т(
X
), а о.м.п. существует и единственна, то она является
функцией от достаточной статистики Т.
Доказательство: Согласно критерию факторизации
справедливо разложение:
L
(
x
;
)=g(T(
x
);
) h(
x
)
ln
; )
ln (
); )
L(x
g T(x
0
.
Решаем уравнение относительно
.
Получаем,
=
(Т(
x
)) – некоторая функция статистики, а это
есть оценка МП, что и требовалось доказать.
Следовательно,
зависит от статистических данных через
Т(
x
).