ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 975
Скачиваний: 1
36
Задача 8
Для выборки:
11, 68, 45, 45, 54, 12, 18, 45, 12, 56, 23, 24, 36 ,15, 78, 53, 29,
45, 26, 35, 65, 14, 72, 42, 12, 26, 18, 14, 23, 17, 39, 40, 24, 29,
65, 15, 45, 41, 28, 64
построить таблицу частот группированной выборки, полигон,
гистограмму частот и эмпирическую функцию распределения,
выбрав длину интервала разбиения равной 10.
Решение:
A = 11,
B = 78
W = B – A = 67 - размах выборки
n = 40 – объем выборки
b = 10 - длина интервала группировки
37
№
Грани
цы
интер
вала
Середи
на
интер
вала
Часто
та
Накоп
ленная
частота
Отно-
ситель
ная
часто-
та
Относит
ельная
накоп-
ленная
частота
1
10-20
15
11
11
0,275
0,275
2
20-30
25
9
20
0,225
0,500
3
30-40
35
3
23
0,075
0,575
4
40-50
45
8
31
0,200
0775
5
50-60
55
3
34
0,075
0,850
6
60-70
65
4
38
0,100
0,950
7
70-80
75
2
40
0,050
1,000
а) Гистограмма частот
38
б) Полигон частот
в) График эмпирической функции распределения
Числовые характеристики выборочного распределения
Для каждой реализации измерений
)
ω
(
x
),...,
ω
(
x
n
1
эмпирическая функция распределения
)
x
(
F
n
является
функцией распределения некоторой дискретной случайной
величины, принимающей n значений:
)
ω
(
x
),...,
ω
(
x
n
1
с
вероятностями
равными
1/n.
При
различных
соответствующие функции
)
x
(
F
n
различны. При каждом
можно
ввести
различные
числовые
характеристики
соответствующего
данному
закона
распределения,
39
определяемого
)
x
(
F
n
. Эти характеристики носят название
выборочных.
Выборочные
моменты
(выборочное
математическое
ожидание
и
дисперсия)
порядка
вычисляются по формулам
n
1
k
k
1
n
1
k
ν
k
ν
n
1
k
ν
k
ν
x
n
1
a
x
,
)
x
(x
n
1
D
,
x
n
1
m
где
-
Выборочной модой
X
d
унимодального распределения
называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей
частотой.
Выборочной медианой называется число
X
h
, которое
делит вариационный ряд на две части, содержащие равное
число элементов.
Если объем выборки нечетное число (т.е. n=2*L+1), то
)
1
L
(
X
x
h
, то есть является элементом вариационного ряда
со средним номером.
Если же n=2*L – объем выборки четное число, то
)
(
2
1
)
1
(
L
L
X
x
x
h
.
Предположим, что в результате наблюдений случайной
величины ξ присутствует одна и та же систематическая
погрешность или. если результаты наблюдений подвергнуть
преобразованию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить
одновременно в k раз. Как изменятся выборочное среднее,
мода, медиана и дисперсия? Для ответа на этот вопрос
группированную выборку преобразуют следующим образом:
k
,
...
2,
1,
i
),
d
z
(
b
1
u
X
i
i
(1.13)
где
*
x
d
- выборочная мода,
40
i
z
-элемент группированной выборки,
b
-длина интервала группировки.
Соотношение (1.13) показывает, что в выборку
k
z
z
z
,...,
2
,
1
внесена систематическая ошибка
*
x
d
, а результат
подвергнут преобразованию масштаба с коэффициентом
b
k
1
.
Полученный
в
результате
набор
чисел
k
u
u
u
u
,...,
3
,
2
,
1
можно рассматривать как выборку из
генеральной совокупности
)
*
(
1
x
d
x
b
.
Тогда выборочное среднее
x
и дисперсия исходных данных
связаны со средним
u
и дисперсией
*
u
D
преобразованных
данных следующими соотношениями:
*
x
d
u
b
x
,
*
2
*
u
D
b
x
D
.
Задача 9
Определить среднее, моду и медиану для выборки 5, 6, 8,
2, 3, 1, 1, 4.
Решение:
Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4 , 5,
6, 8. Выборочное среднее x =(1+1+2+3+4+5+6+8)/8=3,75.
Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1,
следовательно, мода
X
d
~
=1. Так как n=8, то медиану
определим так
)
4
3
(
x
h
~
2
1
=3,5