ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 353
Скачиваний: 1
21
Для
1
=
n
формула
верна
.
Пусть
она
верна
для
n
k
=
.
Проверим
ее
для
1
+
=
n
k
.
Имеем
∫
+
−
−
+
−
+
−
−
=
−
−
+
t
n
n
n
ds
n
s
s
s
s
t
t
t
x
0
1
2
1
5
3
1
)
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
(
)
(
+
⋅
−
−
+
−
−
−
=
−
−
+
−
+
−
−
−
−
∫
)
2
)!
1
2
(
)
1
(
...
4
2
(
)
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
(
2
1
4
2
0
1
2
1
5
3
n
n
t
t
t
t
t
ds
n
s
s
s
s
s
n
n
t
n
n
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
)
1
2
(
)!
1
2
(
)
1
(
...
5
!
3
3
1
2
5
3
1
2
1
5
3
+
−
+
−
+
−
=
+
⋅
−
−
+
+
⋅
−
+
+
−
n
t
t
t
t
n
n
t
t
t
n
n
n
n
.
Таким
образом
,
представление
(6)
справедливо
и
поэтому
t
k
t
t
x
k
k
k
sin
)!
1
2
(
)
1
(
)
(
1
1
2
*
=
−
−
=
∑
∞
=
−
.
Проверка
подтверждает
,
что
решение
найдено
верно
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Решить
интегральные
уравнения
Фредгольма
а
)
2
1
)
(
2
1
)
(
1
0
−
−
+
=
∫
e
e
ds
s
x
t
x
t
;
б
)
ds
s
x
t
t
x
∫
+
=
2
1
0
)
(
)
(
;
в
)
∫
+
=
1
0
2
)
(
2
1
)
(
ds
s
sx
t
t
x
;
г
)
ds
s
x
s
t
t
t
x
∫
+
=
1
0
2
2
)
(
4
)
(
.
2.
Решить
интегральные
уравнения
Вольтерры
а
)
ds
s
x
s
t
t
x
t
)
(
)
(
1
)
(
0
∫
−
−
=
;
б
)
)
1
;
1
(
,
)
(
1
)
(
0
0
0
t
x
x
ds
s
x
t
t
x
t
+
=
=
−
+
=
∫
;
в
)
)
2
;
;
1
(
)
(
2
)
(
2
0
0
0
0
2
t
t
x
t
x
x
ds
s
x
t
t
t
x
t
+
=
=
=
−
+
=
∫
.
22
5.
Гильбертовы
пространства
.
Ортогональность
.
Основные
определения
.
Векторное
пространство
H
над
полем
комплексных
чисел
называется
предгильбертовым
(
или
пространством
со
скалярным
произведением
)
,
если
в
нем
введено
скалярное
произведение
,
т
.
е
.
H
y
x
∈
∀
,
определено
комплексное
число
)
,
(
y
x
,
удовлетворяющее
аксиомам
:
1.
0
0
)
,
(
,
0
)
,
(
=
⇔
=
≥
x
x
x
x
x
;
2.
−
−
−
−
−
=
)
,
(
)
,
(
x
y
y
x
;
3.
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
α
α
=
;
4.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
z
y
x
y
z
x
+
=
+
,
и
,
кроме
того
,
скалярное
произведение
порождает
норму
по
формуле
2
1
)
,
(
x
x
x
=
.
Пространство
Н
называется
гильбертовым
,
если
оно
является
полным
относительно
указанной
нормы
.
Справедливо
неравенство
Коши
-
Буняковского
-
Шварца
y
x
y
x
⋅
≤
)
,
(
.
Элементы
H
y
x
∈
,
называются
ортогональными
,
если
0
)
,
(
=
y
x
.
Система
векторов
{ }
∞
=
1
k
k
x
называется
линейно
независимой
,
если
любая
ее
конечная
подсистема
линейно
независима
.
Система
векторов
{ }
∞
=
1
k
k
e
называется
ортогональной
,
если
все
0
≠
k
e
и
0
)
,
(
=
n
k
e
e
при
n
k
≠
.
Система
векторов
{ }
∞
=
1
k
k
f
называется
ортонормированной
,
если
kn
n
k
f
f
δ
=
)
,
(
,
где
kn
δ
-
символ
Кронекера
.
Оказывается
,
что
по
любой
линейно
независимой
стстеме
{ }
∞
=
1
k
k
x
можно
построить
ортогональную
систему
{ }
∞
=
1
k
k
e
,
а
также
ортонормированную
систему
{ }
∞
=
1
k
k
f
с
помощью
следующего
процесса
ортогонализации
Шмидта
,...)
3
,
2
(
)
,
(
)
,
(
,
1
1
1
1
=
−
=
=
∑
−
=
k
e
e
e
e
x
x
e
x
e
n
k
n
n
n
n
k
k
k
,
k
k
k
e
e
f
=
.
Пример
1.
Доказать
,
что
в
неравенстве
Шварца
знак
равенства
имеет
место
тогда
и
только
тогда
,
когда
x
и
y
линейно
зависимы
,
т
.
е
.
R
y
x
∈
=
λ
λ
,
и
23
2
)
,
(
)
,
)(
,
(
y
x
y
y
x
x
=
. (1)
Решение
.
Пусть
R
y
x
∈
=
λ
λ
,
.
Тогда
)
,
)(
,
(
)
,
)(
,
(
)
,
)(
,
(
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
λ
λ
λ
λ
=
=
=
2
2
)
,
(
)
,
(
y
x
y
y
=
λ
.
Пусть
теперь
выполнено
равенство
(1).
Покажем
,
что
y
x
λ
=
.
Допустим
противное
,
что
y
x
λ
≠
ни
при
каком
R
∈
λ
.
Тогда
0
)
,
(
>
−
−
y
x
y
x
λ
λ
или
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
0
2
x
x
y
x
y
y
+
−
<
λ
λ
.
Из
положительности
данного
квадратного
трехчлена
при
любом
λ
следует
отрицательность
его
дискриминанта
,
т
.
е
.
0
)
,
)(
,
(
4
)
,
(
4
2
<
−
y
y
x
x
y
x
,
что
противоречит
условию
(1).
Следовательно
,
наше
предположение
неверно
и
2
)
,
(
)
,
)(
,
(
y
x
y
y
x
x
=
.
Примерами
гильбертовых
пространств
являются
пространство
n
R
2
со
скалярным
произведением
k
k
k
y
x
y
x
∑
=
=
2
1
)
,
(
и
пространство
]
,
[
2
b
a
L
со
скалярным
произведением
∫
=
b
a
dt
t
y
t
x
y
x
)
(
)
(
)
,
(
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Доказать
непрерывность
скалярного
произведения
.
2.
Доказать
,
что
в
пространстве
со
скалярным
произведением
имеют
место
:
а
)
тождество
параллелограмма
)
(
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
+
=
−
+
+
;
б
)
тождесто
Апполония
2
2
2
2
2
2
2
1
y
x
z
y
x
y
z
x
z
+
−
+
−
=
−
+
−
.
24
3.
Провести
процесс
ортогонализации
для
функций
,...
,
,
1
2
t
t
в
]
1
,
1
[
2
−
L
и
показать
,
что
5
3
)
(
,
3
1
)
(
,
)
(
,
1
)
(
3
4
2
3
2
1
t
t
t
e
t
t
e
t
t
e
t
e
−
=
−
=
=
=
.
Эти
многочлены
называются
многочленами
Лежандра
.
6.
Расстояние
от
точки
до
подпространства
.
Ряд
Фурье
Пусть
L
-
подпространство
в
гильбертовом
пространстве
H
x
H
∈
,
,
но
L
x
∉
.
Расстоянием
от
точки
до
подпространства
L
называется
число
u
x
L
x
L
u
−
=
∈
inf
)
,
(
ρ
.
Теорема
1.
Существует
единственный
элемент
L
y
∈
,
реализующий
расстояние
от
точки
x
до
подпространства
H
L
⊂
y
x
L
x
−
=
)
,
(
ρ
,
при
этом
y
x
−
ортогонален
L
.
Замечание
.
Элемент
L
y
∈
называется
ортогональной
проекцией
элемента
x
на
подпространство
L
.
Пусть
H
x
∈
и
{ }
∞
=
1
k
k
ϕ
-
ортогональная
система
в
H
.
Числа
,...)
2
,
1
(
)
,
(
2
=
=
k
x
c
k
k
k
ϕ
ϕ
называются
коэффициентами
Фурье
,
а
ряд
∑
∞
=
1
k
k
k
c
ϕ
называется
рядом
Фурье
элемента
x
по
ортогональной
системе
{ }
n
k
k
1
=
ϕ
.
Многочлен
∑
=
n
k
k
k
c
1
ϕ
называется
многочленом
Фурье
элемента
x
.
Теорема
2.
Пусть
система
{ }
n
k
k
1
=
ϕ
ортогональна
в
H
,
а
n
L
-
подпространство
,
натянутое
на
n
ϕ
ϕ
ϕ
,...,
,
2
1
.
Тогда
H
x
L
x
d
n
n
∈
=
),
,
(
ρ
,
задается
следующими
формулами
∑
=
−
=
n
k
k
k
n
c
x
d
1
ϕ
,
∑
=
−
=
n
k
k
k
n
c
x
d
1
2
2
2
2
ϕ
,
25
где
,...)
2
,
1
(
=
k
c
k
-
коэффициенты
Фурье
элемента
x
по
системе
{ }
∞
=
1
k
k
ϕ
.
Ортогональная
система
векторов
{ }
H
k
k
∈
∞
=
1
ϕ
называется
полной
,
если
ряд
Фурье
,
составленный
для
любого
H
x
∈
,
сходится
к
x
.
Полная
ортогональная
система
называется
ортогональным
базисом
пространства
H
.
Пример
.
Для
функции
t
e
найти
многочлены
)
(
t
p
n
степени
2
,
1
,
0
=
n
такие
,
что
норма
)
(
t
p
e
n
t
−
минимальна
в
]
1
,
1
[
2
−
L
.
Решение
.
Согласно
теореме
2
надо
построить
многочлены
Фурье
степени
0,1,2
для
функции
t
e
t
x
=
)
(
.
Вычислим
коэффициенты
Фурье
функции
)
(
t
x
,
взяв
в
качестве
ортогональной
системы
многочлены
Лежандра
3
1
)
(
,
)
(
,
1
)
(
2
3
2
1
−
=
=
=
t
t
t
t
t
ϕ
ϕ
ϕ
,
которые
ортогональны
в
???
Имеем
)
(
)
(
1
0
0
t
c
t
p
ϕ
=
,
где
)
(
2
1
2
1
)
,
(
1
1
1
2
1
1
0
−
−
−
=
=
=
∫
e
e
dt
e
x
c
t
ϕ
ϕ
.
Следовательно
,
)
(
2
1
)
(
1
0
−
−
=
e
e
t
p
.
Построим
t
c
c
t
p
⋅
+
⋅
=
1
0
1
1
)
(
.
Непосредственным
вычислением
находим
,
что
∫
−
=
=
=
1
1
1
3
2
3
)
,
(
)
,
(
e
dt
e
t
t
t
t
e
c
t
t
.
Таким
образом
,
t
e
e
e
t
p
3
)
(
2
1
)
(
1
1
+
−
=
−
.
Для
построения
)
3
1
(
1
)
(
2
2
1
0
2
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
t
c
t
c
c
t
p
вычислим
2
c
.
Имеем
)
7
(
4
15
3
1
)
3
1
,
(
1
2
2
2
2
−
−
=
−
−
=
e
e
t
t
e
c
t
.
Следовательно
,
2
1
1
2
)
7
(
4
15
3
)
10
(
4
3
)
(
t
e
e
t
e
e
e
t
p
−
−
−
+
+
−
−
=
.