ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 341
Скачиваний: 1
31
2
1
2
)
)
(
(
2
∫
=
=
b
a
L
ds
s
f
ϕ
ϕ
.
б
)
R
l
f
→
2
:
по
правилу
k
k
k
x
a
x
f
∑
∞
=
=
1
)
(
,
где
2
2
1
,...)
,
(
l
a
a
a
∈
=
.
Решение
:
поскольку
)
,
(
)
(
a
x
x
f
=
,
то
f
-
линейный
ограниченный
функционал
и
2
1
1
2
)
(
2
∑
∞
=
=
=
k
k
l
a
a
f
.
Пример
3.
Пусть
R
R
f
→
2
2
:
-
линейный
ограниченный
функционал
,
его
норма
равна
13
,
а
его
значение
в
точке
)
1
,
1
(
равно
1
−
.
Найти
значение
f
в
точке
)
1
,
0
(
.
Решение
.
По
теореме
Рисса
существует
элемент
2
2
R
a
∈
,
что
2
2
1
1
)
,
(
)
(
x
a
x
a
a
x
x
f
+
=
=
и
2
2
2
1
a
a
a
f
+
=
=
.
Таким
образом
,
имеем
систему
⎩
⎨
⎧
−
=
+
=
+
1
13
2
1
2
2
2
1
a
a
a
a
.
Отсюда
3
,
2
2
1
−
=
=
a
a
,
или
2
,
3
2
1
=
−
=
a
a
.
Поэтому
2
1
3
2
)
(
x
x
x
f
−
=
или
2
1
2
3
)
(
x
x
x
f
+
−
=
.
Тогда
3
)
1
,
0
(
−
=
f
или
2
)
1
,
0
(
=
f
.
Задания
для
самостоятельного
решения
Доказать
ограниченность
и
найти
норму
функционалов
:
1.
2
)
1
(
2
)
0
(
)
(
x
x
x
f
−
=
,
если
R
C
f
→
]
1
,
0
[
:
В
заданиях
2 – 4
рассмотреть
случаи
:
R
L
f
R
C
f
→
→
]
1
,
0
[
:
,
]
1
,
0
[
:
2
2.
∫
=
1
0
)
(
)
(
ds
s
sx
x
f
3.
ds
s
x
s
x
f
)
(
)
2
1
(
)
(
1
0
∫
−
=
4.
∫
=
1
0
)
(
sin
)
(
ds
s
x
s
x
f
5.
∫
−
=
1
0
,
)
(
)
0
(
)
(
ds
s
x
x
x
f
если
R
C
f
→
]
1
,
0
[
:
6.
∫
∫
−
−
=
0
1
1
0
,
)
(
)
(
)
(
ds
s
x
ds
s
x
x
f
если
R
C
f
→
−
]
1
,
1
[
:
.
32
В
заданиях
7–9
рассмотреть
случаи
:
R
m
f
R
l
f
R
l
f
→
→
→
:
,
:
,
:
1
2
7.
∑
∞
=
−
=
1
1
2
)
(
k
k
k
x
x
f
8.
24
4
4
3
)
(
x
x
x
f
+
=
9.
k
k
x
k
x
f
∑
∞
=
=
1
2
1
)
(
.
9.
Сопряженные
операторы
Пусть
H
-
гильбертово
пространство
,
A
-
линейный
ограниченный
оператор
в
H
,
y
-
фиксированный
элемент
из
H
.
Линейный
по
H
x
∈
функционал
)
,
(
)
(
y
Ax
x
f
=
является
ограниченным
в
H
,
так
как
x
y
A
y
Ax
x
f
⋅
⋅
≤
=
)
,
(
)
(
.
Следовательно
,
по
теореме
Рисса
существует
единственный
элемент
H
y
∈
∗
такой
,
что
)
,
(
)
(
∗
=
y
x
x
f
.
Таким
образом
,
каждому
H
y
∈
можно
поставить
в
соответствие
H
y
∈
∗
такой
,
что
)
,
(
)
,
(
∗
=
y
x
y
Ax
.
Тем
самым
определен
оператор
H
H
A
→
∗
:
,
действующий
по
правилу
∗
∗
=
y
y
A
,
который
называется
сопряженным
к
оператору
A
.
Другими
словами
,
∗
A
определяется
из
соотношения
)
,
(
)
,
(
:
,
y
A
x
y
Ax
H
y
x
∗
=
∈
∀
.
Заметим
,
что
A
A
=
∗
и
имеют
место
свойства
:
∗
∗
∗
+
=
+
B
A
B
A
)
(
,
∗
∗
=
A
A
λ
λ
)
(
,
∗
∗
∗
=
A
B
AB
)
(
,
A
A
=
∗
∗
)
(
.
Оператор
A
называется
самосопряженным
,
если
A
A
=
∗
.
Пусть
H
-
гильбертово
пространство
,
L
-
подпространство
в
нем
.
Тогда
H
разлагается
в
прямую
сумму
двух
подпространств
⊥
⊕
=
L
L
H
.
Это
означает
,
что
любой
H
x
∈
однозначно
представим
в
виде
z
y
x
+
=
,
где
L
y
∈
,
⊥
∈
L
z
.
Оператор
,
определяемый
соотношением
y
Px
=
,
называется
оператором
ортогонального
проектирования
.
Пример
1.
Найти
сопряженный
к
оператору
A
в
]
,
[
2
b
a
L
,
если
∫
=
b
a
s
ds
s
x
te
t
Ax
)
(
)
(
.
Решение
.
Для
произвольных
]
,
[
,
2
b
a
L
y
x
∈
получим
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
ds
s
x
dt
t
ty
e
dt
t
y
ds
s
x
te
dt
t
y
t
Ax
y
Ax
b
a
b
a
s
b
a
b
a
s
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
y
A
x
ds
s
y
A
s
x
b
a
∗
∗
=
=
∫
.
33
Здесь
при
замене
порядка
интегрирования
использовалась
теорема
Фубини
.
Таким
образом
∫
=
∗
b
a
t
ds
s
sy
e
t
y
A
)
(
)
(
.
Пример
2.
Найти
сопряженный
к
оператору
A
в
]
1
,
0
[
2
L
,
если
∫
=
2
0
)
(
)
(
t
s
ds
s
x
te
t
Ax
.
Решение
.
Для
произвольных
]
1
,
0
[
,
2
L
y
x
∈
получим
dt
t
y
ds
s
x
te
dt
t
y
t
Ax
y
Ax
t
s
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
0
0
1
0
2
∫ ∫
∫
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
.
В
силу
теоремы
Фубини
можно
поменять
порядок
интегрирования
.
Область
интегрирования
описывается
неравенствами
2
0
,
1
0
t
s
t
≤
≤
≤
≤
,
что
эквивалентно
неравенствам
1
,
1
0
≤
≤
≤
≤
t
s
s
.
Поэтому
ds
s
y
s
x
ds
dt
t
ty
e
s
x
y
Ax
s
s
∫
∫
∫
∗
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
1
0
1
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
.
Так
как
функция
]
1
,
0
[
)
(
)
(
1
2
∫
∈
=
∗
s
s
L
dt
t
ty
e
s
y
,
то
сопряженный
оператор
задается
соотношением
∫
=
∗
1
)
(
)
(
t
t
ds
s
sy
e
t
y
A
.
Пример
3
.
Построить
сопряженный
оператор
к
оператору
A
в
2
l
,
задаваемому
соотношением
,...)
,...,
,
,
0
(
2
1
n
x
x
x
Ax
=
.
Решение
.
Для
произвольных
2
,
l
y
x
∈
получим
...
...
)
,
(
1
3
2
2
1
+
+
+
+
=
+
n
n
y
x
y
x
y
x
y
Ax
Обозначим
,...)
,
(
2
1
z
z
z
y
A
=
=
∗
.
Имеем
34
...
...
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
+
+
+
+
=
=
∗
n
x
z
x
z
x
z
x
z
x
y
A
x
Для
,...)
0
,
1
,...,
0
(
=
x
соотношение
)
,
(
)
,
(
y
A
x
y
Ax
∗
=
приводит
к
равенству
n
n
z
y
=
+
1
,
то
есть
1
)
(
+
∗
=
n
n
y
y
A
.
Таким
образом
,
сопряженным
к
оператору
сдвига
вправо
будет
оператор
сдвига
влево
,...)
,...,
,
(
3
2
n
y
y
y
y
A
=
∗
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Построить
сопряженные
операторы
к
операторам
в
2
l
:
а
)
,...)
,...,
,
(
3
2
n
x
x
x
Ax
=
;
б
)
,...)
,...,
3
,
2
,
(
3
2
1
n
x
x
x
x
Ax
n
=
,
в
)
,...)
,
,
0
,
0
,
,
(
6
5
2
3
x
x
x
x
Ax
=
;
г
)
,...)
,
,
,
2
(
4
3
4
1
3
1
x
x
x
x
x
x
Ax
+
−
=
.
2.
Построить
сопряженные
операторы
к
операторам
в
]
1
,
0
[
2
L
:
а
)
∫
=
t
ds
s
x
s
t
t
Ax
0
3
2
)
(
)
)(
(
,
б
)
∫
=
1
2
)
(
sin
)
)(
(
t
ds
s
x
s
t
t
Ax
,
в
)
)
(
)
)(
(
t
tx
t
Ax
=
,
в
)
∫
∫
+
=
1
3
1
0
)
(
)
(
)
)(
(
t
ds
s
x
s
ds
s
x
t
Ax
.
3.
Пусть
H
-
гильбертово
пространство
,
v
u
,
-
фиксированные
элементы
из
H
и
v
u
x
Ax
)
,
(
=
.
Показать
,
что
A
-
линейный
ограниченный
оператор
в
H
,
найти
A
и
∗
A
.
10.
Обратные
операторы
Пусть
Y
A
R
X
A
D
A
⊂
→
⊂
)
(
)
(
:
-
линейный
оператор
.
Оператор
A
называется
обратимым
,
если
для
любого
)
(
A
R
y
∈
существует
единственный
)
(
A
D
x
∈
такой
,
что
y
Ax
=
,
то
есть
оператор
A
отображает
)
(
A
D
на
)
(
A
R
взаимно
однозначно
.
В
этом
случае
определено
отображение
X
A
D
Y
A
R
A
⊂
→
⊂
−
)
(
)
(
:
1
такое
,
что
для
любого
)
(
A
R
y
∈
выполнено
)
(
1
A
D
y
A
x
∈
=
−
и
y
Ax
=
.
Линейный
оператор
A
обратим
тогда
и
только
тогда
,
когда
его
ядро
{
}
Θ
=
∈
=
Ax
X
x
A
:
)
(
ker
содержит
только
нулевой
элемент
,
то
есть
{ }
Θ
=
)
(
ker
A
.
35
Обратный
оператор
к
линейному
также
является
линейным
оператором
.
Линейный
оператор
:
Y
X
A
→
:
называется
непрерывно
обратимым
,
если
1
−
A
существует
,
определен
на
всем
пространстве
Y
и
ограничен
.
Теорема
Банаха
.
Если
A
-
линейный
ограниченный
оператор
,
отображающий
банахово
пространство
X
на
банохово
пространство
Y
взаимно
однозначно
,
то
A
непрерывно
обратим
.
Таким
образом
,
линейный
ограниченный
оператор
Y
X
A
→
:
непрерывно
обратим
,
если
выполнены
условия
:
1)
{ }
Θ
=
)
(
ker
A
,
то
есть
из
Θ
=
Ax
следует
,
что
Θ
=
x
;
2)
Y
A
R
=
)
(
,
то
есть
X
x
Y
y
∈
∃
∈
∀
так
,
что
y
Ax
=
.
Если
Y
X
A
→
:
-
линейный
ограниченный
оператор
и
существует
линейный
ограниченный
оператор
X
Y
B
→
:
такой
,
что
для
любого
Y
y
∈
выполнено
равенство
y
ABy
=
, (1)
а
для
всех
X
x
∈
-
равенство
x
BAx
=
, (2)
то
оператор
A
непрерывно
обратим
и
B
A
=
−
1
.
Если
выполнено
только
соотношение
(1),
то
оператор
B
называют
правым
обратным
к
оператору
A
,
а
если
выполнено
только
(2),
то
оператор
B
называют
левым
обратным
к
оператору
A
.
Существование
правого
обратного
обеспечивает
существование
решение
уравнения
y
Ax
=
,
а
левого
обратного
–
гарантирует
его
единственность
.
Пример
1.
Пусть
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
C
C
A
→
и
)
(
)
(
)
)(
(
0
t
x
ds
s
x
t
Ax
t
+
=
∫
.
Доказать
,
что
A
непрерывно
обратим
и
найти
1
−
A
.
Решение
.
Так
как
оператор
A
линейный
и
ограниченный
,
то
достаточно
проверить
выполнение
теоремы
Банаха
.
Из
равенства
Θ
=
Ax
получаем
,
что