ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 343
Скачиваний: 1
26
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Показать
,
что
в
пространстве
2
∞
R
расстояние
от
элемента
)
0
,
1
(
0
=
x
до
подпространства
{
}
R
L
∈
=
α
α
),
,
0
(
имеет
вид
{
}
]
1
,
1
[
),
,
0
(
−
∈
=
β
β
U
.
2.
В
пространстве
2
1
R
найти
расстояние
от
элемента
)
2
,
0
(
0
=
x
до
подпространства
{
}
R
L
∈
=
α
α
α
),
,
(
.
3.
Найти
,
при
каких
значениях
параметра
β
расстояние
от
элемента
)
1
,
(
0
β
=
x
до
подпространства
{
}
R
L
∈
=
α
α
),
,
0
(
в
пространстве
2
3
R
не
превосходит
3
ln
.
4.
В
пространстве
]
1
,
0
[
C
найти
расстояние
от
элемента
1
)
(
≡
t
x
до
подпространства
{
}
0
)
0
(
:
]
1
,
0
[
)
(
=
∈
=
y
C
t
y
L
.
Описать
множество
элементов
наилучшего
приближения
.
5.
В
пространстве
]
1
,
0
[
C
найти
расстояние
:
а
)
от
элемента
t
t
x
=
)
(
до
подпространства
многочленов
нулевой
степени
;
б
)
от
2
)
(
t
t
x
=
до
подпространства
многочленов
степени
не
более
1.
6.
В
пространствах
а
)
]
1
,
0
[
2
L
;
б
)
]
1
,
1
[
2
−
L
найти
проекцию
элемента
3
)
(
t
t
x
=
на
подпространство
многочленов
степени
не
более
n
,
если
2
,
1
,
0
=
n
.
7.
Линейные
ограниченные
операторы
.
Норма
оператора
Пусть
X
и
Y
-
линейные
нормированные
пространства
.
Отображение
Y
X
A
D
A
→
⊂
)
(
:
называется
линейным
оператором
,
если
)
(
A
D
-
линейное
многообразие
в
X
и
для
всех
)
(
,
A
D
y
x
∈
и
скаляров
β
α
,
имеет
место
соотношение
Ay
Ax
y
x
A
β
α
β
α
+
=
+
)
(
.
Множество
)
(
A
D
называют
областью
определения
,
а
{
}
])
))[
(
(
:
)
(
Ax
y
A
D
x
Y
y
A
R
=
∈
∃
∈
=
-
множество
значений
оператора
A
.
Оператор
Y
X
A
→
:
называется
непрерывным
в
точке
0
x
,
если
из
того
что
0
0
→
−
X
n
x
x
при
∞
→
n
следует
,
что
0
0
→
−
Y
n
Ax
Ax
.
Если
линейный
оператор
непрерывен
в
любой
точке
пространства
,
то
он
называется
просто
непрерывным
.
27
Линейный
оператор
Y
X
A
→
:
называется
ограниченным
,
если
существует
такая
константа
0
≥
M
,
что
для
всех
X
x
∈
X
Y
x
M
Ax
≤
. (1)
Теорема
.
Линейный
оператор
Y
X
A
→
:
непрерывен
тогда
и
только
тогда
,
когда
он
ограничен
.
Нормой
A
оператора
A
называют
наименьшую
из
констант
,
для
которых
выполнено
условие
(1).
Имеют
место
равенства
Y
x
Y
x
X
Y
x
Ax
Ax
x
Ax
A
X
X
1
1
0
sup
sup
sup
=
≤
≠
=
=
=
.
замечание
Пример
1.
Пусть
ϕ
-
непрерывная
на
отрезке
]
,
[
b
a
функция
.
Рассмотрим
отображение
]
,
[
]
,
[
:
b
a
C
b
a
C
A
→
,
определяемое
соотношением
)
(
)
(
)
)(
(
t
x
t
t
Ax
ϕ
=
.
Доказать
,
что
A
-
линейный
ограниченный
оператор
и
найти
его
норму
.
Решение
.
Линейность
следует
из
соотношения
)
)(
(
)
)(
(
))
(
)
(
)(
(
)
))(
(
(
t
Ay
t
Ax
t
y
t
x
t
t
y
x
A
β
α
β
α
ϕ
β
α
+
=
+
=
+
.
Покажем
,
что
A
-
ограниченный
оператор
.
Имеем
C
C
b
a
t
b
a
t
C
x
t
x
t
t
Ax
Ax
ϕ
ϕ
≤
=
=
∈
∈
)
(
)
(
max
)
)(
(
max
]
,
[
]
,
[
,
поэтому
C
C
A
ϕ
≤
.
Докажем
,
что
C
A
ϕ
=
.
Рассмотрим
функцию
1
)
(
0
≡
t
x
.
Очевидно
,
что
1
0
=
C
x
и
C
b
a
t
C
t
Ax
ϕ
ϕ
=
=
∈
)
(
max
]
,
[
0
.
Таким
образом
,
C
A
ϕ
=
.
Пример
2.
Показать
,
что
оператор
2
2
:
l
l
A
→
,
задаваемый
для
2
3
2
1
,...)
,
,
(
l
x
x
x
x
∈
=
соотношением
28
,...)
1
,...,
3
2
,
2
(
2
1
+
=
k
kx
x
x
Ax
k
,
линеен
,
ограничен
в
2
l
и
найти
его
норму
.
Решение
.
Линейность
вытекает
из
правила
сложения
и
умножения
на
число
в
пространстве
2
l
.
Для
доказательства
ограниченности
покажем
оценку
(1),
когда
2
l
Y
X
=
=
.
Имеем
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
)
1
(
)
(
l
k
k
k
k
k
k
l
x
x
x
k
k
Ax
Ax
⋅
=
≤
+
=
=
∑
∑
∑
≥
≥
≥
. (2)
Следовательно
,
1
≤
A
.
Из
анализа
знака
неравенства
видно
,
что
найти
элемент
,
на
котором
бы
в
(2)
достигался
знак
равенства
,
не
удается
.
Однако
,
для
любого
0
>
ε
можно
указать
такое
n
,
что
ε
−
>
+
1
1
n
n
.
Тогда
для
2
,...)
0
,
1
,
0
,...,
0
(
l
e
n
n
∈
=
4
3
42
1
имеем
2
2
)
1
(
1
l
n
l
n
e
n
n
Ae
ε
−
>
+
=
.
Поэтому
1
=
A
.
Пример
3.
Доказать
непрерывность
и
найти
норму
оператора
ds
s
sx
t
t
Ax
∫
=
1
0
2
)
(
)
)(
(
для
а
)
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
C
C
A
→
,
б
)
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
2
C
L
A
→
.
Решение
.
Так
как
оператор
линеен
,
то
для
доказательства
непрерывности
достаточно
проверить
его
ограниченность
.
В
случае
а
)
имеем
оценку
C
t
C
x
ds
s
x
s
ds
s
sx
t
Ax
2
1
)
(
)
(
max
1
0
1
0
2
]
1
,
0
[
≤
≤
=
∫
∫
∈
.
Следовательно
,
2
1
≤
A
.
Очевидно
,
что
для
1
)
(
0
≡
t
x
выполнено
равенство
2
/
0
0
C
C
x
Ax
=
,
и
поэтому
2
1
=
A
.
В
случае
б
)
заметим
,
что
если
]
,
[
2
b
a
L
x
∈
,
то
]
,
[
1
b
a
L
x
∈
и
)
(
t
Ax
-
непрерывная
функция
.
Установим
оценку
(1).
Пользуясь
неравенством
Коши
-
Буняковского
,
получаем
29
2
2
3
1
)
(
)
(
2
1
1
0
2
1
0
L
L
C
x
x
ds
s
ds
s
sx
Ax
≤
≤
=
∫
∫
.
Таким
образом
,
3
1
≤
A
.
Известно
,
что
в
неравенстве
Коши
-
Буняковского
знак
равенства
достигается
,
когда
сомножители
линейно
зависимы
.
Поэтому
выберем
t
t
x
=
)
(
0
.
Получим
2
0
1
0
1
0
2
0
3
1
3
1
)
(
L
C
x
ds
s
ds
s
sx
Ax
=
=
=
=
∫
∫
.
Следовательно
,
3
1
=
A
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Доказать
линейность
,
ограниченность
и
найти
норму
оператора
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
C
C
A
→
,
если
:
а
)
)
1
(
)
0
(
)
)(
(
x
t
x
t
Ax
+
=
;
б
)
)
(
)
)(
(
t
x
t
t
Ax
=
;
с
)
)
(
sin
)
)(
(
t
x
t
t
Ax
=
.
2.
Доказать
линейность
,
ограниченность
и
найти
норму
оператора
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
],
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
],
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
2
1
C
C
A
C
L
A
C
L
A
→
→
→
,
если
:
а
)
∫
−
=
1
0
)
(
)
)(
(
ds
s
x
e
t
Ax
s
t
;
б
)
∫
=
1
0
)
(
)
)(
(
ds
s
tsx
t
Ax
;
в
)
∫
∈
⋅
=
1
0
]
1
,
0
[
)
(
,
)
(
)
(
)
)(
(
C
ds
s
x
t
t
Ax
ϕ
ϕ
.
3.
Доказать
линейность
,
ограниченность
и
найти
норму
оператора
2
2
:
l
l
A
→
,
если
:
а
)
,...)
3
,
2
,
(
3
2
1
x
x
x
Ax
=
;
б
)
,...)
,
,
0
,...,
0
(
1
+
=
n
n
x
x
Ax
;
с
)
,...)
2
,...,
2
,
2
,
(
1
2
3
2
1
−
=
k
k
x
x
x
x
Ax
;
д
)
,...)
,...,
,
,
(
3
1
2
n
x
x
x
x
Ax
−
=
;
е
)
,...)
0
,
,...,
(
1
n
x
x
Ax
=
;
ж
)
,...)
,...,
,
,
0
(
3
2
1
n
x
x
x
x
Ax
+
=
.
30
8.
Линейные
ограниченные
функционалы
Определение
:
оператор
R
X
f
→
:
(
или
C
X
f
→
:
)
называется
функционалом
.
Теорема
Рисса
.
Всякий
линейный
ограниченный
функционал
f
,
определенный
на
гильбертовом
пространстве
H
,
имеет
вид
)
,
(
)
(
u
x
x
f
=
,
где
элемент
H
u
∈
однозначно
определяется
функционалом
f
.
При
этом
H
u
f
=
.
Пример
1.
Пусть
1
...
1
,
,...,
,
1
2
1
<
<
<
<
−
∈
n
n
t
t
R
α
α
α
-
фиксированные
точки
.
Показать
,
что
)
(
)
(
1
k
n
k
k
t
x
x
f
∑
=
=
α
является
линейным
ограниченным
функционалом
в
]
1
,
0
[
C
и
найти
его
норму
.
Решение
.
Проверка
линейности
не
представляет
сложности
.
Для
доказательства
ограниченности
установим
оценку
C
x
M
x
f
≤
)
(
.
Имеем
C
n
k
k
k
n
k
k
x
t
x
x
f
∑
∑
=
=
≤
≤
1
1
)
(
)
(
α
α
.
Поэтому
∑
=
≤
n
k
k
f
1
α
.
Для
доказательства
равентсва
в
последнем
соотношении
возьмем
непрерывную
на
отрезке
]
1
,
1
[
−
функцию
)
(
0
t
x
такую
,
что
1
)
(
0
≤
t
x
и
n
k
sign
t
x
k
k
,...,
1
,
)
(
0
=
=
α
.
Поскольку
1
0
=
C
x
и
∑
∑
=
=
=
=
n
k
k
n
k
k
k
t
x
x
f
1
1
0
0
)
(
)
(
α
α
,
то
∑
=
=
n
k
k
f
1
α
.
Пример
2.
Найти
нормы
функционалов
в
гильбертовых
пространствах
:
а
)
R
b
a
L
f
→
]
,
[
:
2
по
правилу
∫
=
b
a
ds
s
x
s
x
f
)
(
)
(
)
(
ϕ
,
где
]
,
[
2
b
a
L
∈
ϕ
-
заданная
функция
.
Решение
:
заметим
,
что
данный
функционал
можно
записать
через
скалярное
произведение
в
]
,
[
2
b
a
L
,
а
именно
)
,
(
)
(
ϕ
x
x
f
=
и
,
следовательно
,
по
теореме
Рисса
f
-
линейный
ограниченный
функционал
и