ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1740
Скачиваний: 15
УДК 336.7(075)
ББК 65.26я73
Д13
Рецензенты:
Салтанат Нурадиловна Амиргалиева
,
доктор физико-математических наук, профессор
(Университет им. Сулеймана Демиреля);
Елена Витальевна Попова
,
доктор экономических наук, профессор
(Кубанский государственный аграрный университет).
Давнис В.В.
Д13 Математические основы финансовых вычислений : учебное пособие / В.В. Дав-
нис,
Р.У.
Рахметова,
В.В.
Коротких.
–
Воронеж:
типография
Воронежского
ЦНТИ – филиала ФГБУ «РЭА» Минэнерго России, 2013. – 185 с.
ISBN 978-5-4218-0193-1
Пособие содержит последовательное изложение методов количественного анализа, ис-
пользуемых для научного обоснования управленческих решений в финансовой сфере. Пред-
ставлены математические основы финансового анализа в условиях определенности, когда
данные для анализа известны заранее. В разделах, посвященных финансовому инвестирова-
нию, обсуждаются проблемы финансовых вычислений в условиях неопределенности. Боль-
шое внимание уделяется определению базовых понятий и выводу формул. Изучается много-
образие финансовых операций и методы определения их эффективности. Для закрепления
теоретического материала курс содержит большое количество задач для самостоятельного
решения. Содержание пособия соответствует учебным программам высших учебных заве-
дений экономического профиля по дисциплинам «Математическое обеспечение финансовых
решений», «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Фи-
нансовый менеджмент», «Финансовые вычисления».
Настоящее пособие предназначено для слушателей магистерских программ по экономи-
ческим специальностям, аспирантов и докторантов (PhD). Оно также будет полезно широ-
кому кругу специалистов, обращающимся в своей работе к финансовым вычислениям.
The textbook provides the consistent description of quantitative analysis methods applied
for the scientific verification of management decisions in the financial sector. The mathematical
basics of the financial analysis under the certainty (when all data for analysis are previously
known) are described in this textbook. The problems of the financial calculations under the
uncertainty are discussed in the sections related to financial investment. The emphasis is placed
on the definition of basic concepts and formula derivation. The textbook deals with the variety of
financial transactions and methods of their efficiency determination. In purposes of reinforcement
of learning there are a lot of tasks intended for a self-directed learning. The content of the textbook
is designed in accordance with the educational programs of higher education establishments with
economical specialization under the following subjects: “Mathematical fundamentals of financial
decisions”, “Financial mathematics”, “Mathematical methods of the financial analysis”, “Financial
management”, “Financial calculations”.
Mathematical foundations of financial calculations
is intended for master of economics candi-
dates, graduate students and PhD candidates. It will prove to be helpful for a wide range of experts
using financial calculations in their work.
c
Давнис В.В., 2013
c
Рахметова Р.У., 2013
ISBN 978-5-4218-0193-1
c
Коротких В.В., 2013
Содержание
1 Операции с простыми ставками
1
Наращение по простой процентной ставке . . . . . . . . . . . . . .
1
Дисконтирование по простой ставке . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Операции со сложными ставками
15
Наращение по сложной процентной ставке
. . . . . . . . . . . . .
15
Начисление сложного процента несколько раз в году
. . . . . . .
17
Дисконтирование по сложным ставкам
. . . . . . . . . . . . . . .
19
Дисконтирование несколько раз в году
. . . . . . . . . . . . . . .
21
Интенсивность наращения и дисконтирования
по разным ставкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Операции с непрерывными ставками
31
Непрерывное наращение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Непрерывное дисконтирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
41
Понятие финансовой эквивалентности ставок . . . . . . . . . . . .
41
Система эквивалентных ставок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
51
Простая ставка и инфляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Сложная ставка и инфляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
63
Постоянные потоки платежей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Расчет наращенной суммы ренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Расчет современной величины ренты . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Зависимость между наращенной и современной величинами рент
72
Определение параметров финансовых рент . . . . . . . . . . . . .
73
Конверсия аннуитетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
vi
Содержание
7 Планирование погашения долгосрочных задолженностей
87
Расходы по обслуживанию займа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Формирование погасительного фонда . . . . . . . . . . . . . . . .
88
8 Замена и консолидация платежей
93
Замена платежей при простых ставках
. . . . . . . . . . . . . . .
93
Замена платежей при сложных ставках . . . . . . . . . . . . . . .
95
9 Анализ эффективности кредитных и коммерческих договоров103
Постановка задачи и определение измерителя эффективности . . 103
Анализ эффективности кредитных операций . . . . . . . . . . . . 104
Баланс финансово-кредитной операций . . . . . . . . . . . . . . . 104
Анализ эффективности кредитно-финансовых операций . . . . . . 107
111
10.1 Измерение доходности облигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.2 Дюрация облигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.3 Изгиб облигации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11 Основные подходы к моделированию портфельных решений 129
11.1 Модель портфеля Г. Марковица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Модель портфеля Дж. Тобина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.3 Модель портфеля с учетом отношения к риску . . . . . . . . . . . 141
11.4 Модель САРМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.5 Модель портфеля У. Шарпа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12 Оценка стоимости и волатильности опционов
165
12.1 Модель Блека-Шоулса-Мертона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.2 Модель Кокса-Росса-Рубинштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
181
1
Операции с простыми ставками
1.1. Наращение по простой процентной ставке
В математике процент – это сотая часть, в экономической теории – это
доход на капитал или цена капитала, в финансовых расчетах – это величина
дохода от представления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, помеще-
ние денег на сберегательный счет, покупка депозитного сертификата, акций и
облигаций, продажа в кредит и т.д.
Известный экономист П. Хейне определил процент как «цену, которую лю-
ди платят за то, чтобы не ждать до тех пор, пока они заработают деньги, на
которые ресурсы можно купить». Исторически проценты взимаются за год –
естественный природный и, следовательно, естественный экономический цикл.
Процентной ставкой (процентом) называется отношение, выраженное в про-
центах, дохода на капитал к размеру этого капитала (отношение процентных
денег к величине ссуды) за фиксированный отрезок времени.
Процентный пункт используется для удобства обозначения изменений став-
ки процента. Пусть некая величина составляет 30%. Если говорят, что она уве-
личилась на 5 пунктов, то это означает, что она стала равной 35%.
Простые процентные ставки – ставки, которые применяются к одной и той
же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды. Введем систему обозна-
чений
P
– сумма на начало финансовой операции;
S
– сумма, образовавшаяся
на конец финансовой операции;
I
– проценты за весь период;
i
– процентная
ставка;
n
– длительность финансовой операции (например, срок ссуды).
Наращение – процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением
процентов к первоначальной сумме.
2
Глава 1. Операции с простыми ставками
В случае простых процентов этот процесс можно представить в виде ариф-
метической прогрессии:
P,
P
+
P i
=
P
(1 +
i
)
,
P
(1 +
i
) +
P i
=
P
(1 + 2
i
)
,
. . .
(1.1)
Формула наращения простых процентов
S
=
P
(1 +
ni
)
,
(1.2)
где
(1 +
ni
)
– множитель наращения, который показывает, во сколько раз на-
ращенная сумма больше первоначальной суммы ссуды.
В свою очередь наращение по простой процентной ставке с учетом налога
на проценты осуществляется по формуле
S
q
=
P
(1 +
ni
(1
−
q
))
,
(1.3)
где
q
– ставка налога на проценты.
Поскольку ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, то
при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть
процента уплачивается кредитору, т.е. не всегда
n
– целое.
В этом случае
n
можно представить в виде дроби:
n
=
t/K
, где
t
– чис-
ло дней ссуды,
K
– число дней в году. Здесь возможны следующие варианты
процентов:
•
обыкновенный или коммерческий при
K
= 360
дней;
•
точный при
K
= 365
или
K
= 366
дней.
В свою очередь, определение числа дней пользования ссуды может быть:
точным
, когда подсчитывается фактическое число дней между двумя дата-
ми, или
приближенным
, когда продолжительность ссуды определяется коли-
чеством месяцев по 30 дней плюс число дней ссуды.
Учитывая вышесказанное, мы имеем три варианта расчета процентов, раз-
личающиеся по степени точности:
•
точные проценты с точным числом дней;
•
обыкновенные проценты с точным числом дней;
•
обыкновенные проценты с приближенным числом дней.