ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1741
Скачиваний: 15
12.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
173
момента времени. В связи с тем, что
ρ
t
=
(
r
u
,
p,
r
d
,
q
≡
1
−
p,
r
u
> r
d
.
(12.10)
справедливо утверждать, что цена рискового актива имеет биномиальное рас-
пределение с
T
степенями свободы, и вероятностью скачка цены вверх
p
, т.е.
S
:
Bin
(
T, p
)
. Ее функция вероятности задается формулой
p
ρ
=
C
t
T
p
t
q
T
−
t
=
T
!
(
T
−
t
)!
t
!
p
t
q
T
−
t
,
t
= 0
, T .
(12.11)
Заметим, что экономический смысл степеней свободы биномиального распре-
деления в рассматриваемом случае заключается в отражении числа периодов,
остающихся до исполнения опциона. Их модельному отражению отвечает число
уровней биномиального дерева. Возможные значения
ρ
t
удобно определять че-
рез первый и второй моменты фактического распределения дискретной случай-
ной величины
p
j
=
P
(
r
s
=
ζ
j
)
, характеризующей доходность рискового актива,
имеющую место на периоде, предшествующем проведению расчета [1]:
r
u
=
E
(
r
s
) +
p
D
(
r
s
) =
µ
+
σ,
(12.12)
r
d
=
E
(
r
s
)
−
p
D
(
r
s
) =
µ
−
σ.
(12.13)
В каждый момент времени цена принимает одно из двух значений
S
t
=
(
uS
t
−
1
,
dS
t
−
1
,
(12.14)
где
u
= 1 +
r
u
– мультипликативное движение цены рискового актива при
направлении вверх;
d
= 1 +
r
d
– мультипликативное движение цены рискового
актива при направлении вниз.
В [34] представлен отличный способ определения данных величин, с учетом
того, что
∆
t
– период времени в долях года соответствующий продолжитель-
ности одного уровня в биномиальном дереве CRR-модели, представленный в
долях года, а
σ
– годовая величина волатильности доходности базового актива,
измеренная в долях:
u
= exp(
σ
√
∆
t
)
,
(12.15)
174
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
d
= exp(
−
σ
√
∆
t
)
.
(12.16)
Для визуального представления ценовой динамики рискового актива ис-
пользуется биномиальное дерево. Его особенностью является наличие узлов,
достижение которых возможно разными путями (см. узел
S
(1)
2
на рис. 12.2).
Рис. 12.2. Фрагмент биномиального дерева
Так называемая «независимость пути», достигается благодаря использова-
нию мультипликаторов
u
и
d
для установления зависимости будущего значение
цены от ее начального значения. Данное свойство позволяет точно определить
каждый узел биномиального дерева, задав момент времени (нижний индекс) и
количество скачков в одном направлении (верхний индекс соответствует коли-
честву скачков вверх), совершенных с начального момента.
Введем в модель производный инструмент, опцион колл (
C
) со сроком ис-
полнения
T
, денежный поток от которого зависит от стоимости рискового ак-
тива. Фрагмент биномиального дерева будет иметь вид как на рисунке ниже.
Рис. 12.3. Фрагмент биномиального дерева
12.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
175
Цена рискового актива
S
(
k
)
T
−
1
и размер банковского счета
B
T
−
1
на момент
времени
T
−
1
известны. К моменту времени
T
цена рискового актива может
принять два значения, для каждого из которых можно рассчитать выплаты по
опциону. Задача состоит в определении цены опциона в момент времени
T
−
1
.
Для решения задачи рассматривается портфель из рискового актива и бан-
ковского счета, денежные потоки от которого в момент времени
T
совпадают с
выплатами по опциону в каждом из состояний, с учетом выполнения следую-
щих условий:
α
(
k
)
T
−
1
S
(
k
+1)
+
β
(
k
)
T
−
1
B
=
C
(
k
+1)
T
в случае скачка вверх
;
(12.17)
α
(
k
)
T
−
1
S
(
k
)
+
β
(
k
)
T
−
1
B
=
C
(
k
)
T
в случае скачка вниз
,
(12.18)
где
α
(
k
)
T
−
1
, β
(
k
)
T
−
1
– количество единиц рискового актива и банковского счета со-
ответственно, определяемое по формулам:
α
(
k
)
T
−
1
=
C
(
k
+1)
T
−
C
(
k
)
T
S
(
k
)
T
−
1
(
u
−
d
)
,
(12.19)
β
(
k
)
T
−
1
=
B
T
−
1
uC
(
k
)
T
−
dC
(
k
+1)
T
u
−
d
.
(12.20)
Зная
α
(
k
)
T
−
1
и
β
(
k
)
T
−
1
, определим стоимость опциона в момент времени
T
−
1
при условии отсутствия возможности арбитража:
C
(
k
)
T
−
1
=
α
(
k
)
T
−
1
S
(
k
+1)
T
−
1
+
β
(
k
)
T
−
1
B
T
−
1
=
1
R
R
−
d
u
−
d
C
(
k
+1)
T
+
u
−
R
u
−
d
C
(
k
)
T
,
(12.21)
где
R
= 1 +
r
– множитель наращения кредитной суммы по безрисковой про-
центной ставке
r
.
Важным моментом для понимания полученной формулы является содер-
жательная интерпретация весовых коэффициентов. Нужно обратить внимание
на то обстоятельстве, что формула (12.21) не содержит переменных, учитыва-
ющих отношение инвестора к риску. Это означает, что стоимость опциона оце-
нивается в экономике нейтральных к риску инвесторов. Такой подход принято
называть
риск-нейтральным оцениванием
.
176
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
При выводе (12.21) не использовались вероятности, в соответствии с ко-
торыми происходило изменение цены. За вероятность роста и падения цены
можно принять весовые коэффициенты. Интуитивно понятно, что выплата по
опциону
C
(
k
+1)
T
C
(
k
)
T
наступает с вероятностью
p
=
R
−
d
u
−
d
q
=
u
−
R
u
−
d
.
Определенные таким образом вероятности имеют следующий содержатель-
ный смысл. При оценке стоимости опциона инвесторы не принимают во внима-
ние фактические вероятности роста и падения курса акции, поэтому в качестве
ожидаемого значения цены акции в следующий момент времени
E
(
S
T
)
целесо-
образно взять взвешенную величину ее значений при росте и падении с весами,
равными вероятностям
p
и
q
:
E
(
S
T
) =
pS
T
−
1
u
+
qS
T
−
1
d.
(12.22)
Подставляя в (12.22) выражения, по которым рассчитываются вероятности
p
и
q
, получаем
E
(
S
T
) =
R
−
d
u
−
d
S
T
−
1
u
+
u
−
R
u
−
d
S
T
−
1
d,
откуда следует, что
(12.23)
E
(
S
T
) =
S
T
−
1
R.
(12.24)
Полученное уравнение показывает, что при использовании введенных вы-
ше вероятностей ожидаемое значение цены акции определяется на основе став-
ки без риска. В связи с тем, что ожидаемая доходность актива равна ставке
без риска в условиях нейтральности инвесторов к риску, введенные вероят-
ности принято называть
риск-нейтральными
. Более строгие рассуждения на
этот счет приводятся в [12], где подобное заключение сделано на основе строго-
го доказательства с использованием понятия «мартингал». В виду этого риск-
нейтральную вероятность иногда называют мартингальной.
Многократное применение этой процедуры позволяет определить все зна-
чения в узлах дерева, передвигаясь обратно во времени от конца к его началу.
Основная идея, обеспечивающая рациональность этой методики, заключается
в том, чтобы учесть все возможные варианты.
12.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
177
Преобразуем полученную формулу, выделив в отдельные константы риск-
нейтральные вероятности
(
p, q
)
:
C
(
k
)
T
=
1
R
h
pC
(
k
+1)
T
+1
+
qC
(
k
)
T
+1
i
.
(12.25)
Тогда для начального узла имеем
C
0
=
T
X
k
=
j
T
!
(
T
−
k
)!
k
!
p
k
q
T
−
k
C
(
k
)
T
R
−
T
.
(12.26)
Возможность вывода расчетной формулы для многопериодного случая обес-
печивается введением специально определяемого числа
j
. Фактически, с помо-
щью этого числа определяется граница отсечения тех случаев, когда внутрен-
няя стоимость опциона равна нулю. Для опциона колл
j
определяется из
u
j
d
T
−
j
S
0
> X.
(12.27)
Если это условие переписать в виде (12.28), можно получить неравенство
(12.29), из которого определяется
j
.
u
d
j
d
T
S
0
> X,
(12.28)
u
d
j
>
X
S
0
d
T
.
(12.29)
Логарифмирование (12.29) позволяет для
j
записать неравенство
j >
ln
X
S
0
d
T
/
ln
u
d
,
(12.30)
в котором квадратные скобки обозначают целую часть.
Введение величины
j
, с одной стороны, позволяет формулу для расчета
риск-нейтральной стоимости записать в более компактной форме, а с другой
стороны, делает содержательный смысл расчета менее прозрачным. Поэтому
запишем формулу, которая не предусматривает использование
j
C
(
S
0
, T
) =
"
T
X
k
=0
T
!
(
T
−
k
)!
k
!
p
k
q
T
−
k
max
0
, u
k
d
T
−
k
S
0
−
X
#
R
−
T
.
(12.31)