Файл: posobie.pdf

178

Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов

В данной формуле без труда узнается математическое ожидание случайной

величины, имеющей биномиальный закон распределения.

Компактный вариант же формулы для определения цены опциона колл

имеет вид при

j

скачках цены рискового актива вверх, в результате которых

опцион становится выигрышным

(

S

0

, T

) =





T

X

k

=

j

T

!

(

T

−

k

) !

k

!

p

k

q

T

−

k

u

k

d

T

−

k

S

0

−

X





R

−

T

,

(12.32)

из чего следует, что стоимость опциона колл равна дисконтированному по став-

ке r математическому ожиданию выплат по нему при риск-нейтральной веро-

ятности

p

.

Полученную модель можно применить и для определения цены опциона

пут. Модель будет иметь вид

P

(

S

0

, T

) =

"

j

−

1

X

k

=0

T

!

(

T

−

k

) !

k

!

p

k

q

T

−

k

X

−

u

k

d

T

−

k

S

0

#

R

−

T

(12.33)

при условии, что опцион пут является выигрышным при

j

−

1

скачках цены

рискового актива вверх.

Пример 12.2.

Проведем вычисления в соответствии с CRR-моделью, ис-

пользуя полученные ранее данные по BSM-модели.

Таблица 12.2. Расчет цены опциона по CRR-модели

Наименование параметра

Обозначение

Значение

Ожидаемое значение дневного скачка доходности, доли

µ

0,002

Волатильность, доли

σ

0,0240

Текущее значение цены, руб

S

0

8 462

Цена исполнения, руб

X

10 000

Безрисковая ставка, %

r

2,00E-04

Число периодов до исполнения, дн.

T

14

Величина скачка цены рискового актива вверх, руб

r

u

0,026

Величина скачка цены рискового актива вверх, руб

r

d

-0,022

Множитель наращения

u

1,026

Множитель наращения

D

0,978

Вероятность ценового скачка вверх

p

0,464

Вероятность ценового скачка вниз

q

0,536

Расчетная цена, руб

C

(

S

0

, T

)

8,716

Задания для самоконтроля

179

Разница в оценках имеет простое объяснение. В BSM-модели предполага-

ется непрерывная ценовая динамика базового актива, а в CRR-модели ценовая

динамики носит дискретный характер. В первом расчете предполагается, что

периоды, на которые разбивается время до исполнения опциона, бесконечно

малы, а их число стремится к бесконечности. В случае с CRR-моделью таких

периодов 14, что соответствует количеству календарных дней оставшихся до

исполнения опциона.

Задания для самоконтроля

Задача 12.1.

Инвестор купил опцион пут за $20, цена исполнения $460.

На дату исполнения цена базисного актива составила $350. Определите финан-

совый результат сделки.

Задача 12.2.

Чему равен максимальный убыток покупателя опциона колл

по цене $15 со страйком $180?

Задача 12.3.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион продавца

на акцию с ценой исполнения $10 за $1. На момент окончания контракта спо-

товая цена акции составила $12. Определите финансовый результат операции.

Задача 12.4.

Колл опцион дает право на приобретение акций компании А

по цене $200. До срока исполнения остается полгода. Безрисковая ставка рав-

на 3% и стандартное отклонение доходности акций составляет 0,2. Стоимость

акций в настоящее время составляет $250. Определите цену опциона.

Задача 12.5.

Цена акции на рынке составляет $50, волатильность в рас-

чете на год – 30%. По акции дивиденды не выплачиваются. Ставка без риска

10% годовых. Определите величину премии трехмесячного европейского опцио-

на колл на акцию с ценой исполнения $60 по модели BSM. Сравните полученный

результат с моделью CRR.

Задача 12.6.

Продажа семи европейских трехмесячных опционов колл на

акцию с ценой исполнения $28,5 принесла инвестору $31,5. К моменту окон-

чания контракта спотовая цена акции составила $30. Определите финансовый

результат операции для инвестора.

Задача 12.7.

4 октября 2012 г. цена закрытия опциона компании А со

сроком исполнения 21 апреля 2013 г. и ценой исполнения $49 составила $4.

Базовые акции продаются по цене $50. 4 октября срок до исполнения составляет

199 дней. Непрерывно начисляемая безрисковая ставка равна 4%. Дисперсия

доходности акций составляет 0,19. Рассчитайте цену опциона.

180

Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов

Задача 12.8.

Рассчитайте волатильность, если бездивидендная акция тор-

гуется по $5, ставка без риска составляет 13% годовых, а премия трехмесячного

европейского опциона пут на 10 таких акций с ценой исполнения $60 равна $24.

Задача 12.9.

Бездивидендная акция котируется по $13 за штуку. Cтан-

дартное отклонение доходности фьючерса на 100 таких акций в расчете на

год – 33%. Полагая, что безрисковая ставка равна 5% годовых, определите с

помощью модели BSM величину премии трехмесячного европейского опциона

колл на фьючерс с ценой исполнения $1100.

Задача 12.10.

Инвестор продал европейский трехмесячный опцион колл

на акцию со страйком $77 за $5. К моменту окончания контракта спотовая цена

акции составила $81. Вычислите финансовый результат инвестора.

Задача 12.11.

Инвестор продал опцион пут со страйком $90 и премией $10,

а купил опцион колл со страйком $100 и $5. Определить прибыли-убытки ин-

вестора для следующих значений цены базисного актива в момент исполнения

опциона: а) $85, б) $95, в) $105.

Задача 12.12.

Цена базисного актива $100. Инвестор определил, что че-

рез квартал его цена может составить $80 либо $120. Предполагается, что актив

делим. Трехмесячная ставка без риска 10% годовых. На актив торгуется евро-

пейский опцион колл с ценой исполнения $100. Определите, сколько должен

стоить сейчас опцион колл.

Задача 12.13.

Базисный актив стоит $100. Через три месяца его цена

может составить $90 или $110. При условии бесконечной делимости актива и

трехмесячной безрисковой ставки 5% годовых определите премию опциона колл

на этот актив со страйкой $99.

Задача 12.14.

На покупку трех европейских трехмесячных опционов пут

на акцию с ценой исполнения $25 инвестор затратил $7,5. К моменту оконча-

ния контракта цена акции составила $23,6. Определите финансовый результат

операции для инвестора.

Задача 12.15.

Акции торгуется по $10 за штуку. Стандартное отклонение

доходности такой акции в расчете на год составляет 25%. Полагая, что по ак-

ции торгуются лотами по 10 штук и по ним не выплачиваются дивиденды, а

безрисковая ставка – 5% годовых, определите величину премии трехмесячною

европейского опциона пут на акцию с ценой исполнения $90.

Библиографический список

1. Адельмейер М. Опционы КОЛЛ и ПУТ: Экономическое и математические

содержание опционов. Основы теории и практики [текст] / М. Адельмей-

ер. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 103 с.

2. Аскинадзи В.М. Инвестиционное дело [текст] / В.М. Аскинадзи, В.Ф. Мак-

симова, В.С. Петров. – М.: Маркет ДС, 2007. – 512 с.

3. Болдырева Н.Б. Финансовая математика: учебное пособие [текст] /

Н.Б. Болдырева. – Тюмень: Изд-во Тюмен. госуд. ун-та, 2007. – 112 с.

4. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов [текст] /

А.Н. Буренин. – М.: Инфра-М, 1996. – 368 с.

5. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инстру-

ментов [текст] / А.Н. Буренин. – М.: НТО, 2011. – 394 с.

6. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг [текст] / А.Н. Буре-

нин. – М.: НТО Вавилова С.И., 2008. – 440 с.

7. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные

производные [текст] / А.Н. Буренин. – М.: Науч.-технич. общество им.

акад. С.И. Вавилова, 2008. – 512 с.

8. Бухвалов А.В. Классические модели ценообразования на капитальные ак-

тивы и российский финансовый рынок. Часть 1. Эмпирическая проверка

модели САРМ [текст] / А.В. Бухвалов, В.Л. Окулов // Научные доклады

№ 36 (R)-2006. – СПб.: НИИ менеджмента СПбГУ, 2006. – 36 c.

9. Давнис В.В. Моделирование риск-трендовых оценок стоимости опционов

[текст] / В.В. Давнис, С.Ю. Богданова // Современная экономика: пробле-

мы и решения. – Воронеж, 2010. – № 1. – С. 119-129.

182

Библиографический список

10. Давнис В.В. Взвешенные риск-нейтральные оценки опционов [текст] /

В.В. Давнис, С.Ю. Богданова // Вестник Тамбовского университета. Се-

рия: Гуманитарные науки. – 2009. – № 11. – С. 68-73.

11. Давнис В.В. Модели B,S-рынка и риск-нейтральная цена опционов [текст] /

В.В. Давнис, С.Ю. Богданова, Г.Б. Суюнова // Вестник ОрелГИЭТ. –

2010. – № 1 – С. 134-140.

12. Мельников А.В. Математические методы финансового анализа [текст] /

А.В. Мельников, Н.В. Попова, В.С. Скорнякова. – М.: Анкил, 2006. – 440 с.

13. Московская

биржа

[электронный

ресурс].

Режим

доступа:

http://moex.com/, свободный.

14. О рынке ценных бумаг [электронный ресурс] : федер. закон N 39-ФЗ от

22.04.1996 (ред. от 28.07.2012). – (http//www.consultant.ru).

15. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории

хаоса в инвестициях и экономике [текст] / Э. Петерс. – М.: Интернет-

трейдинг, 2004. – 304 с.

16. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический

взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка [текст] / Э. Петерс. – М.:

Мир, 2000. – 333 с.

17. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений [текст] /

В.А. Уланов, под ред. В.В. Ковалева. – М.: Финансы и статистика. – 2000. –

400 с.

18. Федосеев А.М. Особенности оценки стоимости опционов на полном и непол-

ных рынках [текст] / А.М. Федосеев, В.В. Коротких // Современная эко-

номика: проблемы и решения. – Воронеж, 2010. – № 4. – С. 137-144.

19. Фельдман А.Б. К вопросу о производных финансовых инструментах

[текст] / А.Б. Фельдман // Финансы и кредит. – 2003. – No 15. – С. 2-15.

20. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник [текст] / Е.М. Четыр-

кин. – М.: Дело, 2004. – 400 с.

21. Шарп У. Инвестиции [текст] / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли. – М.:

Инфра-М, 2010. – 1028 с.