ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1746
Скачиваний: 15
168
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
о зависимости цены опциона и стоимости его хеджирования. Она позволила по-
казать, что опционная позиция может быть полностью защищена от риска при
динамическом хеджировании, когда в каждый момент времени генерируются
выплаты, равные выплатам опциона.
Ф. Блэку, М. Шоулсу и Р. Мертону удалось показать, что стоимость оп-
циона может быть рассчитана еще до заключения сделки, если выполняются
следующие предположения [19]:
•
ценовая динамика описывается стохастическим процессом, имеющим ло-
гнормальное распределение; из этого следует, что показатели доходности
распределены нормально, а показатели дисперсии постоянны, т.е. динами-
ка цены базового актива следует процессу Ито;
•
безрисковая процентная ставка постоянна в течение срока опциона;
•
базовые активы бесконечно делимы;
•
отказ от исполнения опциона исключается;
•
базовый актив не генерирует денежный поток сам по себе;
•
существует слабая зависимость поведения участников от национального на-
логообложения;
•
не требуется внесения депозита (маржи) на короткие позиции;
•
отсутствуют комиссионные и прочие подобные сборы.
Первое предположение позволяет довольно точно описывать реальность
и оценивать будущую стоимость базового актива в текущий момент времени,
рассчитывать среднее значение его цены и вероятность ее увеличения выше
определенного уровня [7]. Соблюдение строгих предположений хоть и позволя-
ет получать корректные, но, к сожалению, они не всегда адекватные модели.
Рассмотрим основные идеи построения этих моделей. Стоимость опциона опре-
деляется не самостоятельно, а опосредованно через оценку стоимости безриско-
вого портфеля, который инвестор может сформировать из опциона и рискового
актива. Дифференциальное уравнение
dS
=
µS dt
+
σS dt,
(12.5)
12.1. Модель Блека-Шоулса-Мертона
169
где
µ
– мгновенная ожидаемая доходность рискового актива в десятичном виде,
решением которого является цена любой производной ценной бумаги, завися-
щей от рискового актива, можно вывести, заняв безрисковую позицию по оп-
циону и соответствующему активу. В связи с тем, что опцион и цена рискового
актива зависят от одного и того же источника неопределенности, такой инвести-
ционный портфель существует всегда. Созданная позиция остается безрисковой
только на протяжении очень короткого периода времени. Однако в отсутствие
арбитражных возможностей доходность безрисковой позиции должна всегда
равняться безрисковой процентной ставке.
В соответствии с Ф. Блэком, М. Шоулсом и Р. Мертоном, стоимость опци-
она колл с базовым активом, не генерирующим периодических выплат, опреде-
ляется по формуле:
C
(
S
0
, T
) =
S
0
Φ (
d
1
)
−
X
exp (
−
rT
) Φ (
d
2
)
,
(12.6)
а стоимость опциона пут – по формуле
P
(
S
0
, T
) =
X
exp (
−
rT
) Φ (
−
d
2
)
−
S
0
Φ (
−
d
1
)
,
(12.7)
где
d
1
=
σ
√
T
−
1
ln
S
0
−
ln
X
+
T r
+ 0
,
5
σ
2
;
d
2
=
d
1
−
σ
√
T
;
r
– безриско-
вая ставка доходности.
Традиционно выделяют ряд преимуществ модели Блэка-Шоулса-Мертона
по сравнению с ее предшественниками.
Во-первых, высокая степень соответствия реальностям фондового рынка
позволяет определить динамическую хеджирующую стратегию, воспроизводя-
щую выплаты опциона, которая достигается путем учета реально наблюдаемых
параметров (цены базового актива, его волатильности, безрисковой ставки, сро-
ка исполнению опциона и цены исполнения)
Во-вторых, цена опциона зависит только от волатильности базового актива
и величины безрисковой процентной ставки. Ф. Блэку, М. Шоулсу и Р. Мерто-
ну удалось показать, что стоимость опциона не зависит от степени неприятия
риска. Эта стоимость единственна для всех инвесторов, поскольку опционная
позиция может быть полностью защищена от риска, что отличает BSM-модель
от предыдущих уравнений, где цена опциона находилась в зависимости от рис-
ковых предпочтений инвесторов.
170
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
В-третьих, формула довольно проста для практического применения. Един-
ственный параметр, который нуждается в оценке, это волатильность базового
актива, поведение которой часто оказывается загадочным, напоминая улыбку
Джоконды на известной картине Леонардо Да Винчи (см. рис. 12.1).
Рис. 12.1. Улыбка волатильности
Пример 12.1.
По данным за период с 11.03.2011 по 31.08.2011 г. требует-
ся оценить текущую цену опциона колл на фьючерс на обыкновенные акции
ОАО «Сбербанк». Непосредственная оценка опциона, а также результаты про-
межуточных вычислений приведены в таблице 12.1.
Таблица 12.1. Расчет цены опциона по BSM-модели
Наименование параметра
Обозначение
Значение
Цена исполнения, руб
X
10 000
Безрисковая ставка, %
r
2,00E-04
Текущее значение цены, руб
S
0
8 462
Число периодов до исполнения, дн.
T
14
Волатильность, доли
σ
0,0240
Расчетные параметры уравнения
d
1
-1,78
d
2
-1,87
Φ
(
d
1
)
0,04
Φ
(
d
1
)
0,03
Расчетная цена, руб
C
(
S
0
, T
)
10
В 1983 г. М.Б. Гарман и С.В. Колхаген [33] предложили модель ценооб-
разования европейского валютного опциона. Предложенная ими модель стала
востребованным инструментом биржи за счет разрешения проблемы, заклю-
чающейся в учете различий в доходности денежных вкладов на внутренних
12.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
171
рынках сопоставляемых валют. BSM-модель стала отправной точкой при раз-
работке специальных формул определения стоимости опциона с базисом в виде
фьючерса, за исключением тех, которые основаны на экспертном оценивании.
Сегодня модель Блэка-Шоулса-Мертона носит как аналитический харак-
тер, раскрывая связи и зависимости факторов стоимости опционов, так и вы-
числительный, определяя стоимость опционов. Модель неоднократно подверга-
лась эмпирической проверке, расширялась область ее применения, в том числе
и за счет адаптации задачам смежных дисциплин. Как это часто случается
с великими научными открытиями, потребовалось более тридцати лет, чтобы
академическое сообщество осознало революционность идей, лежащих в основе
уравнения Блэка-Шоулса-Мертона. Только в 1997 г. М. Шоулзу и Р. Мертону
была присуждена нобелевская премия.
Спустя несколько лет после теоретического обоснования модели Блэка-
Шоулса-Мертона Дж. Кокс и С. Росс опубликовали свои размышления по пово-
ду определения риск-нейтральной стоимости опционов [30]. Полученные резуль-
таты способствовали появлению подходов к оценке опционов с использованием
биномиального дерева или метода Монте-Карло для моделирования стоимости
опциона в будущем.
Заложенные ими принципы позволяют делать оценки «в мире, нейтральном
к риску». Это своего рода уход от проблем «истинной» ожидаемой доходности
базового актива и «истинной» ставки дисконтирования. Для этого необходи-
мо считать, что и ожидаемая доходность всех финансовых активов, и ставка
дисконтирования эквивалентны безрисковой процентной ставке. Пусть в реаль-
ной практике отношение инвесторов к риску и нельзя считать нейтральным,
при грамотном моделировании такое предположение приводит к обоснованным
оценкам стоимости опционов.
12.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
Идея риск-нейтральности реализована в так называемой биномиальной мо-
дели Кокса-Росса-Рубинштейна или CRR-модели. Как мы определили ранее,
модель Блэка-Шоулса-Мертона, основанная на математическом постулате сто-
хастической аппроксимации, описывает непрерывную ценовую динамику. В свою
очередь CRR-модель, исходя из постулата биномиального распределения, по-
172
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
дробно рассматриваемого ниже, описывает дискретную ценовую динамику. В
стандартной модели используется рекомбинационное биномиальное дерево (ре-
шетка) с постоянной волатильностью и постоянной процентной ставкой. Фор-
мула для оценки стоимости опциона выводится с использованием обратной ин-
дукции. Если устремить длительность каждого периода времени к нулю, то
предельный результат совпадает с результатом BSM-модели.
Подробное рассмотрение CRR-модели начнем с формального описания ти-
па рынка, для которого предполагается оценка стоимости опциона.
Введем вероятностное пространство
(
Ω
,
I
,
I
t
,
P
)
, где
Ω
=
{
a, b
}
– простран-
ство элементарных событий, на котором событие
a
ассоциируется с ростом цен,
а
b
– с их снижением;
I
– множество всех подмножеств, которые на отрезке
времени, в течении которого проводились торги, могли быть сформированы из
элементов
Ω
таким образом, что на
i
-м месте располагается либо
a
, либо
b
;
I
t
– информационный поток
I
0
=
{
∅
,
Ω
} ⊆
I
1
⊆ · · · ⊆
I
n
, формируемый в каж-
дом конкретном случае и называемый обычно фильтрацией;
P
– вероятностная
мера, определяемая бернуллиевской вероятностью
p
. Понятно, что предполо-
жение о том, что вероятностная мера определяется бернуллиевской вероятно-
стью нужно для того, чтобы обеспечить простоту преобразований и значительно
упростить расчетные схемы, используемые в рамках биномиальной модели.
Рассматриваемая CRR-модель применяется на (B,S)-рынке, на котором су-
ществуют только два типа активов. Во-первых, это банковский депозит
B
t
=
B
0
Y
k
≤
t
(1 +
r
k
)
,
r
k
≡
r
=
const,
(12.8)
характеризующий возможность безрискового заимствования и кредитования по
ставке
r
. Во-вторых, рисковый актив
S
t
=
S
0
Y
k
≤
t
(1 +
ρ
k
)
,
(12.9)
будь то акция, облигация, товар, валюта и пр. В основе построения модели це-
новой динамики лежит предположение, что за каждый достаточно короткий
промежуток времени цена рискового актива может перейти из исходного состо-
яния только в одно из двух возможных состояний. Это упрощение позволяет
легко определить все возможные значения цены рискового актива для любого