ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 502
Скачиваний: 1
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Теорема:
Если для случайных величин
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
n
существуют
cov
(
X
i
,
X
j
) =
σ
ij
,
i
,
j
= 1
, . . . ,
n
, то при любых постоянных
c
1
,
c
2
, . . . ,
c
n
имеем
D
(
c
1
X
1
+
c
2
X
2
+
· · ·
+
c
n
X
n
) =
n
X
i
,
j
=1
σ
ij
c
i
c
j
.
Так как при любых
c
1
, . . . ,
c
n
дисперсия неотрицательна, то квадратичная
форма неотрицательно определена.
cov
(
X
1
,
X
1
)
cov
(
X
1
,
X
2
)
. . .
cov
(
X
1
,
X
m
)
cov
(
X
2
,
X
1
)
cov
(
X
2
,
X
2
)
. . .
cov
(
X
2
,
X
m
)
. . .
. . .
. . .
. . .
cov
(
X
m
,
X
1
)
cov
(
X
m
,
X
2
)
. . .
cov
(
X
m
,
X
m
)
>
0
,
m
= 1
,
2
, . . .
Для
m
= 2
:
det(
X
1
,
X
2
) =
D
(
X
1
)
D
(
X
2
)
−
cov
2
(
X
1
,
X
2
)
6
0
.
|
cov
(
X
1
,
X
2
)
|
6
p
D
(
X
1
)
D
(
X
2
)
(ФКН ВГУ)
66 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Для независимых случайных величин
cov
(
X
1
,
X
2
) = 0
.
Если
cov
(
X
1
,
X
2
)
6
= 0
, то величины
X
1
и
X
2
зависимы.
Для количественной характеристики степени зависимости используется
коэффициент корреляции
ρ
(
X
1
,
X
2
)
, определяемый следующим
равенством:
ρ
(
X
1
,
X
2
) =
cov
(
X
1
,
X
2
)
p
D
(
X
1
)
D
(
X
2
)
.
Свойства коэффициента корреляции
1
|
ρ
(
X
1
,
X
2
)
|
6
1
2
Если
X
1
и
X
2
независимы, то
ρ
(
X
1
,
X
2
) = 0
3
Если
X
2
=
AX
1
+
B
, где
A
и
B
постоянные, то
|
ρ
(
X
1
,
X
2
)
|
= 1
(ФКН ВГУ)
67 / 67