ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 500
Скачиваний: 1
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Математическим ожиданием
M
(
X
)
случайной величины
X
=
X
(
ω
k
)
,
заданной на
дискретном
вероятностном пространстве
(Ω
,
F
,
P
)
, называется
число
M
(
X
) =
∞
X
k
=1
X
(
ω
k
)
p
k
,
если ряд абсолютно сходится.
Математическим ожиданием
M
(
X
)
случайной величины
X
=
X
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
)
, заданной на
абсолютно непрерывном
вероятностном
пространстве
(Ω
,
F
,
P
)
, называется число
M
(
X
) =
Z
· · ·
Z
Ω
X
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
)
f
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
)
dx
1
dx
2
· · ·
dx
n
,
если интеграл абсолютно сходится.
(ФКН ВГУ)
56 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Пусть
Ω =
{
ω
1
, ω
2
, . . . , ω
N
}
и событиям
ω
k
приписаны вероятности
p
k
>
0
,
k
= 1
,
2
, . . . ,
N
,
p
1
+
p
2
+
· · ·
+
p
N
= 1
.
Положим
X
=
X
(
ω
k
) =
x
k
.
Среднее значение случайной величины
X
:
p
1
x
1
+
p
2
x
2
+
· · ·
+
p
N
x
N
.
Пусть проводится
n
независимых испытаний, каждое из которых состоит в
том, что
X
принимает определенное значение.
Пусть получены следующие значения:
y
1
,
y
2
, . . . ,
y
n
,
y
k
∈
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
N
)
.
Тогда
y
1
+
y
2
+
· · ·
+
y
n
n
=
n
1
x
1
+
n
2
x
2
+
· · ·
+
n
N
x
N
n
,
n
k
n
≈
p
k
.
(ФКН ВГУ)
57 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Математическим ожиданием
случайной величины
X
, заданной на
вероятностном пространстве
(Ω
,
F
,
P
)
, называется число
M
(
X
) =
Z
Ω
X
(
ω
)
P
(
d
ω
)
,
если интеграл Лебега, стоящий в правой части равентсва, существует.
M
(
X
) =
Z
∞
−∞
xdF
X
(
x
)
.
(ФКН ВГУ)
58 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Теорема 1:
Пусть
(
X
,
Y
)
— дискретный случайный вектор, для которого
P
(
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
) =
p
ij
>
0
,
X
ij
p
ij
= 1
.
Если ряд
X
ij
|
g
(
x
i
,
y
j
)
|
p
ij
сходится, то случайная величина
ξ
=
g
(
X
,
Y
)
имеет математическое
ожидание
M
(
ξ
) =
X
ij
g
(
x
i
,
y
j
)
p
ij
.
Для
n
= 1
и
g
(
x
) =
x
:
M
(
X
) =
∞
X
k
=1
x
k
P
(
X
=
x
k
)
.
(ФКН ВГУ)
59 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Теорема 2:
Пусть
(
X
,
Y
)
— абсолютно непрерывный случайный вектор с плотностью
распределения
f
(
x
,
y
)
. Если интеграл
Z
∞
−∞
· · ·
Z
∞
−∞
|
g
(
x
,
y
)
|
f
(
x
,
y
)
dxdy
сходится, то математическое ожидание случайной величины
ξ
=
g
(
X
,
Y
)
существует и
M
(
ξ
) =
Z
∞
−∞
· · ·
Z
∞
−∞
g
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
dxdy
.
Для
n
= 1
и
g
(
x
) =
x
:
M
(
X
) =
Z
∞
−∞
xf
(
x
)
dx
.
(ФКН ВГУ)
60 / 67